Podstawa logarytmu naturalnego, liczba
, liczba Eulera, liczba Nepera – stała matematyczna wykorzystywana w wielu dziedzinach matematyki i fizyki. W przybliżeniu wynosi 2,718281828459[1], oznacza się ją literą
[2].
Liczba
może być zdefiniowana na kilka równoważnych sposobów.
Jako granica ciągu,
jest określana przez

- Dowód zbieżności
Wykażemy, że ciąg
gdzie
jest niemalejący i ograniczony z góry, a zatem jest zbieżny.
Przypomnijmy, że dla dodatnich liczb
zachodzi następująca nierówność Cauchy’ego między ich średnią arytmetyczną a geometryczną:
| |  |
|
(1) |
Rozważając
oraz
otrzymujemy

a stąd
więc również
i 
Czyli ciąg
jest niemalejący.
Podłóżmy
i zauważmy, że
Z nierówności (1) zastosowanej do
oraz
otrzymujemy, że:

Stąd
a więc też
Czyli ciąg
jest niemalejący. Ponieważ
to możemy wywnioskować że ciąg
jest nierosnący, a stąd

Ciąg
jest więc niemalejący i ograniczony z góry (np. przez
), a więc jest zbieżny.
Jako suma szeregu,
jest określana przez

gdzie
jest silnią liczby
Pole powierzchni pod hiperbolą jest równe 1
Liczbę
można także zdefiniować jako jedyną liczbę rzeczywistą taką że:

(to znaczy, że liczba
to taka, że pole powierzchni pod hiperbolą
od 1 do
jest równe 1).
Wykres funkcji

Liczbę
można również zdefiniować jako taki argument funkcji

dla którego jej wartość jest największa.
jest liczbą niewymierną (co udowodnił Leonhard Euler), a nawet przestępną (co udowodnił Charles Hermite w 1873 roku, w dziele „Sur la fonction expentielle”)[3].
jest podstawą takiej funkcji wykładniczej, że styczna do jej wykresu w punkcie (0, 1) ma współczynnik kierunkowy równy 1
jest podstawą takiego logarytmu, że styczna do wykresu funkcji logarytmicznej o tej podstawie w punkcie (1,0) ma współczynnik kierunkowy równy 1.
- pochodna funkcji

- całka funkcji
gdzie C jest dowolną stałą całkowania.
- z definicji wprost wynika, że funkcja wykładnicza o podstawie
jest odwrotną do logarytmu naturalnego:


- Jest jednym z elementów wzoru Eulera (zwanego też „najpiękniejszym wzorem matematyki”), wiążącej
z innymi słynnymi liczbami: jednostką urojoną
,
, jednością i zerem:

Wzory na obliczenie
[edytuj | edytuj kod]
![{\displaystyle \mathrm {e} =\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49279a86355d96badab0253ac36914cade04e9f5)

(oba to tzw. wzory Stirlinga)

gdzie
to podsilnia, definiowana kombinatorycznie jako liczba nieporządków zbioru
–elementowego, algebraicznie zaś jako


![{\displaystyle \mathrm {e} =\left[\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}\right]^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cb210850621721d19087f48660ae67f801a796b)
![{\displaystyle \mathrm {e} =\left[\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1-2k}{(2k)!}}\right]^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/629c44650354eb42f23e2761ae7fcc561f3bacbe)




![{\displaystyle \mathrm {e} =\left[\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {4k+3}{2^{2k+1}\,(2k+1)!}}\right]^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60eaaf7b65406396301750d462661e69822c12bc)
![{\displaystyle \mathrm {e} =\left[{\frac {-12}{\mathrm {\pi } ^{2}}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}\ \cos \left({\frac {9}{k\mathrm {\pi } +{\sqrt {k^{2}\mathrm {\pi } ^{2}-9}}}}\right)\right]^{-1/3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43400f79a28ebaa79705e99ab8e8bb6d1289089a)

