Pochodna Pincherlego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Pochodna Pincherlegooperator liniowy przekształcający inny operator liniowy , określony na przestrzeni liniowej wielomianów zmiennej z ciała , zdefiniowany wzorem

tak, że

dla każdego .

Innymi słowy, pochodna Pincherlego to komutator z mnożeniem przez w algebrze endomorfizmów .

Pojęcie to nazwano po włoskim matematyku, Salvatore Pincherle (1853–1936).

Własności[edytuj]

Pochodna Pincherlego, jak każdy komutator jest różniczkowaniem, co oznacza, że spełnia prawa dodawania i mnożenia: dla danych dwóch operatorów liniowych i należących do jest

  • ;
  • , gdzie jest złożeniem operatorów;
  • , gdzie jest zwykłym nawiasem Liego.

Zwykła pochodna, jest operatorem wielomianowym. Policzenie wprost daje, że jego pochodna Pincherlego to .

Wzór ten uogólnia się do przez indukcję. Dowodzi to, że pochodna Pincherlego operatora różniczkowego również jest operatorem różniczkowym, a więc pochodna Pincherlego jest różniczkowaniem .

Operator przesunięcia może być zapisany jako ze wzoru Taylora. Wtedy jego pochodna Pincherlego to . Innymi słowy, operatory przesunięcia są wektorami własnymi pochodnej Pincherlego, którego spektrum jest cała cała przestrzeń skalarów .

Jeżeli jest niezmiennicze ze względu na przesunięcia, tzn. jeżeli komutuje z lub , to zachodzi wtedy również , a więc również jest niezmiennicze ze względu na przesunięcia o to samo przesunięcie .

„Operator delta z czasem dyskretnym” to operator , którego pochodna Pincherlego jest operatorem przesunięcia .

Zobacz też[edytuj]

Linki zewnętrzne[edytuj]