Prędkość orbitalna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Prędkość orbitalnaprędkość, z jaką porusza się ciało po orbicie.

Orbita kołowa[edytuj | edytuj kod]

Na orbicie kołowej orbitujące ciało o masie niewielkiej w porównaniu z masą ciała centralnego porusza się po okręgu o środku w środku obieganego ciała. W ruchu tym siłą dośrodkową jest siła grawitacji, zatem:

i dlatego

gdzie:

stała grawitacyjna,
masa ciała okrążanego, np. planety,
– masa ciała krążącego, np. statku kosmicznego,
promień orbity,
– prędkość orbitalna.

Inny sposób wyprowadzenia wzoru opisano poniżej:

Pewne ciało znajduje się na powierzchni pewnego ciała niebieskiego. Odległość od jego środka wynosi Ciało to porusza się z pewną prędkością w kierunku prostopadłym do prostej łączącej środki tych ciał. Po upływie niewielkiego czasu ciało przebywa niewielką drogę w wyniku czego wysokość ciała zmieni się o od środka ciała niebieskiego, tak więc odległość od jego środka wynosi wówczas Punkty: początkowego położenia ciała, końcowego położenia ciała oraz środka ciała niebieskiego, są wierzchołkami trójkąta prostokątnego. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla tych punktów:

Przebywając drogę ciało spada o Zadanie polega więc na wyznaczeniu prędkości z jaką ciało ma się poruszać, co sprowadza się do wyznaczenia czasu jej przebycia. Czas ten musi być równy czasowi spadania z wysokości tak, aby po jego upływie ciało nadal znajdowało się w takiej samej odległości od ciała niebieskiego, dzięki czemu jego tor ruchu będzie okręgiem. Wysokość od ciała niebieskiego na której znajduje się ciało, z której upada ono na powierzchnię po upływie czasu dla zaniedbywalnie małych wysokości, wyraża się wzorem:

gdzie jest przyspieszeniem grawitacyjnym występującym w miejscu gdzie znajduje się orbitujące ciało.

Wzór ten jest tym bardziej prawdziwy dla różniczek wysokości i czasu gdyż różniczka wysokości dąży do 0, a więc jest więc zaniedbywalnie mała.

Podstawiając za powyższy wzór do otrzymanej zależności wynikającej z twierdzenia Pitagorasa, otrzymujemy:

Od obu stron równania odejmujemy

W ruchu jednostajnym prędkość jest pochodną przebytej drogi po czasie:

Obie strony równania podnosimy do kwadratu.

Podstawiając za powyższy wzór, otrzymujemy:

Ponieważ więc Ostatecznie otrzymujemy:

Pierwiastkujemy obie strony równania:

Wartość przyspieszenia grawitacyjnego wyznaczyć można z zależności:

gdzie:

– stała grawitacji,
– masa ciała niebieskiego.

Podstawiając za powyższą zależność, otrzymujemy ostatecznie wzór na pierwszą prędkość kosmiczną:

Prędkość orbitalną na orbicie kołowej można też wyznaczyć, znając okres obiegu i promień orbity

gdzie:

okres orbitalny.

Orbita eliptyczna[edytuj | edytuj kod]

W przypadku orbity eliptycznej prędkość orbitalna ciała zmienia się wzdłuż orbity i jest największa w perycentrum, a najmniejsza w apocentrum orbity. Wartość tej prędkości w dowolnym punkcie orbity można wyznaczyć z drugiego prawa Keplera lub z zasady zachowania energii.