Pochodna logarytmiczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Pochodna logarytmiczna funkcji pochodna logarytmu naturalnego funkcji [1],

.

Powyższy wzór można wyprowadzić używając wzoru na pochodną złożenia.

Jest ona często używana w analizie matematycznej, szczególnie w analizie zespolonej.

Podstawowe własności[edytuj | edytuj kod]

  1. Pochodna logarytmiczna iloczynu funkcji jest sumą pochodnych logarytmicznych funkcji. Wynika to wprost ze wzoru na logarytm iloczynu[a].
  2. Pochodna logarytmiczna ilorazu funkcji jest różnicą pochodnych logarytmicznych funkcji. Wynika to wprost ze wzoru na logarytm ilorazu.
  3. Pochodna logarytmiczna odwrotności funkcji jest wartością przeciwną do pochodnej logarytmicznej funkcji.
  4. Pochodna logarytmiczna -tej potęgi funkcji jest pochodną logarytmiczną tejże funkcji przemnożoną przez

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Pochodna funkcji wykładniczej[edytuj | edytuj kod]

Przekształcając wzór na pochodną logarytmiczną otrzymujemy wzór na [a]:

Gdy jest postaci

otrzymujemy wzór

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  1. Pochodna wyrażenia jest równa
  2. Pochodna wyrażenia jest równa

Pochodna iloczynu wielu funkcji[edytuj | edytuj kod]

Gdy funkcja jest postaci[a]

,

używając wzoru na pochodną logarytmiczną iloczynu otrzymujemy:

,

czyli wzór na pochodną jest następujący:

.

W szczególnym przypadku (gdy ) mamy:

.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  1. Pochodna wyrażenia jest równa
  2. Pochodna wyrażenia jest równa

Pochodne logarytmiczne podstawowych funkcji[edytuj | edytuj kod]

Oznaczając pochodną logarytmiczną poprzez otrzymujemy:

Residua pochodnej logarytmicznej[2][edytuj | edytuj kod]

Jeżeli jest funkcją holomorficzną (analityczną) wewnątrz obszaru ograniczonego i na jego brzegu zorientowanym dodatnio względem , która nie przyjmuje wartości 0 na to

gdzie oznacza liczbę zer funkcji wewnątrz (gdzie zero -krotne liczy się jako ).

Jeśli w obszarze funkcja jest meromorficzna, natomiast na funkcja ta nie ma ani zer, ani biegunów to

gdzie dodatkowo oznacza liczbę biegunów funkcji wewnątrz (gdzie biegun -krotny liczy się jako ).

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  1. a b c Tutaj itp. oznaczają odpowiednio

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Eric W. Weisstein, „Logarithmic Derivative” na MathWorld.
  2. F. Leja: Funkcje zespolone. T. 29. PWN, 1967.