Pierwiastnik

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Pierwiastnik względem ustalonych liczb - wyrażenie algebraiczne zbudowane z tych liczb za pomocą czterech podstawowych działań arytmetycznych[a] oraz pierwiastków stopni naturalnych.

Pierwiastnikiem względem liczb oraz jest np. . Wyrażenie to można zatem zapisać z użyciem skończonej ilości znaków czterech działań arytmetycznych i działania pierwiastkowania.

Definicja formalna[edytuj]

Definicja (dla podciał ciała liczb zespolonych)[edytuj]

Liczbę zespoloną można przedstawić za pomocą pierwiastników[1], jeśli istnieją liczby zespolone oraz liczby naturalne takie, że kładąc

(ciało liczb wymiernych), (rozszerzenie ciała o element ) dla

będziemy mieli

  • dla wszystkich oraz .

Liczbę nazywa się stopniem powyższego przedstawienia.

Jeśli powyżej zastąpimy przez pewne ciało , to otrzymamy definicję przedstawialności liczby w pierwiastnikach nad ciałem . Jeśli , to powiemy, że jest przedstawialna w pierwiastnikach względem .

Definicja 2 (ogólniejsza)[edytuj]

Niech K będzie ciałem o charakterystyce 0. Element a jest pierwiastnikowy względem ciała K (albo element a wyraża się przez pierwiastniki względem ciała K), gdy istnieje ciąg ciał oraz , dla których zachodzi warunek:

  • dla i = 1, 2, ... , r ciało jest ciałem rozkładu wielomianu postaci .

Zbiór elementów pierwiastnikowych względem ciała K oznacza się zwykle przez r(K) i nazywa domknięciem pierwiastnikowym ciała K[2].

Jeśli K jest ciałem charakterystyki p > 0, to powyższy warunek definicji zastępuje się następującym:

  • dla i = 1, 2, ... , r ciało jest ciałem rozkładu wielomianu postaci , gdzie , albo wielomianu postaci [3].

Własności[edytuj]

  • Zbiór r(K) jest ciałem[4].
  • Każdy element pierwiastnikowy względem należy do r(K)[5].
  • Jeśli oraz równanie
nie ma pierwiastków wymiernych, to pierwiastki tego równania nie dają się przedstawić w pierwiastnikach kwadratowych.
  • Jeżeli p i q są liczbami pierwszymi, to równanie nie jest rozwiązalne w pierwiastnikach względem [6].

Znaczenie i użycie[edytuj]

Pojęcie pierwiastnika odegrało ważną rolę w badaniach (m.in. Abela i Galois) nad rozwiązalnością równań algebraicznych jednej zmiennej stopni wyższych niż 4. Badania te inspirowane były znanymi wzorami, wyrażającymi pierwiastki równań niskich stopni (wzory podane przez del Ferro i Tartaglię a znane jako wzory Cardana dla równań stopnia trzeciego i wzory Ferrari dla czwartego). Niestety, okazało się, że w ogólnym przypadku (tzn. poza wyjątkowymi układami wartości współczynników równania) pierwiastki równań stopni 5 i wyższych nie wyrażają się przez pierwiastniki względem współczynników równania – patrz Twierdzenie Abela-Ruffiniego.

Pierwiastniki kwadratowe mają zastosowanie w geometrii. Punkt jest konstruowalny za pomocą cyrkla i linijki wtedy i tylko wtedy, gdy jest pierwiastnikiem kwadratowym nad pewnym rozszerzeniem ciała (Wantzel). G. Mohr i L. Mascheroni udowodnili, że w twierdzeniu powyższym można ograniczyć się do cyrkla, a J. Steiner wykazał, że jeśli na płaszczyźnie dany jest okrąg wraz ze środkiem, to można ograniczyć się do linijki[7].

Zobacz też[edytuj]

Uwagi

  1. a więc także potęgi o wykładnikach naturalnych jako wielokrotne mnożenie

Przypisy

  1. Sierpiński, Wacław: Zasady algebry wyższej, "Monografie Matematyczne" Tom 11, Rozdział 13. Plikpdf jest dostępny z serwisu Biblioteka Wirtualna Nauki
  2. Jerzy Browkin: Teoria ciał. Warszawa: PWN, 1977, s. 112.
  3. Browkin, op. cit., s. 112
  4. Browkin, op. cit., s. 114
  5. Browkin, op. cit., s. 114
  6. Browkin, op. cit., s. 144
  7. Browkin, op. cit., s. 158