Podgrupa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Podgrupazbiór elementów danej grupy, który sam tworzy grupę z działaniem grupy wyjściowej; inaczej podzbiór grupy zamknięty na działanie grupowe i branie odwrotności, który zawiera jej element neutralny (zob. działanie wewnętrzne).

Podgrupy to te z podzbiorów grup, które odzwierciedlają i zachowują ich strukturę algebraiczną; badanie podgrup danej grupy (nazywanej czasem w tym kontekście nadgrupą) dostarcza o niej wielu istotnych informacji umożliwiając głębsze zrozumienie jej budowy. Niekiedy podgrupy wkomponowane są w grupę w szczególny sposób: są niezmiennikami przekształceń algebraicznych (podgrupa normalna, podgrupa charakterystyczna), umożliwiają jednoznaczne przedstawienie elementu grupy jako sumy/iloczynu elementów ich „rozłącznych”[1] podgrup (składnik/czynnik prosty, zob. suma prosta/iloczyn prosty podgrup); w teorii grup przemiennych rozpatruje się podgrupy czyste oraz podgrupy istotne[2] o nieco słabszych, lecz nadal przydatnych, własnościach (przy potencjalnie większej ich liczbie, co ułatwia wskazanie podgrup o lepszych własnościach).

Charakteryzacja[edytuj]

 Zobacz też: grupapodzbiór.

Niech będzie grupą; podzbiór który tworzy grupę ze względu na działanie określone na , nazywa się podgrupą grupy i oznacza zwykle Dokładniej podgrupę charakteryzują następujące warunki:

  • Wewnętrzność: działanie grupowe na jest zawężeniem działania grupy do zbioru dlatego iloczyn elementów obliczany jest jako iloczyn elementów oraz w grupie aby uzyskać dwuargumentowe działanie wewnętrzne na dane wzorem tak jak w grupie potrzeba, a zarazem wystarcza, by dla wszystkich Innymi słowy zbiór musi być zamknięty ze względu na działanie w
  • Łączność: działanie w musi być łączne, czyli dla wszystkich musi zachodzić wiadomo jednak, że dla a ponieważ to powyższy warunek odnosi się w szczególności do elementów w ten sposób łączność działania w dana jest z góry (tzn. wynika wprost z łączności działania w ).
  • Element neutralny: zbiór nie może być pusty, gdyż jako grupa musi mieć element neutralny; niech spełnia dla dowolnego w szczególności dla elementu neutralnego grupy zachodzi a ponieważ to z charakteryzacji elementu neutralnego grupy wynika, że jest elementem neutralnym grupy oznacza to, że element neutralny grupy jest zarazem elementem neutralnym w o ile tylko należy on do tzn. nie trzeba szukać elementu neutralnego w gdyż jest on niejako z góry – wystarczy tylko sprawdzić, czy element neutralny w należy do
  • Odwracalność: dla każdego musi istnieć dla których odczytanie tego równania w grupie daje natychmiastowo rozwiązanie w postaci elementu odwrotnego do w grupie element odwrotny do istnieje w dlatego nie trzeba go szukać, lecz wystarczy sobie jedynie zapewnić, iż element odwrotny do należący do jest również elementem

Podsumowując: niepusty podzbiór grupy jest podgrupą wtedy i tylko wtedy, gdy

  • jest zamknięty na działanie: dla wszystkich
  • zawiera element neutralny:
  • jest zamknięty na odwracanie: dla każdego

Co więcej, drugi warunek wynika z pierwszego i trzeciego: niech (gdyż jest niepusty, ), wtedy z trzeciego warunku a więc na mocy pierwszego, co daje Innymi słowy sprawdzenie, czy można pominąć zakładając, iż jest niepusty; z drugiej strony jeśli nie wiadomo a priori, czy to najszybszym sposobem zapewnienia tego warunku jest właśnie sprawdzenie, czy Na podstawie powyższych obserwacji można zatem sformułować

Kryterium bycia podgrupą
Niepusty podzbiór grupy jest jej podgrupą wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunki
oraz

Powyższe dwa warunki (wraz z ) często łączy się w jeden: dla wszystkich [3]; jest on zupełnie równoważny warunkowi dla wszystkich [4]. W przypadku skończonym wystarczający jest warunek zamkniętości działania, tzn. prawdziwe jest następujące

Kryterium bycia podgrupą skończoną
Niepusty podzbiór skończony grupy bądź niepusty podzbiór grupy skończonej jest podgrupą wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich [5][6].

