Pochodna logarytmiczna

Pochodna logarytmiczna funkcji $f(x)$ – pochodna logarytmu naturalnego funkcji $f$,

$(\ln f)'={\frac {f'}{f}}.$

Powyższy wzór można wyprowadzić używając wzoru na pochodną złożenia.

Jest ona często używana w analizie matematycznej, szczególnie w analizie zespolonej.

Podstawowe własności

1. Pochodna logarytmiczna iloczynu funkcji jest sumą pochodnych logarytmicznych funkcji. Wynika to wprost ze wzoru na logarytm iloczynu.

   $(\ln fg)'=(\ln f+\ln g)'=(\ln f)'+(\ln g)'.$

2. Pochodna logarytmiczna ilorazu funkcji jest różnicą pochodnych logarytmicznych funkcji. Wynika to wprost ze wzoru na logarytm ilorazu.

   $\left(\ln {\frac {f}{g}}\right)'=(\ln f-\ln g)'=(\ln f)'-(\ln g)'.$

3. Pochodna logarytmiczna odwrotności funkcji jest wartością przeciwną do pochodnej logarytmicznej funkcji.

   $(\ln 1/f)'=(-\ln f)'=-(\ln f)'.$

4. Pochodna logarytmiczna $n$-tej potęgi funkcji jest pochodną logarytmiczną tejże funkcji przemnożoną przez $n$

   $(\ln f^{n})'=(n\ln f)'=n(\ln f)'.$

Zastosowania

Pochodna funkcji wykładniczej

Przekształcając wzór na pochodną logarytmiczną otrzymujemy wzór na $f'$:

$(\ln f)'={\frac {f'}{f}},$

$f'=f\cdot (\ln f)'.$

Gdy $f$ jest postaci

$f=g^{h},$

otrzymujemy wzór

$f'=f\cdot (h\cdot \ln g)'=f\cdot \left(h'\cdot \ln g+h{\frac {g'}{g}}\right).$

Przykłady

1. Pochodna wyrażenia $2^{x}$ jest równa

   $(2^{x})'=2^{x}(x\cdot \ln 2)'=2^{x}\ln 2.$

2. Pochodna wyrażenia $x^{2x}$ jest równa

   $(x^{2x})'=x^{2x}(2x\cdot \ln x)'=2x^{2x}(\ln x+1).$

Pochodna iloczynu wielu funkcji

Gdy funkcja $f$ jest postaci

$f=f_{1}\cdot f_{2}\cdot \ldots \cdot f_{n}=\prod \limits _{k=1}^{n}f_{k},$

używając wzoru na pochodną logarytmiczną iloczynu otrzymujemy:

${\frac {f'}{f}}={\frac {f_{1}'}{f_{1}}}+{\frac {f_{2}'}{f_{2}}}+\ldots +{\frac {f_{n}'}{f_{n}}}=\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {f_{k}'}{f_{k}}},$

czyli wzór na pochodną $f'$ jest następujący:

$f'=f\cdot \left({\frac {f_{1}'}{f_{1}}}+{\frac {f_{2}'}{f_{2}}}+\ldots +{\frac {f_{n}'}{f_{n}}}\right)=f\cdot \left(\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {f_{k}'}{f_{k}}}\right).$

W szczególnym przypadku (gdy $f=g\cdot h$) mamy:

$f'=f\cdot \left({\frac {g'}{g}}+{\frac {h'}{h}}\right).$

Przykłady

1. Pochodna wyrażenia $x\cos(x)$ jest równa

   $(x\cos(x))'=x\cos(x)\cdot \left({\frac {1}{x}}-{\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}\right).$

2. Pochodna wyrażenia $2x\sin(x)\ln(x)$ jest równa

   $(2x\sin(x)\ln(x))'=2x\sin(x)\ln(x)\cdot \left({\frac {2}{2x}}+{\frac {\cos(x)}{\sin(x)}}+{\frac {1}{x\ln(x)}}\right).$

Pochodne logarytmiczne podstawowych funkcji

Oznaczając pochodną logarytmiczną $f$ poprzez $D_{\log }\;f$ otrzymujemy:

• $D_{\log }\;x={\frac {1}{x}}$

• $D_{\log }\;x^{2}={\frac {2}{x}}$

• $D_{\log }\;{\frac {1}{x}}=-{\frac {1}{x}}$

• $D_{\log }\;x^{n}={\frac {n}{x}}$

• $D_{\log }\;ke^{x}=1$

• $D_{\log }\;ke^{nx}=n$

• $D_{\log }\;\ln(x)={\frac {1}{x\ln(x)}}$

Residua pochodnej logarytmicznej

Jeżeli $f(z)$ jest funkcją holomorficzną (analityczną) wewnątrz obszaru ograniczonego $D$ i na jego brzegu $C$ zorientowanym dodatnio względem $D,$ która nie przyjmuje wartości 0 na $C$ to:

$Z={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}dz,$

gdzie $Z$ oznacza liczbę zer funkcji $f(z)$ wewnątrz $D$ (gdzie zero $k$-krotne liczy się jako $k$).

Jeśli w obszarze $D$ funkcja $f(z)$ jest meromorficzna, natomiast na $C$ funkcja ta nie ma ani zer, ani biegunów to

$Z-B={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}dz,$

gdzie dodatkowo $B$ oznacza liczbę biegunów funkcji $f(z)$ wewnątrz $D$ (gdzie biegun $k$-krotny liczy się jako $k$).

Zobacz też

• funkcja digamma