Pierścień endomorfizmów

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Pierścień endomorfizmówpierścień skojarzony z pewnym rodzajem obiektów, który zawiera pewną informację o jego własnościach wewnętrznych.

Grupy abelowe[edytuj]

Niech będzie grupą abelową. Zgodnie z nazwą, elementami pierścienia endomorfizmów grupy są endomorfizmy określone na , tzn. homomorfizmy grupowe . Każde dwa takie endomorfizmy oraz mogą być dodawane (zgodnie z wzorem ), a ich wynik, , również jest endomorfizmem . Co więcej, i mogą być składane dając tym samym endomorfizm . Zbiór wszystkich endomorfizmów wraz ze wspomnianym dodawaniem i mnożeniem (danym jako składanie) spełnia aksjomaty pierścienia; jego jedynką jest przekształcenie tożsamościowe na . Pierścienie endomorfizmów zwykle nie są przemienne.

Uwaga 
Powyższa konstrukcja nie działa dla grup nieabelowych: suma dwóch homomorfizmów nie musi być wówczas homomorfizmem[1]

Moduły i przestrzenie liniowe[edytuj]

Definicja pierścienia endomorfizmów wygląda identycznie dla dowolnego modułu – zamiast homomorfizmów grupowych należy jedynie wykorzystać homomorfizmy modułów. Każdy pierścień jest pierścieniem endomorfizmów pewnego modułu (regularnego[2], ang. regular). Odwrotnie, -moduł jest niczym innym, jak homomorfizmem pierścienia w pierścień endomorfizmów grupy addytywnej .

Jeżeli jest przestrzeń liniową nad ciałem , to pierścień endomorfizmów (składający się ze wszystkich -przekształceń liniowych ) utożsamia się w naturalny sposób z pierścieniem macierzy typu o elementach z [3] (zob. macierz).

Teoria kategorii[edytuj]

W ogólności pierścienie endomorfizmów można definiować dla obiektów dowolnej kategorii preaddytywnej. Warto wspomnieć, że możliwe jest zdefiniowanie w naturalny sposób funktora z kategorii grup abelowych w kategorię pierścieni za pomocą pojęcia pierścienia endomorfizmów.

Własności[edytuj]

  • Pierścień endomorfizmów grupy abelowej jest trywialny wtedy i tylko wtedy, gdy wspomniana grupa jest trywialna.

Często możliwe jest wyrażenie własności obiektów za pomocą własności jego pierścienia endomorfizmów, np.:

  • jeżeli moduł jest prosty, to jego pierścień endomorfizmów jest pierścieniem z dzieleniem (wynik znany jako lemat Schura)[4];
  • moduł jest nierozkładalny wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień endomorfizmów nie zawiera żadnych nietrywialnych idempotentów[5]. Nierozkładalność i silna nierozkładalność są częstokroć definiowane za pomocą odpowiednich własności skojarzonego z nimi pierścienia endomorfizmów.

Przypisy

  1. David Dummitt i Richard Foote, Algebra, s. 347.
  2. Moduł jest regularny, jeżeli dla skończenie generowanego podmodułu istnieje homomorfizm taki, że , jest projektywny i .
  3. Yu. A. Drozd i V. V. Kirichenko, Finite Dimensional Algebras, Springer-Verlag, Berlin, 1994. ss. 23-24
  4. Yu. A. Drozd i V. V. Kirichenko, Finite Dimensional Algebras, Springer-Verlag, Berlin, 1994, s. 31.
  5. Yu. A. Drozd i V.V. Kirichenko, Finite Dimensional Algebras, Springer-Verlag, Berlin, 1994, s. 25.