Pojęcie forsingu

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Pojęcie forsingupraporządek używany w teorii forsingu i jej zastosowaniach.

Jeśli jest pojęciem forsingu, to elementy zbioru są nazywane warunkami, a dla takich że mówimy że warunek jest silniejszy niż warunek . Ponieważ część matematyków używa odwrotnej notacji (głównie Saharon Shelah i jego współpracownicy), to zwyczajowo przyjmuje się konwencję alfabetyczną: warunki silniejsze są oznaczane przez późniejsze litery alfabetu.

Gdy nie istnieje warunek silniejszy od każdego z dwóch warunków q oraz r, to mówimy, że te dwa warunki są sprzeczne.

W artykule o forsingu, teoria leżąca u jego podstaw jest rozwinięta w oparciu o zupełne algebry Boole’a, jednak często rozwija się tę teorię bazując całkowicie na pojęciach forsingu[1].

Związek z zupełnymi algebrami Boole'a[edytuj | edytuj kod]

Każde pojęcie forsingu jest bardzo blisko związane z pewną zupełną algebrą Boole'a. Aby przedstawić ten związek, musimy wprowadzić algebry Boole'a regularnie otwartych podzbiorów przestrzeni topologicznej.

Niech będzie przestrzenią topologiczną. Powiemy, że zbiór jest regularnie otwarty jeśli (gdzie int jest operacją wnętrza zbioru a cl oznacza operację domknięcia). Na rodzinie wszystkich regularnie otwartych podzbiorów przestrzeni X wprowadzamy operacje +, · oraz ∼ przez:

,       oraz   .

Wówczas jest zupełną algebrą Boole'a.

Powiemy, że częściowy porządek jest separatywny jeśli dla każdych warunków takich że można znaleźć warunek który jest silniejszy niż q (tzn ) oraz sprzeczny z p (tzn nie ma żadnego warunku który by spełniał jednocześnie oraz ).

Przypuśćmy teraz, że jest separatywnym porządkiem częściowym. Dla połóżmy . Wówczas rodzina jest bazą pewnej topologii τ na zbiorze . Każdy zbiór jest regularnie otwarty w tej topologii a odwzorowanie

jest zanurzeniem porządkowym którego obraz jest gęstym podzbiorem algebry (tzn. każdy niepusty regularnie otwarty podzbiór zawiera pewien zbiór ()).

Tak więc każdy separatywny porządek częściowy może być traktowany jako gęsty podzbiór pewnej zupełnej algebry Boole'a. (Algebra ta jest wyznaczona jednoznacznie z dokładnością do izomorfizmu tożsamościowego na .)

W ogólnym przypadku pojęć forsingu (czyli praporządków), dokonuje się najpierw pewnych utożsamień, aby otrzymać separatywny porządek częściowy.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Rodzina pojęć forsingu stosowanych w teorii mnogości jest olbrzymia. Duża część publikacji prezentujących nowe wyniki niezależnościowe wprowadza też nowe pojęcia forsingu używane w dowodach. Poniżej dajemy przykłady jednych ze starszych pojęć forsingu.

warunkami są skończone ciągi p liczb naturalnych,
porządkiem jest odwrotna relacja przedłużania ciągów (czyli wtedy i tylko wtedy, gdy );
powyżej, symbol oznacza relację wydłużania ciągów. Jeśli ciągi są traktowane jako funkcje to relacja ta jest relacją zawierania (i ).

Algebra Boole'a odpowiadająca temu pojęciu forsingu to algebra ilorazowa , gdzie jest -ciałem borelowskich podzbiorów prostej rzeczywistej a jest rodziną wszystkich zbiorów które są pierwszej kategorii.

warunkami są te domknięte podzbiory , które mają dodatnią miarę Lebesgue’a,
porządkiem jest relacja zawierania (tzn. wtedy i tylko wtedy, gdy ).