|
Tę sekcję należy dopracować:znaleźć źródła tych wzorów.Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tej sekcji. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tej sekcji. |
![{\displaystyle \mathrm {e} =2\cdot {\sqrt {\frac {4}{3}}}\cdot {\sqrt[{4}]{\frac {6\cdot 8}{5\cdot 7}}}\cdot {\sqrt[{8}]{\frac {10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}}\cdots =2\cdot \prod _{n=1}^{\infty }{\sqrt[{2^{n}}]{\frac {\prod _{i=1}^{2^{n-1}}(2^{n}+2i)}{\prod _{i=1}^{2^{n-1}}(2^{n}+2i-1)}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26f37a014efbaa313eccf01d1fbfc474de537e21)

W 1980 roku, Nick Pippenger udowodnił wzór[4][5]
![{\displaystyle \mathrm {e} =2\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/2}\left({\frac {2}{3}}\;{\frac {4}{3}}\right)^{1/4}\left({\frac {4}{5}}\;{\frac {6}{5}}\;{\frac {6}{7}}\;{\frac {8}{7}}\right)^{1/8}\cdots =2\prod _{n=1}^{\infty }{\sqrt[{2^{n}}]{\frac {[(2^{n-1}-1)!!]^{2}[(2^{n})!!]^{2}}{[(2^{n-1})!!]^{2}[(2^{n}-1)!!]^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/982c9462bead0960ec72a3f27b86ed4d70dbf928)
gdzie n!!, to silnia podwójna.
W celu zapamiętania kolejnych cyfr dziesiętnych liczby
tworzone są wierszyki, a nawet opowiadania (podobnie jak o liczbie π), w których długość każdego kolejnego słowa równa się kolejnej cyfrze w rozwinięciu dziesiętnym e:
„We present a mnemonic to memorize a constant so exciting that Euler exclaimed: '!' when first it was found, yes, loudly '!'. My students perhaps will compute e, use power or Taylor series, an easy summation formula, obvious, clear, elegant!”
- Gdzie znak „!” oznacza cyfrę 0.
Wkładamy do pewnego banku jedną złotówkę. Załóżmy, że oprocentowanie wkładu (stopa procentowa) w skali rocznej wynosi 100%. Ale odsetki mogą być doliczane do kwoty podstawowej w różnorodny sposób. Jeśli będą obliczane po upływie roku, to na koniec roku będziemy mieli 2 złote. Jeśli będą dwa okresy kapitalizacji (czyli odsetki obliczane dwa razy w roku), to na koniec roku będziemy mieć
czyli 2,25 złotego. W przypadku kapitalizacji co kwartał otrzymamy
co w przybliżeniu wynosi 2,44 zł. Jeśli kapitalizacja odbywała się w sposób ciągły (czyli liczba okresów dąży do nieskończoności) to na koniec roku otrzymamy
czyli
złotych.
Używamy
-tego przybliżenia
, które zapisujemy

Szacujemy błąd

Z tego wynika, że
gdzie
Dowód przez sprowadzenie do sprzeczności:
Załóżmy, że
jest liczbą wymierną. Czyli da się ją przedstawić w postaci
gdzie
W tym wzorze bierzemy tak duże
żeby było większe od
Wówczas:

Mnożąc stronami przez
dostajemy:
więc
więc
Zostały same liczby całkowite poza
która całkowita nie jest.
To dowodzi sprzeczności, a więc i nieprawdziwości twierdzenia, że „
jest wymierne”.
- ↑ Ciąg A001113 w On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
- ↑ e, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-07-29] .
- ↑ Charles Hermite: Sur la fonction exponentielle. C. R. Acad. Sci. Paris 77, 1873, s. 18–24, 74–79, 226–233.
- ↑ Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Pippenger Product, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2013-02-27] (ang.).
- ↑ Nick Pippinger. An Infinite Product for e. „Amer. Math. Monthly”. 87 (V), s. 391, maj 1980 (ang.).
Najważniejsze stałe |
|
---|
Inne stałe |
|
---|
Tematy powiązane |
|
---|