Przykłady[edytuj]

Podgrupy trywialna i niewłaściwa
 Zobacz też: grupa trywialna.
W dowolnej grupie zbiór jednoelementowy oraz zbiór są podgrupami nazywanymi odpowiednio podgrupą trywialną oraz podgrupą niewłaściwą (podgrupy, które nie są trywialne bądź niewłaściwe, nazywa się odpowiednio nietrywialnymi oraz właściwymi); jeżeli jest podgrupą właściwą w to czasem używa się oznaczenia [7], nietrywialność podgrupy zaznaczana jest osobno. Jeżeli jest podgrupą w zaś jest podgrupą w to jest podgrupą w
Kryterium bycia podgrupą
Niech będzie podzbiorem liczb całkowitych podzielnych przez Zbiór tworzy grupę ze względu na dodawanie (wprost z konstrukcji), zaś zbiór jest zamknięty ze względu na dodawanie i branie odwrotności[8], a więc jest podgrupą w Analogicznie dowodzi się, że zbiór dla dowolnego będącego liczbą naturalną jest podgrupą w a ponadto wszystkie jej podgrupy mają tę postać.
Zbiór dodatnich liczb wymiernych tworzy podgrupę w grupie niezerowych liczb wymiernych z działaniem mnożenia (iloczyn dowolnych dwóch niezerowych liczb wymiernych dalej jest niezerową liczbą wymierną i podobnie odwrotność niezerowej liczby wymiernej jest niezerową liczbą wymierną), co wynika wprost z własności iloczynu i odwrotności liczb wymiernych: jeśli to oraz podobne obserwacje dotyczą liczb rzeczywistych (należy wyżej zastąpić znakiem i wyraz „wymierny” za pomocą „rzeczywisty”).
Jeżeli są podgrupami w to ich część wspólna również jest podgrupą w [9]. Analogicznie część wspólna rodziny podgrup grupy indeksowanej za pomocą pewnego zbioru indeksów również jest podgrupą w
Niech oznacza zbiór wszystkich wzajemnie jednoznacznych odwzorowań przedziału jednostkowego liczb rzeczywistych; tworzy on grupę ze względu na składanie odwzorowań (zob. grupa: Motywacja). Zbiór jest podgrupą w jako jej niepusty podzbiór zamknięty na składanie i odwracanie funkcji:
  • Otóż zbiór jest niepusty, gdyż należy do niego odwzorowanie tożsamościowe dane wzorem dla którego zachodzi
  • Ponadto jeżeli to oraz co oznacza a więc
  • Wreszcie jeśli to a zatem stąd tzn. czyli
Kryterium bycia podgrupą skończoną
Niech dany będzie podzbiór grupy wraz z mnożeniem modulo przy czym oznacza redukcję liczby całkowitej modulo (tzn. resztę z dzielenia przez ). Ponieważ
to zbiór jest zamknięty ze względu na mnożenie. Skoro jest zbiorem skończonym, to na podstawie kryterium bycia podgrupą skończoną zbiór powinien być podgrupą w Byłaby to prawda, gdyby była grupą ze względu na mnożenie (nie jest nią, gdyż nie istnieje np. odwrotność elementu ); jest ona jednak grupą ze względu na dodawanie, co (jak się okazuje) jest zupełnie czymś innym – aby poprawnie zastosować wspomniane kryterium, należy się więc najpierw upewnić, że nadzbiór tworzy grupę (z tym samym działaniem).
