Pierścień przemienny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Pierścień przemienny (lub komutatywny) – pierścień , w którym mnożenie jest przemienne, czyli dla dowolnych elementów zachodzi .

Badaniem pierścieni przemiennych zajmuje się algebra przemienna. Często zakłada się dodatkowo istnienie w takim pierścieniu jedynki (elementu neutralnego mnożenia)[1].

Przykłady[edytuj]

  • Najważniejszym przykładem pierścienia przemiennego (z jedynką) jest pierścień liczb całkowitych wraz z naturalnymi działaniami dodawania i mnożenia, który oznacza się literą (od niem. Zahlen, liczby).
  • Dowolne ciało, jak np. ciała liczb wymiernych, rzeczywistych i zespolonych, jest pierścieniem przemiennym.
  • Jednym z prostszych przykładów pierścienia, który nie jest przemienny, jest zbiór wszystkich rzeczywistych macierzy kwadratowych stopnia z działaniami dodawania i mnożenia macierzy, gdyż na przykład:
  • Pierścienie klas reszt modulo są przemienne dla dowolnego
  • Jeżeli jest pierścieniem przemiennym, to zbiór wszystkich wielomianów zmiennej o współczynnikach z wraz z naturalnymi działaniami dodawania i mnożenia wielomianów tworzy pierścień przemienny nazywany pierścieniem wielomianów.
  • Zbiór wszystkich liczb postaci gdzie i są dowolnymi liczbami całkowitymi.
  • Twierdzenie Wedderburna[2]: Każdy skończony pierścień z dzieleniem, tj. taki w którym każdy niezerowy element jest odwracalny, jest ciałem (tzn. działanie mnożenia jest przemienne).

Przypisy

  1. Atiyah M. F., Macdonald I. G.: Introduction to commutative algebra. Addison-Wesley, 1969.
  2. J. H. M. Wedderburn. A theorem on finite algebras. „Trans. Amer. Math. Soc.”. 6, s. 349-352, 1905. Amer. math. Soc..