Opis

OpisCircle2cardioid.png	English: Conformal mapping from circle to cardioid Polski: Przekształcenie koła w kardioidę
Data	4 października 2008
Źródło	Own work by uploader ( using Maxima and Gnuplot ) with help of many people   Ta PNG grafika rastrowa została stworzona za pomocą Gnuplot.
Autor	Adam majewski

Ta ilustracja ma także wersję wektorową („SVG”). Zaleca się wykorzystywanie w galeriach dostępnej wersji wektorowej zamiast obecnej. File:Circle2cardioid.png → File:Circle to cardioid.svg Więcej o grafice wektorowej przeczytasz w artykule Przenoszenie grafik Commons do formatu SVG. Dostępna jest także informacja o obsłudze grafik SVG przez MediaWiki. W innych językach Alemannisch ∙ Bahasa Indonesia ∙ Bahasa Melayu ∙ British English ∙ català ∙ čeština ∙ dansk ∙ Deutsch ∙ eesti ∙ English ∙ español ∙ Esperanto ∙ euskara ∙ français ∙ Frysk ∙ galego ∙ hrvatski ∙ Ido ∙ italiano ∙ lietuvių ∙ magyar ∙ Nederlands ∙ norsk bokmål ∙ norsk nynorsk ∙ occitan ∙ Plattdüütsch ∙ polski ∙ português ∙ português do Brasil ∙ română ∙ Scots ∙ sicilianu ∙ slovenčina ∙ slovenščina ∙ suomi ∙ svenska ∙ Tiếng Việt ∙ Türkçe ∙ vèneto ∙ Ελληνικά ∙ беларуская (тарашкевіца) ∙ български ∙ македонски ∙ нохчийн ∙ русский ∙ српски / srpski ∙ татарча/tatarça ∙ українська ∙ ქართული ∙ հայերեն ∙ বাংলা ∙ தமிழ் ∙ മലയാളം ∙ ไทย ∙ 한국어 ∙ 日本語 ∙ 简体中文 ∙ 繁體中文 ∙ עברית ∙ العربية ∙ فارسی ∙ +/−

 

Long description

Cardioid ${\displaystyle \partial H_{1}\,}$ is an image of circle ${\displaystyle \partial D_{\frac {1}{2}}\,}$ under complex map ${\displaystyle g_{1}\,}$ ^[1]. It can be seen in nature^[2]

where :

• ${\displaystyle \partial D_{\frac {1}{2}}}$ is a circle with center at the origin and radius=1/2

${\displaystyle \partial D_{\frac {1}{2}}=\left\{w:abs(2w)=1\right\}}$ 

• Cardioid ${\displaystyle \partial H_{1}\,}$ is a boundary or period=1 hyperbolic component of Mandelbrot set

• ${\displaystyle g_{1}\,}$ is a complex map from circle to cardioid

${\displaystyle g_{1}:\partial D_{\frac {1}{2}}\rightarrow \partial H_{1}\,}$

or in other words :

${\displaystyle c=g_{1}(w)\,}$

Explicit equation of this map is :

${\displaystyle g_{1}(w)=w-w^{2}\,}$

Compare ${\displaystyle g_{1}\,}$ with inverse multiplier map ${\displaystyle \gamma _{1}\,}$ ^[3]:

