Pierścień z jednoznacznością rozkładu

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Pierścień z jednoznacznością rozkładu (pierścień Gaussa, UFD, od ang. unique factorization domain)pierścień przemienny, którego każdy element nieodwracalny może być przedstawiony jako iloczyn elementów pierwszych w jednoznaczny sposób, tzn. jednoznaczny co do permutacji czynników. Pierścienie te uogólniają pierścień liczb całkowitych w ten sposób, że spełniają one także tezę podstawowego twierdzenia arytmetyki.

Poniższy ciąg zawierań zbiorów obrazuje pewne szczególne przypadki pierścieni z jednoznacznością rozkładu:

pierścienie z jednoznacznością rozkładudziedziny ideałów głównychpierścienie euklidesoweciała

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Dziedzina całkowitości nazywana jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu wtedy i tylko wtedy, gdy

  • dla dowolnego niezerowego elementu nieodwracalnego istnieją elementy nierozkładalne takie, że
  • jeżeli gdzie wszystkie elementy są nierozkładalne, to i istnieje permutacja taka, że to znaczy elementy te są stowarzyszone.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Jeżeli jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu, to istnieje w nim największy wspólny dzielnik.
  • Twierdzenie Gaussa: Jeżeli jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu, pierścień wielomianów również jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu.
  • W pierścieniu z jednoznacznością rozkładu każdy element nierozkładalny jest pierwszy.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]