Podstawa logarytmu naturalnego, liczba e, liczba Eulera, liczba Nepera – stała matematyczna wykorzystywana w wielu dziedzinach matematyki i fizyki. W przybliżeniu wynosi 2,718281828459[1], oznacza się ją literą e.
Liczba e może być zdefiniowana na kilka równoważnych sposobów.
Jako granica ciągu, e jest określana przez

- Dowód zbieżności
Wykażemy, że ciąg
gdzie
jest niemalejący i ograniczony z góry, a zatem jest zbieżny.
Przypomnijmy, że dla dodatnich liczb
zachodzi następująca nierówność Cauchy’ego między ich średnią arytmetyczną a geometryczną:
| |  |
|
(1) |
Rozważając
oraz
otrzymujemy

a stąd
więc również
i 
Czyli ciąg
jest niemalejący.
Podłóżmy
i zauważmy, że
Z nierówności (1) zastosowanej do
oraz
otrzymujemy, że:

Stąd
a więc też
Czyli ciąg
jest niemalejący. Ponieważ
to możemy wywnioskować że ciąg
jest nierosnący, a stąd

Ciąg
jest więc niemalejący i ograniczony z góry (np. przez
), a więc jest zbieżny.
Jako suma szeregu, e jest określana przez

gdzie
jest silnią liczby
Pole powierzchni pod hiperbolą jest równe 1
Liczbę e można także zdefiniować jako jedyną liczbę rzeczywistą taką że:

(to znaczy, że liczba e to taka, że pole powierzchni pod hiperbolą
od 1 do e jest równe 1).
Wykres funkcji

Liczbę e można również zdefiniować jako taki argument funkcji

dla którego jej wartość jest największa.
- e jest liczbą niewymierną (co udowodnił Leonhard Euler), a nawet przestępną (co udowodnił Charles Hermite w 1873 roku, w dziele „Sur la fonction expentielle”)[2].
- e jest podstawą takiej funkcji wykładniczej, że styczna do jej wykresu w punkcie (0, 1) ma współczynnik kierunkowy równy 1
- e jest podstawą takiego logarytmu, że styczna do wykresu funkcji logarytmicznej o tej podstawie w punkcie (1,0) ma współczynnik kierunkowy równy 1.
- pochodna funkcji

- całka funkcji
gdzie C jest dowolną stałą całkowania.
- z definicji wprost wynika, że funkcja wykładnicza o podstawie e jest odwrotną do logarytmu naturalnego:


- Jest jednym z elementów wzoru Eulera (zwanego też „najpiękniejszym wzorem matematyki”), wiążącej e z innymi słynnymi liczbami: jednostką urojoną i, π, jednością i zerem:

![e=\lim _{{n\to \infty }}{\frac {n}{{\sqrt[ {n}]{n!}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/310afedad5e855a28eb0d1b232a29031bd682548)

(oba to tzw. wzory Stirlinga)

gdzie
to podsilnia, definiowana kombinatorycznie jako liczba nieporządków zbioru n–elementowego, algebraicznie zaś jako


![{\displaystyle e=\left[\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}\right]^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee680fb2f6c024d3207b864560743c6502bc0828)
![{\displaystyle e=\left[\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1-2k}{(2k)!}}\right]^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3fed598ba8fe6acd4dae74a3348d7780f1b1e07)




![{\displaystyle e=\left[\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {4k+3}{2^{2k+1}\,(2k+1)!}}\right]^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d26c23d9900e39fbd0c5a8062a393db51ebc445f)
![{\displaystyle e=\left[{\frac {-12}{\pi ^{2}}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}\ \cos \left({\frac {9}{k\pi +{\sqrt {k^{2}\pi ^{2}-9}}}}\right)\right]^{-1/3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/599fcf29cd562cf0701ad8a259f24ccb8a8fc8fc)

|
Tę sekcję należy dopracować:znaleźć źródła tych wzorów.Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tej sekcji. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tej sekcji. |
![{\displaystyle e=2\cdot {\sqrt {\frac {4}{3}}}\cdot {\sqrt[{4}]{\frac {6\cdot 8}{5\cdot 7}}}\cdot {\sqrt[{8}]{\frac {10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}}\cdots =2\cdot \prod _{n=1}^{\infty }{\sqrt[{2^{n}}]{\frac {\prod _{i=1}^{2^{n-1}}(2^{n}+2i)}{\prod _{i=1}^{2^{n-1}}(2^{n}+2i-1)}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a523ef7ff43c62e3403a3214d32f40e50a15f7b7)

W 1980 roku, Nick Pippenger udowodnił wzór[3][4]
![{\displaystyle e=2\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/2}\left({\frac {2}{3}}\;{\frac {4}{3}}\right)^{1/4}\left({\frac {4}{5}}\;{\frac {6}{5}}\;{\frac {6}{7}}\;{\frac {8}{7}}\right)^{1/8}\cdots =2\prod _{n=1}^{\infty }{\sqrt[{2^{n}}]{\frac {[(2^{n-1}-1)!!]^{2}[(2^{n})!!]^{2}}{[(2^{n-1})!!]^{2}[(2^{n}-1)!!]^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cae31281bd8e8b16f3e5231213d5ba0f72a87d35)
gdzie n!!, to silnia podwójna.
W celu zapamiętania kolejnych cyfr dziesiętnych liczby e tworzone są wierszyki, a nawet opowiadania (podobnie jak o liczbie π), w których długość każdego kolejnego słowa równa się kolejnej cyfrze w rozwinięciu dziesiętnym e:
„We present a mnemonic to memorize a constant so exciting that Euler exclaimed: '!' when first it was found, yes, loudly '!'. My students perhaps will compute e, use power or Taylor series, an easy summation formula, obvious, clear, elegant!”
- Gdzie znak „!” oznacza cyfrę 0.
Wkładamy do pewnego banku jedną złotówkę. Załóżmy, że oprocentowanie wkładu (stopa procentowa) w skali rocznej wynosi 100%. Ale odsetki mogą być doliczane do kwoty podstawowej w różnorodny sposób. Jeśli będą obliczane po upływie roku, to na koniec roku będziemy mieli 2 złote. Jeśli będą dwa okresy kapitalizacji (czyli odsetki obliczane dwa razy w roku), to na koniec roku będziemy mieć
czyli 2,25 złotego. W przypadku kapitalizacji co kwartał otrzymamy
co w przybliżeniu wynosi 2,44 zł. Jeśli kapitalizacja odbywała się w sposób ciągły (czyli liczba okresów dąży do nieskończoności) to na koniec roku otrzymamy
czyli e złotych.
Używamy n-tego przybliżenia
które zapisujemy

Szacujemy błąd

Z tego wynika, że
gdzie
Dowód przez sprowadzenie do sprzeczności:
Załóżmy, że
jest liczbą wymierną. Czyli da się ją przedstawić w postaci
gdzie
W tym wzorze bierzemy tak duże
żeby było większe od
Wówczas:

Mnożąc stronami przez
dostajemy:
więc
więc
Zostały same liczby całkowite poza
która całkowita nie jest.
To dowodzi sprzeczności, a więc i nieprawdziwości twierdzenia, że „e jest wymierne”.
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., e, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).
- e w rozwinięciu (ang.)