Pierścień noetherowski

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Pierścień noetherowskipierścień, w którym każdy ciąg wstępujący (w sensie inkluzji) jego ideałów stabilizuje się, tzn. istnieje dla którego mówi się też wtedy, że w pierścień spełnia warunek rosnących łańcuchów (ACC) dla ideałów; pojęcie nosi nazwisko Emmy Noether.

Równoważnie pierścień jest noetherowski wtedy i tylko wtedy, gdy każdy ideał właściwy jest skończenie generowany, tzn. dla każdego ideału istnieją takie elementy , dla których

.

Można też powiedzieć, że pierścień jest noetherowski wtedy i tylko wtedy, gdy każdy ideał tego pierścienia można przedstawić w postaci skończonej sumy ideałów głównych pierścienia .

Prawdziwe jest również twierdzenie Hilberta o bazie: jeżeli pierścień jest noetherowski, to jego pierścień wielomianów również jest noetherowski.

Przykłady[edytuj]

  • Każde ciało jest pierścieniem noetherowskim.
  • Pierścień liczb całkowitych jest pierścieniem noetherowskim (co więcej: każdy ideał tego pierścienia jest ideałem głównym).

Zobacz też[edytuj]