Podpierścień

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Podpierścieńpodzbiór pierścienia sam będący pierścieniem ze względu na działania indukowane z pierścienia wyjściowego. Dokładne znaczenie pojęcia zwykle wynika z kontekstu: zwykle wymaga się, by podpierścień był obiektem tej samej kategorii co pierścień, a wszystkie odstępstwa najczęściej są zaznaczane. W ten sposób od podpierścieni pierścienia z jedynką wymaga się często, aby same miały jedynkę (choć nie jest to regułą). Nie mniej niektóre własności są dziedziczne, np. przemienność, czy brak dzielników zera (tzn. podpierścienie pierścienia przemiennego są przemienne, podobnie zachowywany jest brak dzielników zera).

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie pierścieniem. Podzbiór zbioru jest podpierścieniem pierścienia jeżeli jest on zamknięty ze względu na działania i element przeciwny względem tzn. dla dowolnych elementów zachodzi

oraz

Równoważnie podpierścieniem pierścienia nazywa się algebrę ogólną gdzie przy czym oraz oznaczają zawężenia działań pierścienia do zbioru

Uwaga
Podzbiór nie może być pusty, ponieważ musi być podgrupą zatem musi zawierać element neutralny dodawania (zero).

Związek z ideałami[edytuj | edytuj kod]

Ideał właściwy nie może być podpierścieniem, jeśli wymaga się, by miał jedynkę, gdyż musiałby być on wtedy całym pierścieniem. Przykładowo, ideały w są postaci gdzie jest liczbą całkowitą. Są one podpierścieniami wtedy i tylko wtedy, gdy (w innych przypadkach nie zawierają jedynki), kiedy to są całym

Jeżeli pominąć wymaganie, aby pierścienie miały jedynkę, to podpierścienie muszą zawierać wyłącznie zero oraz być zamknięte ze względu na odejmowanie i mnożenie – w ten sposób ideały stają się podpierścieniami. Ideały mogą, ale nie muszą mieć własnej jedynki (różnej od jedynki pierścienia):

  • ideał pierścienia z dodawaniem i mnożeniem po współrzędnych ma jedynkę która jest różna od jedynki pierścienia. W ten sposób jest pierścieniem z jedynką, a zarazem „podpierścieniem bez jedynki” pierścienia
  • ideały właściwe (np. liczby parzyste ) nie mają jedynki.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • W ciele (pierścieniu) liczb rzeczywistych istnieje podpierścień izomorficzny z ciałem (pierścieniem) liczb wymiernych.
  • Podobnie w pierścieniu liczb wymiernych istnieje podpierścień izomorficzny z pierścieniem liczb całkowitych.
  • Jeśli jest bezkwadratową liczbą całkowitą, to jest podpierścieniem ciała liczb zespolonych.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: Atlas matematyki. Warszawa: Prószyński i S-ka. ISBN 83-7469-189-1.