${\displaystyle \gamma _{1}:\partial D_{1}\rightarrow \partial H_{1}\,}$

${\displaystyle \gamma _{1}(w)={\frac {w}{2}}-{\frac {w^{2}}{4}}\,}$

Maxima source code

/* 
batch file for maxima
conformal mapping from :
the  circle with center=0 and radius=1/2
given by equation : abs(2*z)=1
where : z:x+y*%i=r*cos(t)+%i*r*sin(t) = 
onto 
cardioid ( boundary of main hyperbolic component of Mandelbrot set
is given by equation:
c:w-w*w;
based on :Conformal Mappings And The Area Of The Mandelbrot Set by David Allingham page 18
http://www.eng.warwick.ac.uk/staff/doa/reports/allingham-thesis1995.pdf archive copy at the Wayback Machine
*/ 
/* conformal map */
f(w):=w-w*w;
iMax:100; /* number of points to draw */
dt:1/iMax;
/* 
circle D={w:abs(2w)=1 } where w=l(t) 
t is angle in turns ; 1 turn = 360 degree = 2*Pi radians 
*/
l(t):=%e^(%i*t*2*%pi)/2;
/* point to point method of drawing */
t:0; /* angle in turns */ 
/* compute first point of curve, create list and save point to this list */
/* point of unit circle   w:l(t); */
w:rectform(ev(l(t), numer)); 
circleList:makelist (w, j, 1, 1); 
for i:1 thru iMax step 1 do
block
(t:t+dt,
w:rectform(ev(l(t), numer)), 
circleList:cons(w,circleList)
);
/* convert one list into 2 lists */
xxCircle:map(realpart, circleList);
yyCircle:map(imagpart, circleList); 
/* conformal mapping from  circle to cardioid */
cardioidList: map(f, circleList);	
/* convert one list into 2 lists */
xxCardioid:map(realpart, cardioidList);
yyCardioid:map(imagpart, cardioidList);
load(draw); /* Mario Rodríguez Riotorto   http://www.telefonica.net/web2/biomates/maxima/gpdraw/index.html archive copy at the Wayback Machine */
draw(file_name = "a",
 pic_width=1000, 
 pic_height= 500,
 terminal  = 'png,
 columns  = 2,
 gr2d(title = " circle D={w:abs(2*w)=1 } ",
  points_joined =true,
  color         = red,
  point_type = 0,
  points(xxCircle,yyCircle)),
 gr2d(title      = "cardioid {c: c = w - w*w } ",
  points_joined =true,
  color         = blue,
  point_type = 0,
  points(xxCardioid,yyCardioid)) 
);

References

1. ↑ 3D-XplorMath \ Conformal Maps \ a*z^b+b*z
2. ↑ Cardioid as a shadow of ring. Foto by Sebastian Tkacz
3. ↑ Boundary of components of Mandelbrot set computed using boundary equations

Licencja

Ja, właściciel praw autorskich do tego dzieła, udostępniam je na poniższych licencjach

Ten plik udostępniony jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa – Na tych samych warunkach 3.0.

Wolno:

• dzielić się – kopiować, rozpowszechniać, odtwarzać i wykonywać utwór
• modyfikować – tworzyć utwory zależne

Na następujących warunkach:

• uznanie autorstwa – musisz określić autorstwo utworu, podać link do licencji, a także wskazać czy utwór został zmieniony. Możesz to zrobić w każdy rozsądny sposób, o ile nie będzie to sugerować, że licencjodawca popiera Ciebie lub Twoje użycie utworu.
• na tych samych warunkach – Jeśli zmienia się lub przekształca niniejszy utwór, lub tworzy inny na jego podstawie, można rozpowszechniać powstały w ten sposób nowy utwór tylko na podstawie tej samej lub podobnej licencji.

https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0CC BY-SA 3.0 Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 truetrue

Udziela się zgody na kopiowanie, rozpowszechnianie oraz modyfikowanie tego dokumentu zgodnie z warunkami GNU Licencji Wolnej Dokumentacji, w wersji 1.2 lub nowszej opublikowanej przez Free Software Foundation; bez niezmiennych sekcji, bez treści umieszczonych na frontowej lub tylnej stronie okładki. Kopia licencji załączona jest w sekcji zatytułowanej GNU Licencja Wolnej Dokumentacji.http://www.gnu.org/copyleft/fdl.htmlGFDLGNU Free Documentation Licensetruetrue

Możesz wybrać, którą licencję chcesz zastosować.