Pierwiastkowanie

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy odwrócenia potęgowania. Zobacz też: inne znaczenia tego pojęcia.

Pierwiastkowanie – w matematyce operacja odwrotna względem potęgowania. Ponieważ często istnieje wiele liczb (tzw. pierwiastki algebraiczne), które podniesione do pewnej potęgi dają daną liczbę, to pierwiastkowanie nie może być w ogólności nazwane działaniem; często można jednak ograniczyć dziedzinę działania potęgowania tak, by możliwe było jego odwrócenie (dając tzw. pierwiastki arytmetyczne).

Pierwiastki są szczególnie istotne w teorii szeregów, gdzie kryterium Cauchy'ego (pierwiastkowe) służy wyznaczaniu promienia zbieżności szeregu potęgowego. Pierwiastki można też zdefiniować dla liczb zespolonych; warto nadmienić, iż pierwiastki zespolone z jedynki odgrywają istotną rolę w matematyce wyższej. Duża część teorii Galois skupia się na wskazaniu, które z liczb algebraicznych można przedstawić za pomocą pierwiastków, co prowadzi do znanego twierdzenia Abela-Ruffiniego mówiącego, iż ogólny wielomian stopnia piątego bądź wyższego nie może być rozwiązany za pomocą tzw. pierwiastników, tzn. wyrażeń połączonych działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia oraz pierwiastków.

Historia[edytuj | edytuj kod]

Początki symbolu pierwiastka √ są dość niejasne. Niektóre źródła[potrzebne źródło] podają, że symbol został wprowadzony przez Arabów, a po raz pierwszy został on użyty przez Abū al-Hasana ibn Alīego al-Qalasādīego (1421-1486) i został wyprowadzony z arabskiej litery ج, pierwszej litery słowa Jadhir (gdzie „dh” oznacza międzyzębową dźwięczną spółgłoskę szczelinową) oznaczającego „korzeń”.

Wielu, w tym Leonhard Euler[1] wierzy, że pochodzi on od litery r, pierwszej litery łacińskiego słowa radix, które oznacza to samo działanie matematyczne. Symbolu użyto po raz pierwszy w druku bez vinculum (poziomej kreski nad liczbami wewnątrz symbolu pierwiastka) w 1525 roku w Die Coss autorstwa niemieckiego matematyka Christoffa Rudolffa.

Termin surd pochodzi z czasów al-Khwārizmīego (ok. 825), który liczby wymierne i niewymierne nazywał odpowiednio „słyszalnymi” i „niesłyszalnymi”. W związku z tym arabskie assam („głuchy, głupi”) oznaczające liczbę niewymierną było później tłumaczone na łacinę jako surdus („głuchoniemy”). Gerard z Cremony (ok. 1150), Fibonacci (1202), a potem Robert Recorde (1551) używali tego terminu w odniesieniu do nierozwiązanych pierwiastków niewymiernych[2].

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech dana będzie dodatnia liczba całkowita n nazywana stopniem. Pierwiastkiem z liczby x stopnia n nazywa się taką liczbę r, która podniesiona do n-tej potęgi jest równa x; innymi słowy jest to dowolna liczba r spełniająca równość

r^n = x.

Innymi słowy, pierwiastek stopnia n z liczby x jest pierwiastkiem wielomianu r^n - x zmiennej r.

Pierwiastek w powyższym sensie nazywa się często pierwiastkiem algebraicznym; każda dodatnia liczba rzeczywista ma jeden dodatni pierwiastek n-tego stopnia, nazywany często pierwiastkiem arytmetycznym. Pierwiastkiem n-tego stopnia z zera jest 0. W ten sposób każdej nieujemnej liczbie rzeczywistej przypisana zostaje nieujemna liczba rzeczywista, co umożliwia określenie działania pierwiastkowania w zbiorze nieujemnych liczb rzeczywistych.

Dla nieparzystych n każda ujemna liczba ma ujemny pierwiastek rzeczywisty n-tego stopnia (również nazywany pierwiastkiem arytmetycznym), choć nie jest to prawdą dla parzystych n.

