Pierwiastek kwadratowy z 5

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Przedstawienia
Dwójkowo 10.0011110001101111...
Dziesiętnie 2.23606797749978969...
Szesnastkowo 2.3C6EF372FE94F82C...
Ułamek łańcuchowy

Pierwiastek kwadratowy z liczby 5 (często pierwiastek [arytmetyczny] z 5) – dodatnia liczba algebraiczna, która pomnożona przez siebie daje w wyniku liczbę 5. Oznaczana jest zwykle przy użyciu symbolu pierwiastkowania jako:

Jest to niewymierna liczba algebraiczna; jej rozwinięcie dziesiętne z dokładnością do 59 miejsca po przecinku[1] wynosi:

2,23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623 54406 18359 61152 57242 7089 ….

W kwietniu 1994 wartość pierwiastka kwadratowego z liczby 5 została wyznaczona z dokładnością do jednego miliona miejsc po przecinku[2]

Dowód niewymierności[edytuj]

Niech będzie liczbą wymierną, tzn. istnieją dwie takie liczby naturalne oraz że przy czym każdą liczbę wymierną można zapisać w postaci ułamka nieskracalnego, tzn. można założyć o liczniku i mianowniku tego ułamka, iż są względnie pierwsze, tj. ich jedynym wspólnym dzielnikiem jest jedynka.

Podnosząc powyższą równość obustronnie do kwadratu (drugiej potęgi) otrzymuje się skąd Ponieważ jest liczbą podzielną przez 5, to i jest podzielna przez 5. Kwadrat liczby podzielnej przez 5 jest liczbą podzielną przez 5, a niepodzielnej przez 5 – niepodzielną przez 5[3]; stąd liczba jest podzielna przez 5, czyli istnieje taka liczba naturalna dla której Podstawienie tego równania do poprzedniego daje zatem tj. co ponownie oznacza, że liczba a stąd i jest podzielna przez 5.

Skoro tak jak i są podzielne przez 5, to mają dzielnik różny od jedności. Sprzeczność ta dowodzi, że liczba jest niewymierna.

Geometria[edytuj]

Geometrycznie √5 jest długością przekątnej prostokąta o bokach 1 i 2, co wynika wprost z twierdzenia Pitagorasa. Prostokąt taki można uzyskać przez połowienie kwadratu, lub połączenie dwóch identycznych kwadratów bokami. Korzystając z algebraicznej relacji między √5 a φ, można wprost przejść do geometrycznej konstrukcji złotego prostokąta z kwadratu.

Złoty podział[edytuj]

Konstrukcja złotego prostokąta.

Wartość √5 występuje przy zapisywaniu wartości złotej liczby w postaci ułamka zwykłego

jak również jej odwrotności

Przekształcając powyższe wzory można zauważyć, że

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. (ciąg A002163 w OEIS)
  2. Robert Nemiroff, George Mason: Milion pierwszych cyfr pierwiastka kwadratowego z 5 (ang.).
  3. Twierdzenie: Kwadrat liczby naturalnej jest liczbą podzielną przez 5 wtedy i tylko wtedy, gdy jest liczbą podzielną przez 5.
    Dowód: (→) Jeśli
    to równość
    oznacza, że jest podzielne przez 5, gdyż jej czynnikami są liczba 5 i inna liczna naturalna. (←) Dowód nie wprost: skoro
    to
    czyli , , i są niepodzielne przez 5, gdyż można je przedstawić jako sumę składników: liczby naturalnej podzielnej przez 5 i reszty niepodzielnej przez 5.
    Q.e.d