Pochodna kierunkowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Pochodna kierunkowa – to pochodna funkcji wielu zmiennych obliczona w kierunku dowolnego wektora jednostkowego . Pochodna kierunkowa jest uogólnieniem pojęcia pochodnej cząstkowej na dowolne kierunki, przy czym pochodne cząstkowe są tożsame z pochodnymi w kierunkach wektorów jednostkowych bazy układu współrzędnych,

Definicja pochodnej kierunkowej[edytuj]

Paraboloida, która jest wykresem funkcji , w czerwonym punkcie ma maksimum; w punkcie tym zerują się pochodne w dowolnym kierunku, co jest warunkiem koniecznym istnienia maksimum.

Niech dana będzie przestrzeń euklidesowa i zawarty w niej podzbiór otwarty

Pochodną kierunkową funkcji wzdłuż wektora jednostkowego w punkcie nazywamy granicę

zakładając, że granica ta istnieje.

Twierdzenie: Niech oznacza gradient funkcji w punkcie

i załóżmy, że gradient ten istnieje (co oznacza, że jeżeli jest różniczkowalna w punkcie ). Wtedy pochodną kierunkową można obliczyć z iloczynu skalarnego gradientu i wektora

Definicja pochodnej w kierunku niejednostkowego (i niezerowego) wektora ma postać:

gdzie oznacza długość wektora . Gdy jest różniczkowalna w punkcie , to analogicznie jak dla pochodnej w kierunku wektora jednostkowego mamy

czyli pochodna ta jest identyczna jak dla wektora jednostkowego.

Definicja pochodnej kierunkowej dla wektorów niejednostkowych jest niezgodna z notacją używaną w pozostałych działach matematyki, gdzie oczekuje się, iż pochodne algebry różniczkowej tworzą przestrzeń liniową.

Dla bardziej ogólnego przypadku pochodnej Frécheta pochodną kierunkową wyznacza wzór:

Istnieje wiele różnych oznaczeń pochodnej kierunkowej, wśród nich:

Przykład[edytuj]

Ponieważ dla funkcji jest

to pochodna kierunkowa w kierunku jednostkowego wektora wynosi

Własności[edytuj]

Pochodna kierunkowa ma wiele własności identycznych jak zwykła pochodna. Wśród nich, dla funkcji i określonych w otoczeniu punktu , w którym funkcje te są również różniczkowalne, słuszne są reguły:

  • reguła sumy:
  • reguła stałej: dla dowolnej stałej zachodzi
  • reguła iloczynu (lub Leibniza):
  • reguła łańcuchowa: jeśli jest różniczkowalna w zaś jest różniczkowalna w to

Związki z innymi pochodnymi[edytuj]

Przestrzenie liniowe[edytuj]

 Osobny artykuł: pochodna cząstkowa.

Jeśli jest bazą standardową w to pochodna kierunkowa funkcji wzdłuż wektora dla pokrywa się z pochodną cząstkową względem zmiennej , tzn.

gdzie

Rozmaitości różniczkowe[edytuj]

 Zobacz też: przestrzeń styczna.

Niech oznacza funkcję określoną w otoczeniu punktu rozmaitości różniczkowej różniczkowalną w punkcie  ; oznacza wektor styczny do rozmaitości w punkcie .

Pochodną kierunkową w punkcie p wzdłuż wektora v definiuje się następująco:

Niech odwzorowanie generuje krzywą różniczkowalną, taką że oraz Pochodną kierunkową definiuje jest wzorem

Dowodzi się, że pochodna ta nie zależy od wyboru krzywej .

Pochodną kierunkową funkcji wzdłuż wektora oznacza się symbolami:

Przestrzenie liniowo-topologiczne[edytuj]

 Osobny artykuł: pochodna Gâteaux.

Bezpośrednim uogólnieniem pochodnej kierunkowej na lokalnie wypukłe przestrzenie liniowo-topologiczne (w tym przestrzenie Banacha) jest tzw. pochodna Gâteaux.

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

[1] Krzysztof Maurin: Analiza. Cz. I: Elementy. Warszawa: PWN, 1976.

[2] Witold Kołodziej: Analiza matematyczna. Warszawa: PWN, 2009.