Pierścień endomorfizmów

Pierścień endomorfizmów – pierścień skojarzony z pewnym rodzajem obiektów, który zawiera pewną informację o jego własnościach wewnętrznych.

Grupy abelowe

Niech $(A,+)$ będzie grupą abelową. Zgodnie z nazwą, elementami pierścienia endomorfizmów grupy $A$ są endomorfizmy określone na $A,$ tzn. homomorfizmy grupowe $A\to A.$ Każde dwa takie endomorfizmy $f$ oraz $g$ mogą być dodawane (zgodnie z wzorem $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$), a ich wynik, $f+g,$ również jest endomorfizmem $A.$ Co więcej, $f$ i $g$ mogą być składane, dając tym samym endomorfizm $f\circ g.$ Zbiór wszystkich endomorfizmów $A$ wraz ze wspomnianym dodawaniem i mnożeniem (danym jako składanie) spełnia aksjomaty pierścienia; jego jedynką jest przekształcenie tożsamościowe na $A.$ Pierścienie endomorfizmów zwykle nie są przemienne.

Uwaga

Powyższa konstrukcja nie działa dla grup nieabelowych: suma dwóch homomorfizmów nie musi być wówczas homomorfizmem

Moduły i przestrzenie liniowe

Definicja pierścienia endomorfizmów wygląda identycznie dla dowolnego modułu – zamiast homomorfizmów grupowych należy jedynie wykorzystać homomorfizmy modułów. Każdy pierścień jest pierścieniem endomorfizmów pewnego modułu (regularnego, ang. regular). Odwrotnie, $R$-moduł $M$ jest niczym innym, jak homomorfizmem pierścienia $R$ w pierścień endomorfizmów grupy addytywnej $M.$

Jeżeli $K^{n}$ jest przestrzeń liniową nad ciałem $K,$ to pierścień endomorfizmów $K^{n}$ (składający się ze wszystkich $K$-przekształceń liniowych $K^{n}\to K^{n}$) utożsamia się w naturalny sposób z pierścieniem macierzy typu $n\times n$ o elementach z $K$ (zob. macierz).

Teoria kategorii

W ogólności pierścienie endomorfizmów można definiować dla obiektów dowolnej kategorii preaddytywnej. Warto wspomnieć, że możliwe jest zdefiniowanie w naturalny sposób funktora z kategorii grup abelowych $\mathbf {Ab}$ w kategorię pierścieni $\mathbf {Ring}$ za pomocą pojęcia pierścienia endomorfizmów.

Własności

• Pierścień endomorfizmów grupy abelowej jest trywialny wtedy i tylko wtedy, gdy wspomniana grupa jest trywialna.

Często możliwe jest wyrażenie własności obiektów za pomocą własności jego pierścienia endomorfizmów, np.:

• jeżeli moduł jest prosty, to jego pierścień endomorfizmów jest pierścieniem z dzieleniem (wynik znany jako lemat Schura);
• moduł jest nierozkładalny wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień endomorfizmów nie zawiera żadnych nietrywialnych idempotentów. Nierozkładalność i silna nierozkładalność są częstokroć definiowane za pomocą odpowiednich własności skojarzonego z nimi pierścienia endomorfizmów.