Paradoks zbioru wszystkich zbiorów

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Paradoks zbioru wszystkich zbiorówparadoks teorii mnogości odkryty w 1899 przez Cantora:

Wedle twierdzenia Cantora można udowodnić, że zbiór potęgowy dowolnego zbioru X (zbiór wszystkich podzbiorów zbioru X) nie może się zawierać w X, gdyż nie istnieje nawet surjekcja X \to 2^X, która jako taka jest warunkiem koniecznym, by jeden zbiór był zawarty w drugim. Uwzględnienie hierarchii liczb kardynalnych prowadzi do wniosku, iż |X| \leqslant |2^X|, jednak przez wzgląd na brak bijekcji (każda bijekcja jest suriekcją) zachodzi po prostu |X| < |2^X|. Zbiory nieskończenie liczne nie stanowią wyjątku.

Ostatecznie zatem ma miejsce paradoks nieistnienia zbioru wszystkich zbiorów, choćby przez wzgląd na brak możliwości umieszczenia w zbiorze jego zbioru potęgowego (aczkolwiek można umieścić podzbiór, tak jak w zbiorze {1,2,{1,2}})

Niemożność ujęcia wszystkich zbiorów w zbiór była o tyle paradoksalna, iż twórcy teorii mnogości nie widzieli żadnych podstaw, aby jej uniknąć. Problem leżał w nieścisłym określeniu pojęcia zbioru. Skuteczna aksjomatyka teorii mnogości pozwoliła zbudować spójną teorię wolną od paradoksów.

Zobacz też[edytuj]