Algebra Boole'a odpowiadająca temu pojęciu forsingu to algebra ilorazowa , gdzie jest -ciałem borelowskich podzbiorów a jest rodziną tych zbiorów które są miary zero.

warunkami są zbiory skończonych ciągów liczb naturalnych takie że
(a) oraz
(b) jest nieskończony]).
porządkiem jest relacja zawierania (tzn wtedy i tylko wtedy, gdy ).
  • Forsing Mathiasa[5]:
warunkamipary takie, że jest skończonym zbiorem liczb naturalych, jest nieskończonym zbiorem liczb naturalnych oraz ,
porządek jest zdefiniowany przez wtedy i tylko wtedy, gdy , oraz .
  • Forsing Hechlera:
warunkamipary takie, że jest liczbą naturalną, a jest funkcją.
porządek jest zdefiniowany przez wtedy i tylko wtedy, gdy , dla każdego , i
  • Forsing Sacksa:
warunkamidoskonałe podzbiory prostej rzeczywistej ,
porządkiem jest relacja zawierania.

Rozważane własności[edytuj | edytuj kod]

W teorii forsingu rozważa się szereg własności pojęć forsingu które mają wpływ na własności odpowiadającym im rozszerzeń generycznych modeli teorii mnogości. Poniżej wymieniamy parę najbardziej znanych własności tego typu.

  • Niech będzie liczbą kardynalną. Powiemy że pojęcie forsingu spełnia -cc jeśli każdy antyłańcuch w jest mocy mniejszej niż . Jeśli spełnia -cc to mówimy wtedy też że spełnia warunek przeliczalnych antyłańcuchów albo spełnia ccc ("countable chain condition")
  • Dla liczby kardynalnej κ, powiemy że pojęcie forsingu jest -domknięte jeśli każdy łańcuch w mocy mniejszej niż ma ograniczenie dolne.
  • Niech będzie regularną liczbą kardynalną a będzie rodziną wszystkich zbiorów dziedzicznie mocy mniejszej niż . Przypuśćmy, że jest pojęciem forsingu a jest przeliczalnym elementarnym podmodelem takim, że . Powiemy, że warunek jest warunkiem -generycznym jeśli dla każdego maksymalnego antyłańcucha który należy do modelu mamy
dla każdego , jeśli są niesprzeczne, to
(Przypomnijmy, że warunki są niesprzeczne, jeśli istnieje warunek silniejszy niż oba te warunki.)
Pojęcie forsingu jest proper[6][7], jeśli dla każdej dostatecznie dużej regularnej liczby kardynalnej istnieje taki, że:
jeśli jest przeliczalnym elementarnym podmodelem , oraz ,
to istnieje warunek który jest -generyczny.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. John P. Burgess: Forcing. [w:] Handbook of mathematical logic. [pod red.] Jona Barwise'a. "Studies in Logic and the Foundations of Mathematics", Vol. 90. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-New York-Oxford, 1977. ​ISBN 0-7204-2285-X​.
  2. Cohen, Paul J.: Set theory and the continuum hypothesis. W.A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam 1966.
  3. Solovay, Robert M.: A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue measurable. "Ann. of Math." (2) 92 1970 s.1-56.
  4. Laver, Richard: On the consistency of Borel's conjecture. "Acta Math." 137 (1976), no. 3-4, s. 151-169.
  5. Mathias, A.R.D.: Happy families. "Ann. Math. Logic" 12 (1977), no. 1, s. 59-111.
  6. Shelah, Saharon: Proper and improper forcing. "Perspectives in Mathematical Logic". Springer-Verlag, Berlin, 1998. ​ISBN 3-540-51700-6​.
  7. Goldstern, Martin: Tools for your forcing construction. Set theory of the reals (Ramat Gan, 1991). "Israel Math. Conf. Proc.", 6, Bar-Ilan Univ., Ramat Gan, 1993, s. 305-360.