Prędkość orbitalna

Prędkość orbitalna – prędkość z jaką porusza się ciało po orbicie.

W przypadku orbity kołowej, wartość wektora prędkości ciała jest stała wzdłuż całej orbity. Ponieważ siłą dośrodkową w tym ruchu jest siła grawitacji można zapisać:

${\frac {GMm}{r^{2}}}={\frac {mv^{2}}{r}}$

i dlatego

$v={\sqrt {\frac {GM}{r}}}$,

gdzie:

G – stała grawitacyjna,

M – masa ciała okrążanego, np. planety,

m – masa ciała krążącego, np. statku kosmicznego,

r – promień orbity,

v – prędkość orbitalna.

Inny sposób wyprowadzenia wzoru opisano poniżej.

Pewne ciało znajduje się na powierzchni pewnego ciała niebieskiego. Odległość od jego środka wynosi $R$. Ciało to porusza się z pewną prędkością $v$, w kierunku równoległym do stycznej powierzchni ciała niebieskiego w punkcie, w którym się aktualnie znajduje. Po upływie różniczki czasu $dt$, pokonuje różniczkę drogi $ds$, osiągając jednocześnie różniczkę wysokości $dh$ od powierzchni ciała niebieskiego, tak więc odległość od jego środka wynosi wówczas $R+dh$. Nietrudno zauważyć, że po połączeniu następujących 3 punktów: punktu początkowego ciała, punktu w którym znajduje się ciało po upływie różniczki czasu, a także punktu środka ciała niebieskiego, otrzyma się trójkąt prostokątny. Korzystając wówczas z twierdzenia Pitagorasa, prawdziwa jest zależność:

$R^{2}+(ds)^{2}=(R+dh)^{2}$

Po przebyciu różniczki drogi $ds$, znajdując się na wysokości $dh$, ciało zaczyna spadać. Zadanie polega więc na wyznaczeniu prędkości $v$, z jaką ma przebyć ową różniczkę drogi, co sprowadza się do wyznaczenia czasu jej przebycia. Czas ten musi być równy czasowi spadania z różniczki wysokości tak, aby po jego upływie ciało nadal znajdowało się na powierzchni ciała niebieskiego, dzięki czemu utrzyma się na jego orbicie. Wysokość od powierzchni ciała niebieskiego $h$, na której znajduje się ciało, z której upada ono na powierzchnię po upływie czasu $t$, dla zaniedbywalnie małych wysokości, wyraża się wzorem:

$h={\frac {1}{2}}at^{2}$

gdzie $a$ jest przyspieszeniem grawitacyjnym występującym na powierzchni ciała niebieskiego. Wzór ten jest tym bardziej prawdziwy dla różniczek wysokości $dh$ i czasu $dt$, gdyż różniczka wysokości dąży do 0, a więc $dh\rightarrow 0$, jest więc zaniedbywalnie mała.

$dh={\frac {1}{2}}a(dt)^{2}$

Podstawiając za $dh$ powyższy wzór do otrzymanej zależności wynikającej z twierdzenia Pitagorasa, otrzymujemy:

$R^{2}+(ds)^{2}=(R+{\frac {1}{2}}a(dt)^{2})^{2}$

Od obu stron równania odejmujemy $R^{2}$.

$(ds)^{2}=(R+{\frac {1}{2}}a(dt)^{2})^{2}-R^{2}$

W ruchu jednostajnym, prędkość jest pochodną przebytej drogi po czasie.

$v={\frac {ds}{dt}}$

Obie strony równania podnosimy do kwadratu.

$v^{2}=({\frac {ds}{dt}})^{2}={\frac {(ds)^{2}}{(dt)^{2}}}$

Podstawiając za $(ds)^{2}$ powyższy wzór, otrzymujemy:

$v^{2}={\frac {(R+{\frac {1}{2}}a(dt)^{2})^{2}-R^{2}}{(dt)^{2}}}={\frac {R^{2}+{\frac {1}{4}}a^{2}(dt)^{4}+aR(dt)^{2}-R^{2}}{(dt)^{2}}}={\frac {{\frac {1}{4}}a^{2}(dt)^{4}+aR(dt)^{2}}{(dt)^{2}}}={\frac {1}{4}}a^{2}(dt)^{2}+aR$

Ponieważ $dt\rightarrow 0$, więc ${\frac {1}{4}}a^{2}(dt)^{2}\rightarrow 0$. Ostatecznie otrzymujemy:

$v^{2}=aR$

Pierwiastkujemy obie strony równania.

$v={\sqrt {aR}}$

Wartość przyspieszenia grawitacyjnego wyznaczyć można z zależności:

$a={\frac {GM}{R^{2}}}$

gdzie $G$ - stała grawitacji, zaś $M$ - masa ciała niebieskiego. Podstawiając za $a$ powyższą zależność, otrzymujemy ostatecznie wzór na pierwszą prędkość kosmiczną.

$v={\sqrt {{\frac {GM}{R^{2}}}\cdot R}}$

$v_{I}={\sqrt {\frac {GM}{R}}}$

Prędkość orbitalną na orbicie kołowej można też wyznaczyć znając okres obiegu i promień orbity

$v={\frac {2\pi r}{T}}$,

gdzie:

T – okres orbitalny.

W przypadku orbity eliptycznej, prędkość orbitalna ciała zmienia się wzdłuż orbity i jest największa w perycentrum, a najmniejsza w apocentrum orbity. Wartość tej prędkości w dowolnym punkcie orbity można wyznaczyć z drugiego prawa Keplera lub z zasady zachowania energii mechanicznej.