Mimo to jest grupą ze względu na mnożenie[10]: z powyższych rozważań wynika, że zbiór ten jest zamknięty na mnożenie, które jest łączne (jest ono w istocie łączne na co wynika z własności arytmetyki modularnej); ponadto oraz dla wszystkich (z powyższych rozważań lub własności arytmetyki modularnej), skąd jest elementem neutralnym w każdy element ma odwrotność należącą do – wynika to z równań oraz Korzystając z kryterium bycia podgrupą skończoną można się przekonać, iż podzbiory są nietrywialnymi podgrupami właściwymi w gdyż są one zamknięte ze względu na mnożenie (są to jedyne tego rodzaju podgrupy w tej grupie). Podgrupy w mają rzędy które są dzielnikami rzędu grupy
Podzbiór tworzy podgrupę grupy niezerowych liczb zespolonych względem mnożenia na podstawie kryterium bycia podgrupą skończoną, gdyż jest zamknięta na branie iloczynów. To samo kryterium mówi, że jest podgrupą w Ponadto grupa ta nie ma innych nietrywialnych podgrup właściwych, gdyż jeśli podgrupa ta zawierałaby lub to musiałaby także zawierać lub czyli tworzyłaby wtedy całą grupę Dlatego ma dokładnie trzy podgrupy: jedną rzędu jedną rzędu i jedną rzędu W tym przypadku rzędy podgrup również są dzielnikami rzędu grupy
Kryterium może okazać się fałszywe w przypadku, gdy badany podzbiór nie jest skończony: jeśli jest podzbiorem dodatnich liczb całkowitych (które można utożsamiać z liczbami naturalnymi ), to mimo iż jest grupą ze względu na dodawanie, a podzbiór jest zamknięty na to działanie, to nie tworzy on podgrupy, gdyż brak w tym zbiorze elementu neutralnego dodawania (); rozpatrywanie (podobnie jak poprzedni przykład) narusza warunek należenia odwrotności (tu: elementu przeciwnego). Grupa jest kanonicznym przykładem grupy nieskończonej (wszystkie nieskończone grupy generowane przez jeden element mają tę samą co ona strukturę grupy cyklicznej, zob. izomorfizm).
Uwagi
W ogólności suma mnogościowa podgrup nie musi być podgrupą: jest tak wtedy i tylko wtedy, gdy lub [11]; wynika to z nieco ogólniejszej obserwacji: jeżeli jest podgrupą w zawartą w to zawiera się w całości w lub (być może w obu z nich)[12][13]. Oznacza to, że nie istnieje grupa, która byłaby sumą mnogościową dwóch swoich nietrywialnych podgrup właściwych; mimo to istnieje grupa, dla której suma jej trzech różnych nietrywialnych podgrup właściwych tworzy w niej podgrupę[14]. Twierdzenie Scorzy stanowi o tym, że jeśli grupa jest sumą trzech nietrywialnych podgrup właściwych, to są one indeksu dwa, a części wspólne dowolnych dwóch z tych trzech podgrup są równe[15][16][17], z kolei twierdzenie Cohna (będące jego rozszerzeniem) charakteryzuje grupy będące sumą mnogościową czterech, pięciu i sześciu ich podgrup właściwych[18], zaś twierdzenie Tomkinsona mówi, iż nie istnieje grupa, którą można zapisać w postaci sumy mnogościowej dokładnie siedmiu jej nietrywialnych podgrup właściwych[19][20].
