Podsilnia

Podsilnia – liczba tzw. nieporządków zbioru skończonego, gdzie „nieporządkiem” nazywa się każdą permutację bez punktów stałych wspomnianego zbioru. Po raz pierwszy wzory opisujące nieporządki pojawiają się w pracach Eulera i Bernoulliego; podsilnia z nieujemnej liczby całkowitej jest równa permanentowi macierzy z zerami na głównej przekątnej i jedynkami poza nią stopnia równego wspomnianej liczbie.

W przypadku zbioru $n$-elementowego, gdzie $n$ jest nieujemną liczbą całkowitą podsilnia $!n$ oznacza więc liczbę takich rozmieszczeń $n$ piłeczek, z których każda przypisana jest do jednej z $n$ urn, że żadna z piłeczek nie trafiła do „swojej” urny. Podsilnia dla liczb $0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$ wynosi odpowiednio $1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 9,\ 44;$ przy czym funkcja ta rośnie w podobnym tempie do silni, np. $!21=18\,795\,307\,255\,050\,944\,540$ Liczba $148\,349$ jest jedyną liczbą, która jest równa sumie podsilni swoich cyfr: $148\,349=\,!1\,+\,!4\,+\,!8\,+\,!3\,+\,!4\,+\,!9.$

Definicja

Podsilnię definiuje się rekurencyjnie jako funkcję $!n$ zbioru nieujemnych liczb całkowitych w siebie, która spełnia

${\begin{cases}!0=1,\\!n=n{\big (}!(n-1){\big )}+(-1)^{n},\\!(n+1)=n{\big (}!n+!(n-1){\big )};\end{cases}}$

bądź po derekursywacji, za pomocą wzoru

$!n=n!{\big (}1-{\tfrac {1}{1!}}+{\tfrac {1}{2!}}-{\tfrac {1}{3!}}+\dots +(-1)^{n}{\tfrac {1}{n!}}{\big )},$

gdzie $n!$ oznacza zwykłą silnię.