Pierwiastkowanie

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ten artykuł dotyczy odwrócenia potęgowania. Zobacz też: inne znaczenia tego pojęcia.
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

Pierwiastkowanie – operacja odwrotna względem potęgowania. Ponieważ często istnieje wiele liczb (tzw. pierwiastki algebraiczne), które podniesione do pewnej potęgi dają daną liczbę, to pierwiastkowanie nie może być w ogólności nazwane działaniem; często można jednak ograniczyć dziedzinę działania potęgowania tak, by możliwe było jego odwrócenie (dając tzw. pierwiastki arytmetyczne).

Pierwiastki są szczególnie istotne w teorii szeregów, gdzie kryterium Cauchy'ego (pierwiastkowe) służy wyznaczaniu promienia zbieżności szeregu potęgowego. Pierwiastki można też zdefiniować dla liczb zespolonych; pierwiastki zespolone z jedynki odgrywają istotną rolę w matematyce wyższej. Duża część teorii Galois skupia się na wskazaniu, które z liczb algebraicznych można przedstawić za pomocą pierwiastków, co prowadzi do twierdzenia Abela-Ruffiniego mówiącego, iż ogólny wielomian stopnia piątego bądź wyższego nie może być rozwiązany za pomocą tzw. pierwiastników, tzn. wyrażeń połączonych działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia oraz pierwiastków.

Historia[edytuj]

Początki symbolu pierwiastka √ są dość niejasne. Niektóre źródła[potrzebny przypis] podają, że symbol został wprowadzony przez Arabów, a po raz pierwszy został on użyty przez Abū al-Hasana ibn Alīego al-Qalasādīego (1421-1486) i został wyprowadzony z arabskiej litery ج, pierwszej litery słowa Jadhir (gdzie „dh” oznacza międzyzębową dźwięczną spółgłoskę szczelinową) oznaczającego „korzeń”.

Wielu, w tym Leonhard Euler[1] wierzy, że pochodzi on od litery r, pierwszej litery łacińskiego słowa radix, które oznacza to samo działanie matematyczne. Symbolu użyto po raz pierwszy w druku bez vinculum (poziomej kreski nad liczbami wewnątrz symbolu pierwiastka) w 1525 roku w Die Coss autorstwa niemieckiego matematyka Christoffa Rudolffa.

Termin surd pochodzi z czasów al-Khwārizmīego (ok. 825), który liczby wymierne i niewymierne nazywał odpowiednio „słyszalnymi” i „niesłyszalnymi”. W związku z tym arabskie assam („głuchy, głupi”) oznaczające liczbę niewymierną było później tłumaczone na łacinę jako surdus („głuchoniemy”). Gerard z Cremony (ok. 1150), Fibonacci (1202), a potem Robert Recorde (1551) używali tego terminu w odniesieniu do nierozwiązanych pierwiastków niewymiernych[2].

Definicja[edytuj]

Niech dana będzie dodatnia liczba całkowita nazywana stopniem. Pierwiastkiem z liczby stopnia nazywa się taką liczbę która podniesiona do n-tej potęgi jest równa innymi słowy jest to dowolna liczba spełniająca równość

Innymi słowy, pierwiastek stopnia z liczby jest pierwiastkiem wielomianu zmiennej .

Pierwiastek w powyższym sensie nazywa się często pierwiastkiem algebraicznym; każda dodatnia liczba rzeczywista ma jeden dodatni pierwiastek n-tego stopnia, nazywany często pierwiastkiem arytmetycznym. Pierwiastkiem n-tego stopnia z zera jest W ten sposób każdej nieujemnej liczbie rzeczywistej przypisana zostaje nieujemna liczba rzeczywista, co umożliwia określenie działania pierwiastkowania w zbiorze nieujemnych liczb rzeczywistych.

Dla nieparzystych każda ujemna liczba ma ujemny pierwiastek rzeczywisty n-tego stopnia (również nazywany pierwiastkiem arytmetycznym), choć nie jest to prawdą dla parzystych

Pierwiastek stopnia 2 nazywa się pierwiastkiem kwadratowym, zaś stopnia 3 – pierwiastkiem sześciennym; pierwiastki wyższych stopni identyfikuje się wyłącznie liczbowo, np. „pierwiastek czwartego stopnia”.

Pierwiastki zapisuje się zwykle za pomocą symbolu pierwiastkom stopnia drugiego, trzeciego, czwartego itd. z liczby odpowiadają kolejno symbole itp. (zwyczajowo pomija się w zapisie stopień pierwiastka kwadratowego). Notacja ta nie budzi zastrzeżeń w stosunku do pierwiastków arytmetycznych, niemniej może prowadzić do sprzeczności w przypadku pierwiastków algebraicznych, dla których symbole te nie są jednoznaczne.