Podgrupę grupy generowaną przez jej podzbiór można scharakteryzować jako najmniejszą (w sensie zawierania) podgrupę zawierającą wszystkie elementy zbioru tj. część wspólną wszystkich podgrup zawierających zbiór Podgrupę generowaną przez jednoelementowy podzbiór grupy nazywa się podgrupą cykliczną generowaną przez zaś sam element nazywa się generatorem tej podgrupy (może mieć ona wiele generatorów); rzędem elementu nazywa się rząd podgrupy (cyklicznej) generowanej przez ten element, czyli jej liczbę elementów.
Przypadki grup i opisane w wyżej („kryterium bycia grupą skończoną”) sugerują ogólną regułę, iż rząd podgrupy dzieli rząd grupy – w istocie jest ona prawdziwa: rozumowanie w przypadku skończonym wymaga jedynie znajomości pojęć grupy i funkcji (można go znaleźć w rząd: Własności); w przypadku ogólnym wynik ten, nazywany twierdzeniem Lagrange'a, wymaga znajomości pojęcia warstwy grupy względem jej podgrupy.
Rodzaje podgrup
Niech będzie dowolną grupą; zbiór elementów grupy przemiennych z ustalonym jej elementem tworzy podgrupę nazywaną centralizatorem elementu [21]; podobnie zbiór elementów grupy które są przemienne z dowolnym jej elementem, tworzy podgrupę nazywaną centrum grupy [22].
Dla dwóch elementów dowolnej grupy element nazywa się ich komutatorem; przy czym wtedy i tylko wtedy, gdy są przemienne, tzn. Dla „wysoce nieprzemiennych” grup (tzw. grup doskonałych) może się zdarzyć, że żaden z komutatorów nie będzie elementem neutralnym, skąd podzbiór wszystkich komutatorów grupy nie musi tworzyć podgrupy; problem ten można obejść biorąc „najmniejszą” grupę zawierającą wszystkie komutatory, tj. podgrupę przez nie generowaną (zob. Przykłady): dla danych dwóch podzbiorów grupy ich komutantem nazywa się podgrupę w generowaną przez wszystkie komutatory gdzie oraz Podgrupę nazywa się komutantem lub pochodną grupy
Centrum i komutant są przykładami tzw. podgrup normalnych, czyli takich podgrup pewnej grupy które są przemienne z dowolnym elementem tzn. dla każdego zachodzi [23][24]. Pojęcie podgrupy normalnej umożliwia wprowadzenie metody konstrukcji nowych grup z istniejących grup oraz ich podgrup (normalnych), mianowicie tzw. grup ilorazowych; procedura ta jest uogólnieniem uzyskiwania grup z mnożeniem modulo z grupy liczb całkowitych oraz jej podgrupy (zob. wyżej).

