Podgrupa charakterystyczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Podgrupa charakterystycznapodgrupa niezmiennicza ze względu na działanie automorfizmów.

Definicja formalna[edytuj]

Niech będzie grupą. Podgrupę nazywa się charakterystyczną, jeżeli dla każdego automorfizmu (bijektywnego homomorfizmu) grupy i dla każdego elementu zachodzi lub równoważnie .

Ta właściwość podgrupy grupy oznaczana jest symbolem lub

Uwagi[edytuj]

  • Podgrupy charakterystyczne są w szczególności niezmiennicze ze względu na automorfizmy wewnętrzne, zatem są one podgrupami normalnymi. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, w czwórkowej grupie Kleina każda podgrupa jest normalna, ale wszystkie sześć permutacji trzech nieneutralnych elementów jest automorfizmami, stąd trzy podgrupy rzędu 2 nie są charakterystyczne.
  • Jednakże jeśli i grupa nie zawiera innych podgrup o tym samym rzędzie, to musi być charakterystyczna, ponieważ automorfizmy zachowują rząd.

Podgrupa ściśle charakterystyczna[edytuj]

Podgrupa nazwana zostanie ściśle charakterystyczną w , jeśli jest niezmiennicza ze względu na suriektywne endomorfizmy. Ponieważ w grupach skończonych suriektywność implikuje iniektywność, to pojęcie jest wówczas równoważne pojęciu podgrupy charakterystycznej, jednak w grupach nieskończonych suriektywny endomorfizm nie musi być automorfizmem.

Podgrupa całkowicie charakterystyczna[edytuj]

Jeżeli jest podgrupą niezmienniczą ze względu na dowolny endomorfizm grupy , to nazywa się ją podgrupą całkowicie charakterystyczną (CC-podgupą, również całkowicie niezmienniczą albo w pełni charakterystyczną bądź w pełni niezmienniczą). Innymi słowy, jeżeli jest dowolnym homomorfizmem, to .

W każdej grupie zawierają się dwie całkowicie charakterystyczne grupy niewłaściwe: cała grupa oraz podgrupa trywialna. Każda całkowicie charakterystyczna grupa jest grupą ściśle charakterystyczną, a więc podgrupą charakterystyczną. Komutant grupy zawsze jest grupą całkowicie charakterystyczną. Ogólniej, każda podgrupa werbalna jest zawsze całkowicie charakterystyczna. Dla dowolnej zredukowanej grupy wolnej, a w szczególności dla każdej grupy wolnej, prawdziwe jest twierdzenie odwrotne — każda podgrupa całkowicie charakterystyczna jest werbalna.

Grupa elementarna[edytuj]

Grupę, której jedynymi podgrupami normalnymi są podgrupa trywialna i cała grupa nazywa się grupą prostą. Analogicznie grupę, której jedynymi podgrupami charakterystycznymi są podgrupa trywialna i cała grupa nazywa się grupą elementarną bądź grupą charakterystycznie prostą.

Własności[edytuj]

  • Każda podgrupa charakterystyczna jest normalna.
  • Każda podgrupa całkowicie charakterystyczna jest ściśle charakterystyczna, więc i charakterystyczna. Łatwo sprawdzić, że centrum jest zawsze podgrupą ściśle charakterystyczną, jednak nie zawsze całkowicie charakterystyczną.
  • Jeśli jest grupą skończoną, jest jej podgrupą normalną oraz , to .

Przechodniość[edytuj]

Własności charakterystyczności lub całkowitej charakterystyczności podgrupy są przechodnie. Otóż jeśli jest (całkowicie) charakterystyczną podgrupą , a (całkowicie) charakterystyczną podgrupą , to jest (całkowicie) charakterystyczną podgrupą .

Co więcej, choć nie jest prawdą, że każda podgrupa normalna podgrupy normalnej danej grupy jest normalna w tej grupie, to jest prawdą, iż każda charakterystyczna podgrupa podgrupy normalnej jest w niej normalna, czyli:

, w szczególności zaś .

Podobnie nie jest prawdą, iż każda ściśle charakterystyczna podgrupa podgrupy ściśle charakterystycznej danej grupy jest w niej ściśle charakterystyczna, to jest prawdą, że każda całkowicie charakterystyczna podgrupa ściśle charakterystycznej jest ściśle charakterystyczna w całej grupie.

Relacja między tymi własnościami może być zobrazowana za pomocą następującego diagramu:

podgrupapodgrupa normalna ← podgrupa charakterystyczna ← podgrupa ściśle charakterystyczna ← podgrupa całkowicie charakterystyczna.

Przykłady[edytuj]

  • Każda podgrupa grupy cyklicznej jest charakterystyczna.
  • Jeżeli jest grupą, wówczas grupy generowane odpowiednio przez zbiory: oraz są podgrupami charakterystycznymi grupy .
  • Niech dana będzie grupa (rzędu 12 będącą produktem prostym grupy symetrycznej rzędu 6 i grupy cyklicznej rzędu 2). Centrum jest jej drugi czynnik, . Pierwszy czynnik zawiera podgrupę izomorficzną z , np. . Niech będzie homomorfizmem we wskazaną podgrupę. Wówczas złożenie rzutu na jej drugi współczynnik z oraz włożeniem w (jako pierwszy współczynnik) daje endomorfizm w którym obraz centrum nie zawiera się w centrum, a zatem centrum nie jest całkowicie charakterystyczną podgrupą grupy .
  • Komutant dowolnej grupy jest jej podgrupą całkowicie charakterystyczną, gdyż jest on podgrupą werbalną (generowaną przez wszystkie wyrażenia określonej postaci – komutatory). Dla każdego automorfizmu i dla każdego zachodzi .
  • Część torsyjna (największa podgrupa torsyjna) grupy abelowej jest podgrupą całkowicie charakterystyczną.
  • Przykładami grup elementarnych są grupy addytywne przestrzeni wektorowych nad ciałami skończonymi.

Przekształcenia grupy auto- i endomorfizmów[edytuj]

Jeżeli , to każdy automorfizm indukuje automorfizm na grupie ilorazowej , istnieje stąd przekształcenie .

Jeżeli jest podgrupą całkowicie charakterystyczną w , to analogicznie: każdy endomorfizm indukuje endomorfizm , który daje przekształcenie .

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

  • A. Bojanowska, P. Traczyk: Algebra I. skrypt WMIM, 2005.
  • Cz. Bagiński: Wstęp do teorii grup. SCRIPT, 2005. ISBN 83-904564-9-4.
  • M. I. Kargapołow, J. I. Mierzliakow: Podstawy teorii grup. PWN, 1976.
  • W. R. Scott: Group Theory. Dover, 1987, s. 45-46. ISBN 0-486-65377-3.
  • W. Magnus, A. Karrass, D. Solitar: Combinatorial Group Theory. Dover, 2004, s. 74-85. ISBN 0-486-43830-9.