Prędkość grupowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Prędkość grupowa – wielkość opisująca rozchodzenie się fal nieharmonicznych (innych niż sinusoidalne), w sytuacji, gdy natężenie fali nie wpływa na prędkość jej ruchu. Inaczej, prędkość grupowa to prędkość rozchodzenia się modulacji zwykle odpowiadająca prędkości przenoszenia informacji i energii przez falę.

Dla fal rozprzestrzeniających się bez zmiany kształtu impulsu falowego odpowiada prędkości rozchodzenia się impulsu i prędkości rozchodzenia się czoła fali.

Dla fal prawie harmonicznych, opisanych jako fala harmoniczna o zmieniającej się amplitudzie, prędkość rozchodzenia się grzbietów modulacji czyli prędkość grupową określa wzór:

Fala o prędkości grupowej mniejszej od prędkości fazowej. Czerwony punkt porusza się z prędkością fazową, a zielony z prędkością grupową.
v_g \equiv \frac{\partial \omega}{\partial k}

gdzie:

v_g – prędkość grupowa,
\omega – częstość kątowa drgań fali,
k – wektor falowy.

Pojęcie prędkość grupowa wprowadzono w celu odróżnienia od prędkości przemieszczania się grzbietów fali nazywanej prędkością fazową, która pojawia się m.in. w prawie załamania światła.

W próżni prędkość grupowa światła jest równa prędkości fazowej i jest równa prędkości światła w próżni. W ośrodkach materialnych prędkość grupowa światła jest zwykle mniejsza od prędkości światła w próżni, lecz może być większa, a nawet ujemna (dla metamateriałów o ujemnym współczynniku załamania). Większa wartość prędkości grupowej od prędkości światła nie stoi w sprzeczności ze szczególną teorią względności, gdyż prędkość grupowa w takich przypadkach nie jest szybkością rozprzestrzeniania się fali, a tym samym i przenoszenia sygnałów.

W ośrodkach dyspersyjnych prędkość grupowa jest różna od prędkości fazowej. Natomiast w ośrodkach, w których amplituda fali wpływa na szybkość jej przemieszczania się nie wprowadza się pojęcia prędkości grupowej.

Pojęcia prędkości grupowej i fazowej wprowadził William Rowan Hamilton w 1839 roku.

W mechanice kwantowej[edytuj | edytuj kod]

W mechanice kwantowej, zgodnie z hipotezą de Broglie'a, każdej cząstce odpowiada paczka fal zespolonych zwanych falami materii, dla tych fal:

v_g = \frac{\partial \omega}{\partial k} = \frac{\partial (E/\hbar)}{\partial (p/\hbar)} = \frac{\partial E}{\partial p}

gdzie:

Eenergia kinetyczna cząstki,
ppęd tej cząstki,
\hbarstała Diraca.

Używając mechaniki relatywistycznej, stwierdza się że:

v_g = \frac{\partial E}{\partial p} =
  \frac{\partial}{\partial p} \left( \sqrt{p^2c^2+m^2c^4} - mc^2 \right) =
  \frac{pc^2}{\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}} =
= \frac{\gamma mvc^2}{\sqrt{{\gamma}^2m^2v^2c^2+m^2c^4}} =
  \frac{\gamma vc}{\sqrt{{\gamma}^2v^2+c^2}} =  v

gdzie:

cprędkość światła,
\gammaczynnik Lorentza.

Wynik ten oznacza, że bez względu na masę cząstki, jej prędkość i inne parametry, prędkość grupowa fali materii odpowiada prędkości ruchu cząstki, co jest zgodne z oczekiwaniami.

Wzór na prędkość grupową[edytuj | edytuj kod]

Fala modulowana może być przedstawiona jako suma dwóch fal o różnych i niewiele różniących się częstościach. Przyjmując, że fazy początkowe obu fal są równe zero, różnica ich faz wynosi:

 \Delta \phi = \phi_1(z,t) - \phi_2(z,t)=(\omega_1 t - k_1 z) - (\omega_2 t - k_2 z) \,.

Fale wzmacniają się, gdy mają jednakowe fazy, oznacza to, że by poruszać się z prędkością rozchodzenia się wzmocnienia trzeba poruszać się z jego prędkością grupową, czyli dla takiej samej fazy. Wynika z tego, że różniczka powyższego wyrażenia jest równa zero:

(\omega_1 dt - k_1 dz) - (\omega_2 dt - k_2 dz)=(\omega_1 -\omega_2)dt  - (k_1  - k_2) dz =  0 \,

Prędkość jest równa \tfrac{dz}{dt}, czyli:

 v_g = \frac {dz} {dt} = \frac {\omega_2 - \omega_1} {k_2 -k_1} = \frac{d\omega} {dk}

Związek z prędkością fazową[edytuj | edytuj kod]

Między prędkością grupową  v_g a fazową  v_p istnieją zależności:

v_{\rm g} = v_{\rm p} + k \cdot \frac{dv_{\rm p}}{dk}   

lub

v_{\rm g} = v_{\rm p} - \lambda \cdot \frac{dv_{\rm p}}{d\lambda}

Z zależności tych wynika, że fala ulega dyspersji, gdy prędkość fazowa zależy od długości fali \lambda (liczby falowej), natomiast gdy prędkość fazowa nie zależy od długości fali, to fala nie ulega dyspersji.

Wyprowadzenie zależności[edytuj | edytuj kod]

Z definicji prędkości fazowej v_p wynika:

v_{\rm p} = \frac{\omega}{k} = \lambda \cdot f

Związki dla wielkości opisujących fale: długość fali \lambda, częstotliwość f:

\omega = 2\pi f \,
 k = \frac{2 \pi}{\lambda}
 \omega = v_{\rm p} k \,

to

\frac{d\omega}{dk}=\frac{d}{dk} v_{\rm p} k = v_{\rm p} \frac{dk}{dk} + k \frac{dv_{\rm p}}{dk}
v_{\rm g} = v_{\rm p} + k \cdot \frac{dv_{\rm p}}{dk}

oraz

\frac{d}{dk} = \frac{d}{d\lambda} \cdot \frac{d\lambda}{dk}   i   \quad\frac{d\lambda}{dk} = \frac{d\frac{2 \pi}{k}}{dk} = -\frac{2 \pi}{k^2}
v_{\rm g} = v_{\rm p} - \lambda \cdot \frac{dv_{\rm p}}{d\lambda}

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]