Wśród wielu przykładów grup i ich podgrup można wymienić ponadto:

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Żadne dwie podgrupy nie są rozłączne w sensie mnogościowym (jako podzbiory), jednak jako rozłączne w sensie algebraicznym można uważać podgrupy, których jedynym wspólnym elementem jest element neutralny; niekiedy mówi się o nich, że mają trywialne przecięcie – nazywa się je zwykle ortogonalnymi (por. ortogonalność).
  2. Wspomniane podstruktury są przypadkami szczególnymi ogólniejszych podstruktur tzw. modułów: podmodułu czystego oraz podmodułu istotnego (każda grupa przemienna jest modułem nad liczbami całkowitymi).
  3. Jeżeli dla dowolnych oraz dla każdego to w istocie również jeżeli zaś dla to z otrzymuje się dla (ze względu na czyli ), w ten sposób
  4. Dowód można uzyskać rozumując analogicznie jak wyżej, bądź zastępując elementy ich odwrotnościami (zawsze istnieją w grupie ).
  5. Wystarczy wykazać, że w przypadku, gdy jest skończony, warunek odwracalności wynika z warunku zamkniętości na działanie, dzięki czemu oba te warunki będą równoważne drugiemu z nich, co jest tezą stwierdzenia: w tym celu należy dowieść, iż pod warunkiem skończoności i zamkniętości na działanie. Niech skoro jest zamknięte na mnożenie, to należy do niego dowolne złożenie tzn. dla będącego liczbą naturalną. Ponieważ jest skończony, to elementy muszą się powtarzać, zatem dla pewnych liczb naturalnych (por. grupa cykliczna i rząd elementu oraz zob. Przykłady). Przyjmując bez straty ogólności, że otrzymuje się co oznacza, że zatem jest zamknięty ze względu na branie odwrotności.
  6. Drugi warunek pociąga pierwszy, ponieważ dowolny podzbiór zbioru skończonego jest skończony.
  7. Innym jest z przekreślonym znakiem równości, którego względnie dobrymi zastępnikami są lub
  8. Niech będą liczbami całkowitymi: jeżeli oraz to jeśli to (dowody tych własności można znaleźć w artykule dzielnik). Stąd dla zachodzą podzielności oraz z których wynika co oznacza podobnie jeśli to pociąga czyli
  9. Istotnie, gdyż oraz ponadto jeżeli to i skąd i a więc dodatkowo z wynika i a więc i co pociąga stąd jest podgrupą w
  10. Aby uniknąć tego rodzaju pomyłek stosuje się czasem konwencję oznaczania grup addytywnych i multiplikatywnych w indeksie górnym odpowiednio za pomocą znaku dodawania i mnożenia, w tym przypadku oraz oznaczane byłyby odpowiednio symbolami
  11. Równoważnie: bądź czy też albo
  12. Dowód przez kontrapozycję: jeżeli nie zawiera się w ani w to można znaleźć element należący do lecz nie do oraz element należący do lecz nie do z założenia zatem ale oraz ale z założenia i faktu, iż jest podgrupą, wynikałoby wtedy skąd czyli lub czyli a to dawałoby sprzeczność z założeniem. Stąd jest podgrupą w bądź
  13. Jeżeli jest podgrupą, to przyjmując otrzymuje się lub Z drugiej strony w każdym z przypadków, lub zbiór jest podgrupą.
  14. Przykładem może być tzw. grupa czwórkowa Kleina w której są nietrywialnymi podgrupami właściwymi dającymi w sumie całą grupę.
  15. Dowód: Niech , gdzie , oraz są podgrupami właściwymi , a ponadto dane jest rozbicie na siedem rozłącznych części: , , , , , , (elementy podziału zawierające wyłącznie część wspólną wymienionych w indeksie dolnym zbiorów). Ponieważ nie istnieje grupa będąca sumą mnogościową dwóch podgrup właściwych, to , oraz są niepuste.
    Należy wykazać, że . Niech oraz . Wówczas , gdyż w przeciwnym przypadku , sprzeczność. Również , gdyż w przeciwnym przypadku oznaczałoby to lub , co znowu daje sprzeczność. Stąd . Podobnie, . Ostatecznie .
    Jeżeli oraz , to . Zatem , skąd (podobnie itd.). Odwrotnie, niech , zaś dla dowolnego będzie . Wtedy tak, że . Dlatego . Analogicznie dane są równości wraz z , oraz .
    Rozumując w niemal ten sam sposób , a zarazem, dla dowolnego , jest . Podobnie, dla dowolnych oraz , zachodzi oraz .
