Podgrupa torsyjna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Podgrupa torsyjnapodgrupa danej grupy składająca się ze wszystkich elementów skończonego rzędu. Grupę abelową nazywa się torsyjną albo periodyczną, jeżeli każdy jej element ma skończony rząd i beztorsyjną, jeśli dowolny nietożsamościowy element tej grupy jest nieskończonego rzędu (istnieją więc grupy, które nie są ani torsyjne, ani beztorsyjne). Podgrupę torsyjną oznacza się symbolem Niekiedy spotyka się również nazwę maksymalna podgrupa torsyjna zaznaczająca, iż podgrupa składa się z wszystkich elementów torsyjnych (w dalszej części artykułów pod nazwą „podgrupa torsyjna” będzie się rozumieć podgrupę o właśnie tych własnościach).

Dowód zamkniętości ze względu na dodawanie opiera się na przemienności dodawania (zob. sekcja Przykłady).

Jeżeli jest abelowa, to jej podgrupa torsyjna jest całkowicie niezmienniczą podgrupą grupy a jej grupa ilorazowa jest beztorsyjna (jest to maksymalna grupa o tej własności, przy czym jest ona wyznaczona jednoznacznie). Istnieje funktor kowariantny z kategorii grup abelowych w kategorię grup torsyjnych, który odwzorowuje każdą grupę na jej podgrupę torsyjną, a każdy homomorfizm na jego zawężenie do podgrupy torsyjnej. Z tego względu podgrupę torsyjną grupy oznacza się czasem symbolem Istnieje również inny funktor kowariantny z kategorii grup abelowych w kategorię grup beztorsyjnych przekształcający każdą grupę w jej iloraz przez jej podgrupę torsyjną i każdy homomorfizm w odpowiednio indukowany homomorfizm (który jest dobrze określony, co dość łatwo sprawdzić).

Jeżeli jest skończenie generowana i abelowa, to można ją zapisać jako sumę prostą jej podgrupy torsyjnej i jej podgrupy beztorsyjnej (nie jest to jednak prawdą w przypadku nieskończenie generowanych grup abelowych). W dowolnym rozkładzie na sumę prostą podgrupy torsyjnej i jej części beztorsyjnej musi być równa (część beztorsyjna nie jest wyznaczona jednoznacznie). Jest to kluczowa obserwacja przy klasyfikacji skończenie generowanych grup abelowych.

Podgrupa torsyjna p-potęgowa[edytuj]

Dla dowolnej grupy abelowej i liczby pierwszej zbiór elementów mających rząd wyrażający się pewną potęgą liczby tworzy podgrupę nazywaną podgrupą torsyjną p-potęgowa lub, mniej precyzyjnie, podgrupą p-torsyjną bądź p-składową:

Na podstawie odpowiedniego faktu dotyczącego grup torsyjnych podgrupa torsyjna jest izomorficzna z sumą prostą jej p-potęgowych podgrup torsyjnych wziętą po wszystkich liczbach pierwszych

Jeżeli jest skończoną grupą abelową, to pokrywa się z jednoznacznie wyznaczoną p-podgrupą Sylowa grupy

Każda p-potęgowa podgrupa torsyjna grupy jest podgrupą całkowicie niezmienniczą. Więcej, dowolny homomorfizm między grupami abelowymi odwzorowuje każdą z p-potęgowych podgrup torsyjnych na odpowiednią p-potęgową podgrupę torsyjną.

Stąd, dla każdej liczby pierwszej istnieje funktor z kategorii grup abelowych w kategorię p-potęgowych grup torsyjnych, który odwzorowuje każdą grupę na jej p-potęgową podgrupę torsyjną i zawęża każdy homomorfizm do p-potęgowych podgrup torsyjnych. Stąd pochodzi również inne oznaczenie tych podgrup, mianowicie Iloczyn przebiegający zbiór wszystkich liczb pierwszych zawężeń tych funktorów do kategorii grup torsyjnych jest funktorem wiernym z kategorii grup torsyjnych w iloczyn przebiegający wszystkie liczby pierwsze kategorii grup p-torsyjnych. W pewnym sensie oznacza to, że osobne studiowanie grup p-torsyjnych w ogólności mówi wszystko o grupach torsyjnych i w ogólności: iż teoria grup torsyjnych redukuje się do teorii p-grup.

Przykłady i dalsze wyniki[edytuj]

  • Podzbiór torsyjny grupy nieabelowej nie jest, w ogólności, podgrupą; w tym kontekście mówi się o części torsyjnej. Na przykład w nieskończonej grupie diedralnej o prezentacji
element jest iloczynem dwóch elementów torsyjnych, ale ma rząd nieskończony.
  • Elementy torsyjne w grupie nilpotentnej tworzą podgrupę normalną[1].
  • Z definicji każda skończona grupa abelowa jest grupą torsyjną. Nie każda grupa torsyjna jest jednak skończona: niech dana będzie suma prosta przeliczalnie wiele egzemplarzy grup cyklicznych jest to grupa torsyjna, ponieważ każdy element ma rząd równy 2. W ten sposób w grupach torsyjnych może być brak górnego ograniczenia względem rzędów elementów, o ile nie jest ona skończenie generowana, jak to widać na przykładzie grupy ilorazowej
  • Każda grupa abelowa wolna jest beztorsyjna, odwrotne twierdzenie jest nieprawdziwe: przykładem może być grupa addytywna liczb wymiernych
  • Nawet jeśli nie jest skończenie generowana, to rozmiar jej części beztorsyjnej jest jednoznacznie wyznaczony, jak to bliżej przedstawiono w artykule dotyczącym rangi grupy abelowej.
  • Grupa abelowa jest beztorsyjna wtedy i tylko wtedy, gdy jest płaska jako -moduł, co oznacza, że jeśli jest podgrupą pewnej grupy abelowej to przekształcenie naturalne z iloczynu tensorowego w jest różnowartościowe.
  • Wzięcie iloczynu tensorowego grupy z (lub dowolną inną grupą podzielną) gubi jej część torsyjną. Oznacza to, że jeśli jest grupą torsyjną, to Dla dowolnej grupy abelowej o podgrupie torsyjnej zachodzi

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. D. B. A. Epstein, James W. Cannon: Word processing in groups. A K Peters, 1992, s. 167. ISBN 0867202440.