Przykłady i własności[edytuj]

Liczba 2 jest pierwiastkiem czwartego stopnia z 16, gdyż Jest to jedyna dodatnia liczba rzeczywista o tej własności i to właśnie ona nazywana jest pierwiastkiem arytmetycznym; innym pierwiastkiem rzeczywistym tej liczby jest -2; istnieją także dwa nierzeczywiste pierwiastki tej liczby[3], które wraz z 2 oraz -2 są pierwiastkami algebraicznymi 4. stopnia z 16.

Przykładem pierwiastka z liczby ujemnej może być liczba -2, która ma rzeczywisty pierwiastek piątego stopnia, , lecz nie ma żadnych rzeczywistych pierwiastków szóstego stopnia.

Pierwiastek kwadratowy z liczby naturalnej jest albo liczbą naturalną, albo niewymierną[4]; przykładem liczby naturalnej, której pierwiastek jest niewymierny jest 2:

Pierwiastki stopni całkowitych z liczb niewymiernych są niewymierne, bo liczba wymierna podniesiona do potęgi o dowolnym wykładniku całkowitym daje liczbę wymierną. Mimo wszystko wszystkie pierwiastki liczb całkowitych, a nawet liczb algebraicznych, są algebraiczne.

Jeżeli są nieujemnymi liczbami rzeczywistymi, zaś są dodatnimi liczbami całkowitymi, to:

  • dla

W analizie matematycznej pierwiastki traktuje się jako przypadki szczególne potęgowania o wykładniku ułamkowym, tzn.

stąd prawdziwe są również następujące równości:

Ze wzorów skróconego mnożenia wynikają wzory:

Pierwiastek można również wyrazić w postaci szeregu:

o ile Wyrażenie to można wyprowadzić z szeregu dwumianowego.

Pierwiastek zespolony[edytuj]

Dla dodatniej liczby całkowitej pierwiastkiem stopnia z liczby zespolonej nazywa się dowolną liczbę spełniającą równość

Każda niezerowa liczba zespolona (a więc i rzeczywista) ma różnych zespolonych pierwiastków n-tego stopnia; szczególnie istotne są szeroko stosowane w matematyce pierwiastki z jedynki.

Pierwiastki z liczby zespolonej można wyznaczyć korzystając ze wzoru de Moivre'a:

,

dla (powyższy symbol pierwiastka oznacza pierwiastek arytmetyczny).

Przykładowo dla liczby jest a ponadto , a więc w postaci biegunowej ma ona postać

Pierwiastkami drugiego stopnia z są:

Typografia[edytuj]

Niżej przedstawiono kody znaków symboli pierwiastka. W notacji angielskiej znak pierwiastka występuje bez wiążącej kreski górnej[5].

Znak Nazwa polska[6] Unikod Nazwa unikodowa ASCII URL HTML (inne)
pierwiastek kwadratowy U+221A SQUARE ROOT √ %E2%88%9A √
pierwiastek sześcienny U+221B CUBE ROOT ∛ %E2%88%9B
pierwiastek czwartego stopnia U+221C FOURTH ROOT ∜ %E2%88%9C
kreska wiążąca górna U+203E OVERLINE
kreska wiążąca górna dostawna U+0305 COMBINING OVERLINE

W LaTeX-u:

  • pierwiastek zapisywany jest jako \sqrt x;
  • pierwiastek zapisywany jest jako \sqrt[k] x.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Leonhard Euler: Institutiones calculi differentialis. 1755. (łac.)
  2. Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics. [dostęp 2008-11-30].
  3. Są nimi oraz zob. sekcję Pierwiastek zespolony.
  4. Dowód nie wprost. Niech dla pewnej liczby naturalnej jej pierwiastek będzie niecałkowitą liczbą wymierną; wówczas i istnieją takie liczby naturalne, które mnożone przez dają liczby naturalne. Najmniejsza z nich (istnieje na mocy zasady dobrego uporządkowania) będzie oznaczana literą niech ponadto która jest mniejszą od Wtedy jest liczbą całkowitą, gdyż wyrazy sumy są iloczynami liczb całkowitych, w ten sposób przeczy minimalności co kończy dowód.
  5. Oxford Advanced Learner's Dictionary of Current English. T. 2: L-Z. Warszawa: Oxford Uniwersity Press/PWN, 1988, s. 737. ISBN 83-01-02448-8.
  6. Nazwy polskie zaczerpnięte lub utworzone na podstawie Robert Bringhurst, Elementarz stylu w typografii (Załącznik A), Design Plus, Kraków 2007.