Pierwiastek kwadratowy z 5

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Przedstawienia
Dwójkowo 10.0011110001101111...
Dziesiętnie 2.23606797749978969...
Szesnastkowo 2.3C6EF372FE94F82C...
Ułamek łańcuchowy 2 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{4 + \ddots}}}}

Pierwiastek kwadratowy z liczby 5 (często pierwiastek [arytmetyczny] z 5) – dodatnia liczba algebraiczna, która pomnożona przez siebie daje w wyniku liczbę 5. Oznaczana jest zwykle przy użyciu symbolu pierwiastkowania jako:

\sqrt{5}

Jest to niewymierna liczba algebraiczna; jej rozwinięcie dziesiętne z dokładnością do 59 miejsca po przecinku[1] wynosi:

2,23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623 54406 18359 61152 57242 7089 ….

W kwietniu 1994 wartość pierwiastka kwadratowego z liczby 5 została wyznaczona z dokładnością do jednego miliona miejsc po przecinku[2]

Dowód niewymierności[edytuj | edytuj kod]

Niech \scriptstyle \sqrt 5 będzie liczbą wymierną, tzn. istnieją dwie takie liczby naturalne \scriptstyle m oraz \scriptstyle n, że \scriptstyle \sqrt 5 = m/n, przy czym każdą liczbę wymierną można zapisać w postaci ułamka nieskracalnego, tzn. można założyć o liczniku i mianowniku tego ułamka, iż są względnie pierwsze, tj. ich jedynym wspólnym dzielnikiem jest jedynka.

Podnosząc powyższą równość obustronnie do kwadratu (drugiej potęgi) otrzymuje się \scriptstyle 5 = m^2/n^2, skąd \scriptstyle 5n^2 = m^2. Ponieważ \scriptstyle 5n^2 jest liczbą podzielną przez 5, to i \scriptstyle m^2 jest podzielna przez 5. Kwadrat liczby podzielnej przez 5 jest liczbą podzielną przez 5, a niepodzielnej przez 5 – niepodzielną przez 5[3]; stąd liczba \scriptstyle m jest podzielna przez 5, czyli istnieje taka liczba naturalna \scriptstyle k, dla której \scriptstyle m = 5k. Podstawienie tego równania do poprzedniego daje \scriptstyle m^2 = (5k)^2 = 25k^2, zatem \scriptstyle 5n^2 = 25k^2, tj. \scriptstyle n^2 = 5k^2, co ponownie oznacza, że liczba \scriptstyle n^2, a stąd i \scriptstyle n, jest podzielna przez 5.

Skoro tak \scriptstyle m jak i \scriptstyle n są podzielne przez 5, to mają dzielnik różny od jedności. Sprzeczność ta dowodzi, że liczba \scriptstyle \sqrt 5 jest niewymierna.

Geometria[edytuj | edytuj kod]

Geometrycznie √5 jest długością przekątnej prostokąta o bokach 1 i 2, co wynika wprost z twierdzenia Pitagorasa. Prostokąt taki można uzyskać przez połowienie kwadratu, lub połączenie dwóch identycznych kwadratów bokami. Korzystając z algebraicznej relacji między √5 a φ, można wprost przejść do geometrycznej konstrukcji złotego prostokąta z kwadratu.

Złoty podział[edytuj | edytuj kod]

Konstrukcja złotego prostokąta.

Wartość √5 występuje przy zapisywaniu wartości złotej liczby w postaci ułamka zwykłego

\varphi = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}

jak również jej odwrotności

\frac{1}{\varphi} = \frac{2}{\sqrt{5} + 1} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}

Przekształcając powyższe wzory można zauważyć, że

\sqrt{5} = 2\varphi - 1 = \varphi + \frac{1}{\varphi}

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. (ciąg A002163 w OEIS)
  2. Robert Nemiroff, George Mason: Milion pierwszych cyfr pierwiastka kwadratowego z 5 (ang.).
  3. Twierdzenie: Kwadrat liczby naturalnej \scriptstyle n^2 jest liczbą podzielną przez 5 wtedy i tylko wtedy, gdy \scriptstyle n jest liczbą podzielną przez 5.
    Dowód: (→) Jeśli
    n = 5k
    to równość
    n^2 = (5k)^2 = 25k^2 = 5(5k^2)
    oznacza, że \scriptstyle n^2 jest podzielne przez 5, gdyż jej czynnikami są liczba 5 i inna liczna naturalna. (←) Dowód nie wprost: skoro
    p = 5k + 1
    q = 5k + 2
    r = 5k + 3
    s = 5k + 4
    to
    p^2 = (5k + 1)^2 = 25k^2 + 10k + 1 = 5(5k^2 + 2k) + 1
    q^2 = (5k + 2)^2 = 25k^2 + 20k + 4 = 5(5k^2 + 4k) + 4
    r^2 = (5k + 3)^2 = 25k^2 + 30k + 9 = 5(5k^2 + 6k + 1) + 4
    s^2 = (5k + 4)^2 = 25k^2 + 40k + 16 = 5(5k^2 + 8k + 3) + 1
    czyli \scriptstyle p^2, \scriptstyle q^2, \scriptstyle r^2 i \scriptstyle s^2 są niepodzielne przez 5, gdyż można je przedstawić jako sumę składników: liczby naturalnej podzielnej przez 5 i reszty niepodzielnej przez 5.
    Q.e.d