Paradoks zbioru wszystkich zbiorów

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Paradoks zbioru wszystkich zbiorówparadoks tzw. "naiwnej" teorii mnogości odkryty w 1899 przez Cantora. Przykład antynomii logicznej (syntaktycznej) tzn. antynomii wynikającej z nie dość precyzyjnego używania pojęć teorii.

Paradoks jest efektem następującego rozumowania:

Przypuśćmy, że Z jest zbiorem wszystkich zbiorów i niech P(Z) oznacza zbiór potęgowy zbioru Z.
  • Z jednej strony, zbiór Z jako zbiór wszystkich zbiorów zawiera w sobie także P(Z), tzn. P(Z)⊂Z.
    Stąd moc zbioru P(Z) jest niewiększa od mocy zbioru Z: |P(Z)| ≤ |Z|.
  • Z drugiej strony, na mocy twierdzenia Cantora zbiór P(Z) ma moc istotnie większą od mocy zbioru Z: |P(Z)| > |Z|.

Źródłem tego paradoksu była praktyka naiwnej teorii mnogości polegająca na definiowaniu zbiorów z użyciem formuł logicznych bez zatroszczenia się o istnienie "dziedziny" tej formuły, czyli zbioru, z którego wybieramy elementy spełniające tę formułę. Np. definicja Z={X:1=1} pozornie określa zbiór wszystkiego, w rzeczywistości określa ona klasę właściwą a nie zbiór.

Podobnie intuicyjna i prawdziwa dla wszystkich zbiorów formuła (wynikająca zresztą z aksjomatu ekstensjonalności) pozwala w naiwnej teorii mnogości zdefiniować zbiór . Jednak stwierdzenie, czy jakiś obiekt należy do tego zbioru, prowadzi wprost do paradoksu Russella

O ile w naiwnej teorii mnogości powyższe rozumowanie prowadzi do niewytłumaczalnej sprzeczności (stąd określenie paradoks), o tyle w aksjomatycznej teorii mnogości jest ścisłym dowodem na nieistnienie zbioru wszystkich zbiorów.

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

  • Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Warszawa: PWN, 1977, seria: Biblioteka Matematyczna. str. 67-68
  • Witold Marciszewski: Logika formalna. Zarys encyklopedyczny. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1987. ISBN 83-01-04998-7. str. 175