Pochodna ułamkowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Pochodna ułamkowa - uogólnienie pojęcia pochodnej funkcji n-tego rzędu na rząd rzeczywisty.

Pochodną ułamkową najprościej zdefiniować poprzez różniczkowanie ułamkowe szeregu Taylora wyraz po wyrazie. Niech

wtedy pochodna n-tego rzędu

Zadanie zdefiniowania pochodnej ułamkowej sprowadza się do znalezienia funkcji która staje się silnią dla argumentu całkowitego. Taka funkcja to funkcja .

Dla rzeczywistego definiujemy więc

Dla dowolnej funkcji rozwijalnej w szereg Taylora

można ją zróżniczkować po wyrazie zgodnie z powyższą definicja co jest równoważne

licząc również całki wyraz po wyrazie.

Łatwo sprawdzić ze pochodna ułamkowa jest ciągła względem jej rzędu tzn. ze np. wykres pochodnej rzędu 1/2 leży pomiędzy pochodną 0 (samą funkcją) a pierwszą pochodną.