Prędkość orbitalna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Prędkość orbitalnaprędkość, z jaką porusza się ciało po orbicie.

W przypadku orbity kołowej wartość wektora prędkości ciała jest stała wzdłuż całej orbity. Ponieważ siłą dośrodkową w tym ruchu jest siła grawitacji, można zapisać:

i dlatego

gdzie:

stała grawitacyjna,
masa ciała okrążanego, np. planety,
– masa ciała krążącego, np. statku kosmicznego,
promień orbity,
– prędkość orbitalna.

Inny sposób wyprowadzenia wzoru opisano poniżej:

Pewne ciało znajduje się na powierzchni pewnego ciała niebieskiego. Odległość od jego środka wynosi Ciało to porusza się z pewną prędkością w kierunku równoległym do stycznej powierzchni ciała niebieskiego w punkcie, w którym się aktualnie znajduje. Po upływie różniczki czasu pokonuje różniczkę drogi osiągając jednocześnie różniczkę wysokości od powierzchni ciała niebieskiego, tak więc odległość od jego środka wynosi wówczas Nietrudno zauważyć, że po połączeniu następujących 3 punktów: punktu początkowego ciała, punktu w którym znajduje się ciało po upływie różniczki czasu, a także punktu środka ciała niebieskiego, otrzyma się trójkąt prostokątny. Korzystając wówczas z twierdzenia Pitagorasa, prawdziwa jest zależność:

Po przebyciu różniczki drogi znajdując się na wysokości ciało zaczyna spadać. Zadanie polega więc na wyznaczeniu prędkości z jaką ma przebyć ową różniczkę drogi, co sprowadza się do wyznaczenia czasu jej przebycia. Czas ten musi być równy czasowi spadania z różniczki wysokości tak, aby po jego upływie ciało nadal znajdowało się na powierzchni ciała niebieskiego, dzięki czemu utrzyma się na jego orbicie. Wysokość od powierzchni ciała niebieskiego na której znajduje się ciało, z której upada ono na powierzchnię po upływie czasu dla zaniedbywalnie małych wysokości, wyraża się wzorem:

gdzie jest przyspieszeniem grawitacyjnym występującym na powierzchni ciała niebieskiego.

Wzór ten jest tym bardziej prawdziwy dla różniczek wysokości i czasu gdyż różniczka wysokości dąży do 0, a więc jest więc zaniedbywalnie mała.

Podstawiając za powyższy wzór do otrzymanej zależności wynikającej z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy:

Od obu stron równania odejmujemy

W ruchu jednostajnym prędkość jest pochodną przebytej drogi po czasie:

Obie strony równania podnosimy do kwadratu.

Podstawiając za powyższy wzór, otrzymujemy:

Ponieważ więc Ostatecznie otrzymujemy:

Pierwiastkujemy obie strony równania:

Wartość przyspieszenia grawitacyjnego wyznaczyć można z zależności:

gdzie:

– stała grawitacji,
– masa ciała niebieskiego.

Podstawiając za powyższą zależność, otrzymujemy ostatecznie wzór na pierwszą prędkość kosmiczną:

Prędkość orbitalną na orbicie kołowej można też wyznaczyć znając okres obiegu i promień orbity

gdzie:

Tokres orbitalny.

W przypadku orbity eliptycznej prędkość orbitalna ciała zmienia się wzdłuż orbity i jest największa w perycentrum, a najmniejsza w apocentrum orbity. Wartość tej prędkości w dowolnym punkcie orbity można wyznaczyć z drugiego prawa Keplera lub z zasady zachowania energii (tu: energii mechanicznej).