    Wówczas , , oraz tworzą cztery (lewo- i prawostronne!) warstwy . Wynika stąd, że jest podgrupą normalną , zaś ma strukturę grupy izomorficzną grupą czwórkową Kleina .
    Z drugiej strony, jeśli ma iloraz izomorficzny z , to jest sumą (mnogościową) swoich trzech podgrup , i indeksu 2. Przeciwobrazy , oraz w odwzorowaniu ilorazowym są więc trzema podgrupami właściwymi indeksu 2 stanowiącymi pokrycie .
  16. Ponadto wspomniana część wspólna jest podgrupą normalną (zob. Ważne podgrupy) w całej grupie, a jej grupa ilorazowa (zob. Ważne podgrupy) jest izomorficzna z grupą czwórkową Kleina.
    Twierdzenie: Jeżeli grupa jest sumą mnogościową trzech właściwych podgrup, to jest zarazem sumą mnogościową trzech właściwych podgrup normalnych.
    Dowód: Wspomniane w twierdzeniu Scorzy , oraz w odwzorowaniu ilorazowym są przeciwobrazami podgrup normalnych grupy (izomorficznych z ; ich normalność wynika np. z przemienności, przy czym zachowuje się ona po wzięciu przeciwobrazu homomorficznego).
  17. Twierdzenie: Grupa skończona jest sumą mnogościową podgrup właściwych wtedy i tylko wtedy, gdy ma iloraz izomorficzny z dla pewnej liczby pierwszej .
    Twierdzenie: Jeżeli jest sumą mnogościową właściwych podgrup normalnych, to minimalna liczba tych podgrup wynosi , gdzie jest najmniejszą liczbą pierwszą, dla której ma iloraz izomorficzny z .
  18. Niech gdy tylko jest sumą mnogościową podgrup właściwych, ale nie jest sumą jakiekolwiek mniejszej liczby podgrup właściwych.
    Twierdzenie Cohna (1994): Niech będzie grupą. Wówczas
    • wtedy i tylko wtedy, gdy , zaś ma iloraz izomorficzny grupą symetryczną lub ;
    • wtedy i tylko wtedy, gdy , zaś ma iloraz izomorficzny grupą alternującą ;
    • wtedy i tylko wtedy, gdy , zaś ma iloraz izomorficzny grupą diedralną lub bądź , czyli grupą rzędu 20 o dwóch generatorach spełniających (gdzie jest elementem neutralnym), .
  19. Zgodnie z oznaczeniami użytymi w sformułowaniu twierdzenia Cohna:
    Twierdzenie Scorzy (1926): wtedy i tylko wtedy, gdy ma iloraz izomorficzny z .
    Twierdzenie Tomkinsona (1997): Nie istnieje , dla której .
  20. Symbol oznacza liczbę pokryciową grupy będącą rozmiarem minimalnego pokrycia , gdzie pokrycie (skończone) oznacza (skończoną) rodzinę podgrup właściwych dających w sumie , minimalność pokrycia oznacza z kolei, że nie istnieje pokrycie danej grupy o mniejszej liczbie elementów.
    Twierdzenie B. H. Neumanna (1954): grupa jest sumą mnogościową skończenie wielu podgrup właściwych wtedy i tylko wtedy, gdy ma ona skończony niecykliczny obraz homomorficzny.
    Twierdzenie Detomi–Lucchiniego (2008): Nie istnieje , dla której .
    Twierdzenie Garonziego (2013): Nie istnieje , dla której istnieją grupy , dla których poza wymienionymi (w tym również w twierdzeniach Tomkinsona oraz Detomi i Lucchiniego).
  21. Na mocy kryterium bycia podgrupą: niech tzn. zachodzą równości oraz wtedy czyli do zbadania należenia do elementu odwrotnego do wystarczy rozpatrzeć równość z której wynika a z niej
  22. Korzystając z kryterium bycia podgrupą: niech wtedy dla dowolnych zachodzą równości oraz skąd można w szczególności dla dowolnego zapisać czyli z kolei jeżeli to skąd a więc
  23. W odróżnieniu od centrum grupy w którym każdy element z osobna jest przemienny z dowolnym elementem grupy tj. przemienność podgrupy normalnej z dowolnym elementem grupy oznacza tylko tyle, iż dla dowolnego elementu można znaleźć element dla których zachodzi
  24. Wspomniane centrum i komutant są w istocie przykładami podgrup normalnych o jeszcze lepszych własnościach, tzw. podgrup charakterystycznych (charakterystyczność, w przeciwieństwie do normalności, jest własnością przechodnią).
  25. Bądź nieco ogólniej: wszystkich automorfizmów ustalonej skończeniewymiarowej przestrzeni liniowej (tj. odwracalnych przekształceń liniowych tej przestrzeni na siebie).