Pierwiastek stopnia 2 nazywa się pierwiastkiem kwadratowym, zaś stopnia 3 – pierwiastkiem sześciennym; pierwiastki wyższych stopni identyfikuje się wyłącznie liczbowo, np. „pierwiastek czwartego stopnia”.

Pierwiastki zapisuje się zwykle za pomocą symbolu \sqrt{\ }, pierwiastkom stopnia drugiego, trzeciego, czwartego itd. z liczby x odpowiadają kolejno symbole \sqrt x, \sqrt[3]x, \sqrt[4]x itp. (zwyczajowo pomija się w zapisie stopień pierwiastka kwadratowego). Notacja ta nie budzi zastrzeżeń w stosunku do pierwiastków arytmetycznych, niemniej może prowadzić do sprzeczności w przypadku pierwiastków algebraicznych, dla których symbole te nie są jednoznaczne.

Przykłady i własności[edytuj | edytuj kod]

Liczba 2 jest pierwiastkiem czwartego stopnia z 16, gdyż 2^4 = 16. Jest to jedyna dodatnia liczba rzeczywista o tej własności i to właśnie ona nazywana jest pierwiastkiem arytmetycznym; innym pierwiastkiem rzeczywistym tej liczby jest -2; istnieją także dwa nierzeczywiste pierwiastki tej liczby[3], które wraz z 2 oraz -2 są pierwiastkami algebraicznymi 4-tego stopnia z 16.

Przykładem pierwiastka z liczby ujemnej może być liczba -2, która ma rzeczywisty pierwiastek piątego stopnia, \sqrt[5]{-2} = -1{,}148698354\dots, lecz nie ma żadnych rzeczywistych pierwiastków szóstego stopnia.

Pierwiastek kwadratowy z liczby naturalnej jest albo liczbą naturalną, albo niewymierną[4]; przykładem liczby naturalnej, której pierwiastek jest niewymierny jest 2:

\sqrt{2} = 1{,}414213562\dots

Pierwiastki stopni całkowitych z liczb niewymiernych są niewymierne, bo liczba wymierna podniesiona do potęgi o dowolnym wykładniku całkowitym daje liczbę wymierną. Mimo wszystko wszystkie pierwiastki liczb całkowitych, a nawet liczb algebraicznych, są algebraiczne.

Jeżeli x, y są nieujemnymi liczbami rzeczywistymi, zaś n, m są dodatnimi liczbami całkowitymi, to:

  • \sqrt[n]{xy} = \sqrt[n] x \sqrt[n] y,
  • \sqrt[n]{x/y} = \frac{\sqrt[n] x}{\sqrt[n] y} dla y \ne 0.

W analizie matematycznej pierwiastki traktuje się jako przypadki szczególne potęgowania o wykładniku ułamkowym, tzn.

\sqrt[n] x = x^{1/n},

stąd prawdziwe są również następujące równości:

  • \sqrt[n] {x^m} = \left(\sqrt[n] x\right)^m = \left(x^{1/n}\right)^m = x^{m/n}.

Ze wzorów skróconego mnożenia wynikają wzory:

  • \sqrt x + \sqrt y = \sqrt{x + y + 2\sqrt{xy}},
  • \left|\sqrt x - \sqrt y\right| = \sqrt{x + y - 2\sqrt{xy}},
  • \sqrt[3] a + \sqrt[3] b = \frac{a + b}{\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}}.

Pierwiastek można również wyrazić w postaci szeregu:

(1 + x)^{s/t} = \sum_{n=0}^\infty \frac{\prod_{k=0}^{n-1} (s - kt)}{n!t^n} x^n,

o ile |x| < 1. Wyrażenie to można wyprowadzić z szeregu dwumianowego.

Pierwiastek zespolony[edytuj | edytuj kod]

Dla dodatniej liczby całkowitej n pierwiastkiem stopnia n z liczby zespolonej x nazywa się dowolną liczbę r spełniającą równość

r^n = x.

