Pochodna kierunkowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Pochodna kierunkowa – pochodna funkcji wielu zmiennych obliczona w kierunku dowolnego wektora jednostkowego . Pochodna kierunkowa jest uogólnieniem pojęcia pochodnej cząstkowej na dowolne kierunki, przy czym pochodne cząstkowe są tożsame z pochodnymi w kierunkach wektorów jednostkowych bazy układu współrzędnych.

Definicja pochodnej kierunkowej[edytuj | edytuj kod]

Paraboloida, która jest wykresem funkcji , w czerwonym punkcie ma maksimum; w punkcie tym zerują się pochodne w dowolnym kierunku, co jest warunkiem koniecznym istnienia maksimum.

Niech dana będzie przestrzeń euklidesowa i zawarty w niej podzbiór otwarty

Pochodną kierunkową funkcji wzdłuż wektora jednostkowego w punkcie nazywamy granicę

zakładając, że granica ta istnieje.

Związek pochodnej kierunkowej z gradientem[edytuj | edytuj kod]

Okręgi przedstawiają linie o stałych wartościach funkcji . Zielony wektor wskazuje gradient funkcji, wektor pomarańczowy wskazuje kierunek, w którym liczy się pochodną kierunkową. Wektor gradientu jest dłuższy, gdyż wskazuje kierunek największej zmiany wartości funkcji.

Twierdzenie:

Jeżeli istnieje gradient funkcji w punkcie (co oznacza, że jest różniczkowalna w )

to pochodna kierunkowa funkcji w kierunku wektora jest równa iloczynowi skalarnemu gradientu funkcji i wektora

Przykład[edytuj | edytuj kod]

(1) Niech będzie dana funkcja

(2) Gradient funkcji wynosi

(3) Pochodna kierunkowa funkcji w kierunku jednostkowego wektora dana jest zależnością

czyli

Twierdzenia[edytuj | edytuj kod]

Pochodna kierunkowa ma wiele własności identycznych jak zwykła pochodna. Wśród nich, dla funkcji i określonych w otoczeniu punktu , w którym funkcje te są różniczkowalne, słuszne są reguły:

(1) reguła sumy

(2) reguła stałej: dla dowolnej stałej zachodzi

(3) reguła iloczynu (reguła Leibniza)

(4) reguła łańcuchowa: jeśli jest różniczkowalna w , zaś jest różniczkowalna w to

Pochodna w kierunku wektora niejednostkowego[edytuj | edytuj kod]

(1) Definicja pochodnej w kierunku niejednostkowego i niezerowego wektora ma postać:

gdzie - długość wektora .

(2) Twierdzenie

Gdy jest różniczkowalna w punkcie , to

czyli pochodna ta jest identyczna jak dla wektora jednostkowego.

Uwaga:

Definicja pochodnej kierunkowej dla wektorów niejednostkowych jest niezgodna z notacją używaną w pozostałych działach matematyki, gdzie oczekuje się, iż pochodne algebry różniczkowej tworzą przestrzeń liniową.

Pochodna kierunkowa pochodnej Frécheta[edytuj | edytuj kod]

Dla bardziej ogólnego przypadku pochodnej Frécheta pochodną kierunkową wyznacza wzór:

Związek z pochodną cząstkową[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: pochodna cząstkowa.

Jeśli jest bazą standardową w to pochodna kierunkowa funkcji wzdłuż wektora dla jest równa pochodnej cząstkowej względem zmiennej , tzn.

gdzie

Rozmaitości różniczkowe[edytuj | edytuj kod]

 Zobacz też: przestrzeń styczna.
Przestrzeń styczna 2-wymiarowa (tj. płaszczyzna) do 2-wymiarowej rozmaitości (powierzchni) w punkcie oraz wektor styczny do krzywej przechodzącej przez punkt .

Jeżeli:

(1) jest funkcją określoną w otoczeniu punktu rozmaitości różniczkowej różniczkowalną w punkcie

(2) oznacza wektor styczny do rozmaitości w punkcie

(3) odwzorowanie generuje krzywą różniczkowalną , taką że

  • oraz

to pochodną kierunkową w punkcie wzdłuż wektora definiuje wzór

Tw. Dowodzi się, że pochodna ta nie zależy od wyboru krzywej .

Przestrzenie liniowo-topologiczne[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: pochodna Gâteaux.

Bezpośrednim uogólnieniem pochodnej kierunkowej na lokalnie wypukłe przestrzenie liniowo-topologiczne (w tym przestrzenie Banacha) jest tzw. pochodna Gâteaux.

Różne oznaczenia pochodnej kierunkowej[edytuj | edytuj kod]

Istnieje wiele różnych oznaczeń pochodnej kierunkowej, np.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Inne

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

[1] Krzysztof Maurin: Analiza. Cz. I: Elementy. Warszawa: PWN, 1976.

[2] Witold Kołodziej: Analiza matematyczna. Warszawa: PWN, 2009.