Porównanie topologii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Porównanie topologii – badanie relacji między dwiema topologiami w danym zbiorze. Jeżeli X jest zbiorem, to rodzina wszystkich topologii jest częściowo uporządkowana przez relację zawierania. Dwie topologie są więc

  • nieporównywalne, gdy istnieją takie zbiory i , że i
  • porównywalne, gdy lub .

W szczególności, jeżeli topologie i są porównywalne, to mówi się, że jest silniejsza, bogatsza bądź większa od , a jest słabsza, uboższa bądź mniejsza od , gdy

.

Własności[edytuj]

Jeżeli , to słuszne są następujące stwierdzenia:

  • Każdy zbiór otwarty w topologii jest również otwarty w topologii (ale nie odwrotnie).
  • Każdy zbiór domknięty w topologii jest również domknięty w topologii (ale nie odwrotnie).
  • Domknięcie zbioru otwartego w topologii jest zawarte w domknięciu tego zbioru w topologii .
  • Przekształcenie tożsamościowe jest ciągłe.
  • Przekształcenie tożsamościowe jest otwarte.

W szczególności, jeżeli są topologiami w zbiorze Y oraz funkcja jest ciągła, to jest również ciągła jako funkcja

  • , gdy ,
  • , gdy .

Rodzina wszystkich topologii w zbiorze X uporządkowana przez relację zawierania ma element najmniejszy (jest nim topologia antydyskretna) i największy (topologia dyskretna).

Przykład[edytuj]

Jeżeli X jest przestrzenią unormowaną, to w jej przestrzeni sprzężonej można wprowadzić co najmniej trzy różne topologie:

  • , tzw. mocną topologię, czyli topologię wyznaczoną przez normę w ,
  • , słabą topologię w ,
  • , topologię *-słabą.

Zachodzi między nimi następujący związek:

.

Ogólniej, jeżeli jest parą dualną, to każda topologia liniowa w Y zgodna z dualnością jest mocniejsza od słabej topologii (w sensie dualności ).

Krata topologii[edytuj]

 Osobny artykuł: topologie komplementarne.

Rodzina wszystkich topologii w zbiorze tworzy kratę zupełną z działaniami

dla

Krata ta na ogół nie jest komplementarna.

Bibliografia[edytuj]

  1. Nicolas Bourbaki: General Topology. T. 1. Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag, 1990, s. 28-30. ISBN 3-540-64241-2.
  2. Walter Rudin: Analiza funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2009. ISBN 978-83-01-15802-6.