Każda niezerowa liczba zespolona (a więc i rzeczywista) x ma n różnych zespolonych pierwiastków n-tego stopnia; szczególnie istotne są szeroko stosowane w matematyce pierwiastki z jedynki.

Pierwiastki z liczby zespolonej z można wyznaczyć korzystając ze wzoru de Moivre'a:

z_k = \sqrt[n]{|z|}\left(\cos \tfrac{\psi + 2k\pi}{n} + i\sin \tfrac{\psi + 2k\pi}{n}\right),

dla k = 0, 1, 2, \dots, n-1 (powyższy symbol pierwiastka oznacza pierwiastek arytmetyczny).

Przykładowo dla liczby z = -4 jest |z| = 4, a ponadto \operatorname{Arg}\; z = \pi,, a więc w postaci biegunowej ma ona postać z = 4 (\cos \pi + i\sin \pi).

Pierwiastkami drugiego stopnia z z są:

z_0 = 2 \left(\cos \tfrac{\pi}{2} + i\sin \tfrac{\pi}{2}\right) = 2i,
z_1 = 2 \left(\cos \tfrac{-\pi}{2} + i\sin \tfrac{-\pi}{2}\right) = -2i.

Typografia[edytuj | edytuj kod]

Niżej przedstawiono kody znaków symboli pierwiastka. W notacji angielskiej znak pierwiastka występuje bez wiążącej kreski górnej[5].

Znak Nazwa polska[6] Unikod Nazwa unikodowa ASCII URL HTML (inne)
pierwiastek kwadratowy U+221A SQUARE ROOT &#8730; %E2%88%9A &radic;
pierwiastek sześcienny U+221B CUBE ROOT &#8731; %E2%88%9B
pierwiastek czwartego stopnia U+221C FOURTH ROOT &#8732; %E2%88%9C
kreska wiążąca górna U+203E OVERLINE
kreska wiążąca górna dostawna U+0305 COMBINING OVERLINE

W LaTeX-u:

  • pierwiastek \sqrt x zapisywany jest jako \sqrt x;
  • pierwiastek \sqrt[k] x zapisywany jest jako \sqrt[k] x.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Leonhard Euler: Institutiones calculi differentialis. 1755. (łac.)
  2. Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics. [dostęp 2008-11-30].
  3. Są nimi 2i oraz -2i, zob. sekcję Pierwiastek zespolony.
  4. Dowód nie wprost. Niech dla pewnej liczby naturalnej \scriptstyle n jej pierwiastek \scriptstyle \sqrt n będzie niecałkowitą liczbą wymierną; wówczas \scriptstyle 0 < q = \sqrt n - \lfloor \sqrt n \rfloor < 1 i istnieją takie liczby naturalne, które mnożone przez \scriptstyle q dają liczby naturalne. Najmniejsza z nich (istnieje na mocy zasady dobrego uporządkowania) będzie oznaczana literą \scriptstyle k; niech ponadto l = kq, która jest mniejszą od k. Wtedy \scriptstyle lq = kq^2 = kn - 2k\sqrt n \lfloor \sqrt n \rfloor + k\lfloor \sqrt n \rfloor^2 = kn - 2k\lfloor \sqrt n\rfloor^2 + k\lfloor \sqrt n \rfloor^2 - 2kq\lfloor \sqrt n \rfloor jest liczbą całkowitą, gdyż wyrazy sumy są iloczynami liczb całkowitych, w ten sposób \scriptstyle l przeczy minimalności \scriptstyle k, co kończy dowód.
  5. Oxford Advanced Learner's Dictionary of Current English. T. 2: L-Z. Warszawa: Oxford Uniwersity Press/PWN, 1988, s. 737. ISBN 83-01-02448-8.
  6. Nazwy polskie zaczerpnięte lub utworzone na podstawie Robert Bringhurst, Elementarz stylu w typografii (Załącznik A), Design Plus, Kraków 2007.