Postać Frobeniusa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Postać kanoniczna Frobeniusa macierzy nazywana w skrócie macierzą Frobeniusa (od nazwiska Ferdinanda Frobeniusa) – jedna z postaci kanonicznych normalnych macierzy kwadratowej. Definiuje się ją następująco[1]:

Przykłady:

Klasyfikacja[edytuj | edytuj kod]

Zachodzi następujące twierdzenie Frobeniusa o klasyfikacji macierzy nad pierścieniem wielomianów, nazywane także lematem Frobeniusa:

Jeśli jest ciałem, a jest pierścieniem wielomianów jednej zmiennej nad nim, to każda macierz nad pierścieniem jest równoważna z dokładnie jedną macierzą kanoniczną Frobeniusa, to znaczy taką, która ma jedyne niezerowe elementy na miejscach przy czym niezerowe wielomiany są unormowane i wszystkie wielomiany spełniają warunek

Twierdzenie (z wyjątkiem jednoznaczności) zachodzi dla macierzy nad dowolnym pierścieniem ideałów głównych, nad pierścieniem euklidesowym jest szybki algorytm znajdowania postaci kanonicznej Frobeniusa. Dla macierzy nad pierścieniem liczb całkowitych odpowiednia postać kanoniczna (z nieujemnymi elementami „diagonalnymi” dla jednoznaczności) nazywana jest postacią kanoniczną Smitha.

Elementy „diagonalne” nazywane są czynnikami niezmienniczymi macierzy. Dwie macierze tych samych rozmiarów nad pierścieniem ideałów głównych są równoważne, gdy ich czynniki niezmiennicze są stowarzyszone.

Jeśli jest największym wspólnym dzielnikiem minorów stopnia macierzy, to czynniki niezmiennicze tej macierzy wyrażają się wzorami:

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Wojciech Mitkowski: Równania macierzowe i ich zastosowania. Kraków: AGH Uczelniane Wydawnictwa Naukowo-Dydaktyczne, 2006. ISBN 83-7464-055-3.