Podgrupa torsyjna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Podgrupa torsyjna – w teorii grup abelowych podgrupa danej grupy składająca się ze wszystkich elementów skończonego rzędu. Grupę abelową nazywa się torsyjną albo periodyczną, jeżeli każdy jej element ma skończony rząd i beztorsyjną, jeśli dowolny nietożsamościowy element tej grupy jest nieskończonego rzędu (istnieją więc grupy, które nie są ani torsyjne, ani beztorsyjne). Podgrupę torsyjną oznacza się symbolem A_\operatorname T. Niekiedy spotyka się również nazwę maksymalna podgrupa torsyjna zaznaczająca, iż podgrupa składa się z wszystkich elementów torsyjnych (w dalszej części artykułów pod nazwą „podgrupa torsyjna” będzie się rozumieć podgrupę o właśnie tych własnościach).

Dowód zamkniętości A_\operatorname T ze względu na dodawanie opiera się na przemienności dodawania (zob. sekcja Przykłady).

Jeżeli A jest abelowa, to jej podgrupa torsyjna T jest całkowicie niezmienniczą podgrupą grupy A, a jej grupa ilorazowa A/T jest beztorsyjna (jest to maksymalna grupa o tej własności, przy czym jest ona wyznaczona jednoznacznie). Istnieje funktor kowariantny \operatorname T z kategorii grup abelowych w kategorię grup torsyjnych, który odwzorowuje każdą grupę na jej podgrupę torsyjną, a każdy homomorfizm na jego zawężenie do podgrupy torsyjnej. Z tego względu podgrupę torsyjną grupy A oznacza się czasem symbolem \operatorname T(A). Istnieje również inny funktor kowariantny z kategorii grup abelowych w kategorię grup beztorsyjnych przekształcający każdą grupę w jej iloraz przez jej podgrupę torsyjną i każdy homomorfizm w odpowiednio indukowany homomorfizm (który jest dobrze określony, co dość łatwo sprawdzić).

Jeżeli A jest skończenie generowana i abelowa, to można ją zapisać jako sumę prostą jej podgrupy torsyjnej T i jej podgrupy beztorsyjnej (nie jest to jednak prawdą w przypadku nieskończenie generowanych grup abelowych). W dowolnym rozkładzie A na sumę prostą podgrupy torsyjnej S i jej części beztorsyjnej S musi być równa T (część beztorsyjna nie jest wyznaczona jednoznacznie). Jest to kluczowa obserwacja przy klasyfikacji skończenie generowanych grup abelowych.

Podgrupa torsyjna p-potęgowa[edytuj | edytuj kod]

Dla dowolnej grupy abelowej A i liczby pierwszej p zbiór A_{\operatorname T_p} elementów A mających rząd wyrażający się pewną potęgą liczby p tworzy podgrupę nazywaną podgrupą torsyjną p-potęgowa lub, mniej precyzyjnie, podgrupą p-torsyjną bądź p-składową:

A_{\operatorname T_p} = \left\{a \in A \colon \exists_{n \in \mathbb N}\; p^n a = 0\right\}.

Na podstawie odpowiedniego faktu dotyczącego grup torsyjnych podgrupa torsyjna A_\operatorname T jest izomorficzna z sumą prostą jej p-potęgowych podgrup torsyjnych wziętą po wszystkich liczbach pierwszych p:

A_\operatorname T = \bigoplus_{p \in \mathbb P} A_{\operatorname T_p}.

Jeżeli A jest skończoną grupą abelową, to A_{\operatorname T_p} pokrywa się z jednoznacznie wyznaczoną p-podgrupą Sylowa grupy A.

Każda p-potęgowa podgrupa torsyjna grupy A jest podgrupą całkowicie niezmienniczą. Więcej, dowolny homomorfizm między grupami abelowymi odwzorowuje każdą z p-potęgowych podgrup torsyjnych na odpowiednią p-potęgową podgrupę torsyjną.

Stąd, dla każdej liczby pierwszej p istnieje funktor \operatorname T_p z kategorii grup abelowych w kategorię p-potęgowych grup torsyjnych, który odwzorowuje każdą grupę na jej p-potęgową podgrupę torsyjną i zawęża każdy homomorfizm do p-potęgowych podgrup torsyjnych. Stąd pochodzi również inne oznaczenie tych podgrup, mianowicie \operatorname T_p(A). Iloczyn przebiegający zbiór wszystkich liczb pierwszych zawężeń tych funktorów do kategorii grup torsyjnych jest funktorem wiernym z kategorii grup torsyjnych w iloczyn przebiegający wszystkie liczby pierwsze kategorii grup p-torsyjnych. W pewnym sensie oznacza to, że osobne studiowanie grup p-torsyjnych w ogólności mówi wszystko o grupach torsyjnych i w ogólności: iż teoria grup torsyjnych redukuje się do teorii p-grup.

Przykłady i dalsze wyniki[edytuj | edytuj kod]

element xy jest iloczynem dwóch elementów torsyjnych, ale ma rząd nieskończony.
  • Elementy torsyjne w grupie nilpotentnej tworzą podgrupę normalną[1].
  • Z definicji każda skończona grupa abelowa jest grupą torsyjną. Nie każda grupa torsyjna jest jednak skończona: niech dana będzie suma prosta przeliczalnie wiele egzemplarzy grup cyklicznych \mathbb Z_2; jest to grupa torsyjna, ponieważ każdy element ma rząd równy 2. W ten sposób w grupach torsyjnych może być brak górnego ograniczenia względem rzędów elementów, o ile nie jest ona skończenie generowana, jak to widać na przykładzie grupy ilorazowej \mathbb Q/\mathbb Z.
  • Każda grupa abelowa wolna jest beztorsyjna, odwrotne twierdzenie jest nieprawdziwe: przykładem może być grupa addytywna liczb wymiernych \mathbb Q.
  • Nawet jeśli A nie jest skończenie generowana, to rozmiar jej części beztorsyjnej jest jednoznacznie wyznaczony, jak to bliżej przedstawiono w artykule dotyczącym rangi grupy abelowej.
  • Grupa abelowa A jest beztorsyjna wtedy i tylko wtedy, gdy jest płaska jako \mathbb Z-moduł, co oznacza, że jeśli C jest podgrupą pewnej grupy abelowej B, to przekształcenie naturalne z iloczynu tensorowego C \otimes A w B \otimes A jest różnowartościowe.
  • Wzięcie iloczynu tensorowego grupy A z \mathbb Q (lub dowolną inną grupą podzielną) gubi jej część torsyjną. Oznacza to, że jeśli T jest grupą torsyjną, to T \otimes \mathbb Q = 0. Dla dowolnej grupy abelowej A o podgrupie torsyjnej T zachodzi
    A \otimes \mathbb Q = A/T \otimes \mathbb Q.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. D. B. A. Epstein, James W. Cannon: Word processing in groups. A K Peters, 1992, s. 167. ISBN 0867202440.