Pierścień zbiorów

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Pierścień zbiorów – w matematyce niepusta rodzina zbiorów zamknięta ze względu na przecięcia i różnicę symetryczną, tzn. jeżeli dla dowolnego A, B \in \mathcal R zachodzi

  • A \cap B \in \mathcal R,
  • A \triangle B \in \mathcal R,

gdzie \triangle oznacza różnicę symetryczną, tj.

A \triangle B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A).

Równoważnie można wymagać, aby z każdymi dwoma zbiorami A, B należącymi do pierścienia należały także do niego zbiory A \cup B oraz A \setminus B.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Pierścień zbiorów jest pierścieniem w algebraicznym tego słowa znaczeniu (możliwe, że bez jedynki). Przekrój jest rozdzielny względem różnicy symetrycznej:

A \cap (B \triangle C) = (A \cap B) \triangle (A \cap C)

Zbiór pusty jest elementem neutralnym \triangle, a suma wszystkich zbiorów, o ile należy do pierścienia, jest elementem neutralnym \cap, co czyni z \mathcal R pierścień z jedynką.

Dla danego zbioru X jego zbiór potęgowy tworzy dyskretny pierścień zbiorów, zaś zbiór \{\varnothing, X\} określa antydyskretny pierścień zbiorów. Dowolne ciało zbiorów, a zatem dowolna σ-algebra jest również pierścieniem zbiorów.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]