Pierścień przemienny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Pierścień przemienny – w teorii pierścieni, dziedzinie algebry abstrakcyjnej, pierścień w którym działanie mnożenia jest przemienne. Badaniem pierścieni przemiennych zajmuje się algebra przemienna. Często zakłada się dodatkowo istnienie w takim pierścieniu jedynki (elementu neutralnego mnożenia)[1].

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Szczegóły definicji pierścieni można znaleźć w artykule o pierścieniach.

Pierścień to zbiór R\; wyposażony w dwa działania dwuargumentowe, tzn. działania, które dla dowolnych dwóch elementów dają trzeci, nazywane dodawaniem i mnożeniem, które zwykle oznaczane są plusem oraz kropką, np. a + b\; oraz a \cdot b. Aby dawały pierścień, działania te muszą spełniać pewne własności: pierścień musi być grupą abelową względem dodawania i półgrupą (albo monoidem w przypadku pierścienia z jedynką) względem mnożenia tak, by mnożenie było rozdzielne względem dodawania, tzn. a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c). Elementy neutralne dodawania i mnożenia są oznaczane odpowiednio 0 oraz 1 (ten ostatni, o ile istnieje, czyli w przypadku pierścienia z jedynką).

Jeśli mnożenie jest przemienne, tzn.

a \cdot b = b \cdot a,

to pierścień R\; nazywa się przemiennym.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \ne \begin{bmatrix} 1 & 2 \\
1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}.

Przypisy

  1. Atiyah M. F., Macdonald I. G.: Introduction to commutative algebra. Addison-Wesley, 1969.
  2. J. H. M. Wedderburn. A theorem on finite algebras. „Trans. Amer. Math. Soc.”. 6, s. 349-352, 1905. Amer. math. Soc..