Porównanie topologii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Porównanie topologii – badanie relacji między dwiema topologiami w danym zbiorze. Jeżeli X jest zbiorem, to rodzina wszystkich topologii jest częściowo uporządkowana przez relację zawierania. Dwie topologie są więc

  • nieporównywalne, gdy istnieją takie zbiory i że i
  • porównywalne, gdy lub

W szczególności, jeżeli topologie i są porównywalne, to mówi się, że jest silniejsza, bogatsza bądź większa od a jest słabsza, uboższa bądź mniejsza od gdy

Własności[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli to słuszne są następujące stwierdzenia:

  • Każdy zbiór otwarty w topologii jest również otwarty w topologii
  • Każdy zbiór domknięty w topologii jest również domknięty w topologii
  • Domknięcie zbioru otwartego w topologii jest zawarte w domknięciu tego zbioru w topologii
  • Przekształcenie tożsamościowe jest ciągłe.
  • Przekształcenie tożsamościowe jest otwarte.

W szczególności, jeżeli są topologiami w zbiorze Y oraz funkcja jest ciągła, to jest również ciągła jako funkcja

  • gdy
  • gdy

Rodzina wszystkich topologii w zbiorze X uporządkowana przez relację zawierania ma element najmniejszy (jest nim topologia trywialna/antydyskretna) i największy (topologia dyskretna).

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli X jest przestrzenią unormowaną, to w jej przestrzeni sprzężonej można wprowadzić co najmniej trzy różne topologie:

  • tzw. mocną topologię, czyli topologię wyznaczoną przez normę w
  • słabą topologię w
  • topologię *-słabą.

Zachodzi między nimi następujący związek:

Ogólniej, jeżeli jest parą dualną, to każda topologia liniowa w Y zgodna z dualnością jest mocniejsza od słabej topologii (w sensie dualności ).

Krata topologii[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: topologie komplementarne.

Rodzina wszystkich topologii w zbiorze tworzy kratę zupełną z działaniami

dla

Krata ta na ogół nie jest komplementarna.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]