Pochodne Wirtingera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Pochodne Wirtingera, operatory Wirtingera[1]operatory różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu zachowujące się w bardzo podobny sposób do zwykłych pochodnych względem zmiennej rzeczywistej po przyłożeniu ich do funkcji holomorficznych, antyholomorficznych lub po prostu różniczkowalnych w obszarach płaszczyzny zespolonej. Operatory te umożliwiają, dla wspomnianych funkcji, konstrukcję rachunku różniczkowego całkowicie analogicznego do rachunku różniczkowego zwyczajnego funkcji zmiennych rzeczywistych[2]. Pojęcie nosi nazwisko Wilhelma Wirtingera, który wprowadził je w 1927 roku.

Pomimo ich powszechnego zastosowania[3], zdaje się, że brakuje pracy, która zawierałaby wszystkie własności pochodnych Wirtingera; jednakże krótki kurs wielowymiarowej analizy zespolonej autorstwa Andreottiego (1976)[4] i monografia Kaupa (1984)[5] zawierają dość kompletny wykład na ich temat; z tego powodu będą używane w tym artykule jako główne źródło odniesienia.

Uwagi historyczne[edytuj]

Pochodne Wirtingera wykorzystywano w analizie zespolonej, jak to zauważyli Cherry i Ye (2001, s. 31), co najmniej od czasów pracy Poincarégo (1899). Istotnie, w trzecim akapicie[6] tej pracy Henri Poincaré definiuje najpierw zmienną zespoloną w a następnie jej sprzężenie zespolone wzorem

gdzie wskaźnik ma w domyśle przebiegać od 1 do n. Następnie pisze on równanie definiujące funkcje, które nazywa on biharmonique[7], wcześniej zapisane za pomocą pochodnych cząstkowych względem zmiennych rzeczywistych dla oraz przebiegających od do w dokładnie następujący sposób[8]

Oznacza to, że przyjął on drugą (wielowymiarową) definicję przedstawioną niżej: aby się o tym przekonać, wystarczy porównać równania 2 oraz 2' w pracy Poincarégo (1899, 112). Jednakże pierwsze systematyczne wprowadzenie pochodnych Wirtingera pochodzi od Wilhelma Wirtingera (1926), które miało na celu uproszczenie obliczeń wielkości pojawiających się w teorii funkcji kilku zmiennych zespolonych: wynikiem wprowadzenia tych operatorów różniczkowych było znaczące uproszczenie postaci wszystkich operatorów różniczkowych, powszechnie stosowanych w teorii, jakimi są np. operator Leviego czy operator Cauchy’ego-Riemanna.

Konwencje[edytuj]

Dalej płaszczyzna zespolona będzie utożsamiana z płaszczyzną euklidesową .

W przypadku wielowymiarowym symbol będzie oznaczać przestrzeń euklidesową nad ciałem liczb zespolonych i będzie wykorzystywane następujące utożsamienie:

Wówczas będzie traktowany jako wektor zespolony gdzie oraz są wektorami rzeczywistymi, przy czym ponadto podzbiór będzie postrzegany jako obszar rzeczywistej przestrzeni euklidesowej lub też jej zespolonej odpowiedniczki z nią izomorficznej,

Definicje[edytuj]

Pochodne Wirtingera definiuje się jako następujące liniowe operatory różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu:

W przypadku wielowymiarowym pochodne Wirtingera przyjmuje się, że są to następujące macierzowe liniowe operatory różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu:

Naturalną dziedziną definicji tych operatorów różniczkowych cząstkowych jest przestrzeń funkcji różniczkowalnych w sposób ciągły określonych na obszarze dla jednakże ponieważ operatory te są liniowe i mają stałe współczynniki, to mogą być łatwo rozszerzone na każdą przestrzeń funkcji uogólnionych.

Podstawowe własności[edytuj]

Dowody poniższych własności wynikają wprost z przyjętych definicji.

Liniowość

Jeżeli zaś to dla wszystkich zachodzi następująca równość

Reguła Leibniza

Jeżeli to dla wszystkich zachodzi reguła Leibniza:

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Zob. Fichera 1986, s. 62.
  2. Niektóre podstawowe własności pochodnych Wirtingera pokrywają się z własnościami charakteryzującymi pochodne zwyczajne (lub cząstkowe) używane do konstrukcji zwykłego rachunku różniczkowego.
  3. Z powołaniem się na nazwisko Wilhelma Wirtingera lub nie.
  4. Aldo Andreotti wykorzystuje własności pochodnych Wirtingera w celu wykazania zamkniętości algebry funkcji holomorficznych ze względu na pewne operacje.
  5. Ta książka zawiera pewne własności pochodnych Wirtingera także w przypadku ogólnym funkcji różniczkowalnych w sposób ciągły.
  6. Zob. Poincaré 1899, s. 111-114.
  7. Funkcje te są dokładnie pluriharmonicznymi, a operator różniczkowy liniowy je definiujący, tzn. operator w równaniu 2 w pracy Poincarégo (1899, s. 112), jest n-wymiarowym operatorem pluriharmonicznym.
  8. Zob. Poincaré (1899, s. 112), równanie 2': w pracy tej, zamiast popularniejszego oznaczenia to litera służy jako symbol pochodnej cząstkowej.

Literatura[edytuj]

Bibliografia[edytuj]