Podstawa logarytmu naturalnego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Podstawa logarytmu naturalnego, liczba e, liczba Eulera, liczba Neperastała matematyczna wykorzystywana w wielu dziedzinach matematyki i fizyki. W przybliżeniu wynosi 2,7182818[1], oznacza się ją literą e.

Definicja[edytuj]

Liczba e jest zdefiniowana na kilka równoważnych sposobów.

Granica ciągu[edytuj]

Jako granica ciągu, e jest określana przez

Dowód zbieżności

Wykażemy, że ciąg , gdzie jest niemalejący i ograniczony z góry, a zatem jest zbieżny.

Przypomnijmy, że dla dodatnich liczb zachodzi następująca nierówność Cauchy’ego między ich średnią arytmetyczną a geometryczną:

(1)

Rozważając oraz otrzymujemy

a stąd

więc również i . Czyli ciąg jest niemalejący.

Podłóżmy i zauważmy, że .

Z nierówności (1) zastosowanej do oraz otrzymujemy, że:

.

Stąd a więc też . Czyli ciąg jest niemalejący. Ponieważ , to możemy wywnioskować że ciąg jest nierosnący, a stąd

.

Ciąg jest więc niemalejący i ograniczony z góry (np. przez ), a więc jest zbieżny.

Suma szeregu[edytuj]

Jako suma szeregu, e jest określana przez

gdzie n! jest silnią liczby n.

Przy pomocy całki[edytuj]

Pole powierzchni pod hiperbolą jest równe 1

Liczbę e można także zdefiniować jako jedyną liczbę rzeczywistą taką że:

(to znaczy, że liczba e to taka, że pole powierzchni pod hiperbolą od 1 do e jest równe 1).

Przy pomocy funkcji[edytuj]

Wykres funkcji

Liczbę e można również zdefiniować jako taki argument funkcji

,   

dla którego jej wartość jest największa.

Właściwości[edytuj]

Wzory na obliczenie e[edytuj]

Granice ciągów[edytuj]

(oba to tzw. wzory Stirlinga)

Szeregi nieskończone[edytuj]

Iloczyny nieskończone[edytuj]

W 1980 roku, Nick Pippinger udowodnił wzór[3][4]

,

gdzie n!!, to silnia podwójna.

Kultura e[edytuj]

W celu zapamiętania kolejnych cyfr dziesiętnych liczby e tworzone są wierszyki, a nawet opowiadania (podobnie jak o liczbie π), w których długość każdego kolejnego słowa równa się kolejnej cyfrze w rozwinięciu dziesiętnym e:

„We present a mnemonic to memorize a constant so exciting that Euler exclaimed: '!' when first it was found, yes, loudly '!'. My students perhaps will compute e, use power or Taylor series, an easy summation formula, obvious, clear, elegant!”

Gdzie znak „!” oznacza cyfrę 0.

Inne interpretacje liczby e[edytuj]

Wkładamy do pewnego banku jedną złotówkę. Załóżmy, że oprocentowanie wkładu (stopa procentowa) w skali rocznej wynosi 100%. Ale odsetki mogą być doliczane do kwoty podstawowej w różnorodny sposób. Jeśli będą obliczane po upływie roku, to na koniec roku będziemy mieli 2 złote. Jeśli będą dwa okresy kapitalizacji (czyli odsetki obliczane dwa razy w roku), to na koniec roku będziemy mieć , czyli 2,25 złotego. W przypadku kapitalizacji co kwartał otrzymamy , co w przybliżeniu wynosi 2,44 zł. Jeśli kapitalizacja odbywała się w sposób ciągły (czyli liczba okresów dąży do nieskończoności) to na koniec roku otrzymamy czyli e złotych.

Dowód niewymierności e[edytuj]

Używamy n-tego przybliżenia , które zapisujemy :

Szacujemy błąd

Z tego wynika, że , gdzie

Dowód przez sprowadzenie do sprzeczności:

Załóżmy, że jest liczbą wymierną. Czyli da się ją przedstawić w postaci gdzie .

W tym wzorze bierzemy tak duże , żeby było większe od .

Wówczas:

Mnożąc stronami przez dostajemy:

, więc

, więc

Zostały same liczby całkowite poza , która całkowita nie jest.

To dowodzi sprzeczności, a więc i nieprawdziwości twierdzenia, że „e jest wymierne”.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Ciąg A001113 w On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
  2. Charles Hermite: Sur la fonction exponentielle. C. R. Acad. Sci. Paris 77, 1873, str. 18–24, 74–79 i 226–233.
  3. Eric Weisstein: "Pippenger Product." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.. [dostęp 2013-02-27].
  4. Nick Pippinger. An Infinite Product for e. „Amer. Math. Monthly”. 87 (V), s. 391, maj 1980 (ang.). 

Bibliografia[edytuj]

Linki zewnętrzne[edytuj]