Prędkość orbitalna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Prędkość orbitalnaprędkość z jaką porusza się ciało po orbicie.

W przypadku orbity kołowej, wartość wektora prędkości ciała jest stała wzdłuż całej orbity. Ponieważ siłą dośrodkową w tym ruchu jest siła grawitacji można zapisać:


i dlatego

,

gdzie:

Gstała grawitacyjna,
Mmasa ciała okrążanego, np. planety,
m – masa ciała krążącego, np. statku kosmicznego,
rpromień orbity,
v – prędkość orbitalna.

Inny sposób wyprowadzenia wzoru opisano poniżej.

Pewne ciało znajduje się na powierzchni pewnego ciała niebieskiego. Odległość od jego środka wynosi . Ciało to porusza się z pewną prędkością , w kierunku równoległym do stycznej powierzchni ciała niebieskiego w punkcie, w którym się aktualnie znajduje. Po upływie różniczki czasu , pokonuje różniczkę drogi , osiągając jednocześnie różniczkę wysokości od powierzchni ciała niebieskiego, tak więc odległość od jego środka wynosi wówczas . Nietrudno zauważyć, że po połączeniu następujących 3 punktów: punktu początkowego ciała, punktu w którym znajduje się ciało po upływie różniczki czasu, a także punktu środka ciała niebieskiego, otrzyma się trójkąt prostokątny. Korzystając wówczas z twierdzenia Pitagorasa, prawdziwa jest zależność:

Po przebyciu różniczki drogi , znajdując się na wysokości , ciało zaczyna spadać. Zadanie polega więc na wyznaczeniu prędkości , z jaką ma przebyć ową różniczkę drogi, co sprowadza się do wyznaczenia czasu jej przebycia. Czas ten musi być równy czasowi spadania z różniczki wysokości tak, aby po jego upływie ciało nadal znajdowało się na powierzchni ciała niebieskiego, dzięki czemu utrzyma się na jego orbicie. Wysokość od powierzchni ciała niebieskiego , na której znajduje się ciało, z której upada ono na powierzchnię po upływie czasu , dla zaniedbywalnie małych wysokości, wyraża się wzorem:

gdzie jest przyspieszeniem grawitacyjnym występującym na powierzchni ciała niebieskiego. Wzór ten jest tym bardziej prawdziwy dla różniczek wysokości i czasu , gdyż różniczka wysokości dąży do 0, a więc , jest więc zaniedbywalnie mała.

Podstawiając za powyższy wzór do otrzymanej zależności wynikającej z twierdzenia Pitagorasa, otrzymujemy:

Od obu stron równania odejmujemy .

W ruchu jednostajnym, prędkość jest pochodną przebytej drogi po czasie.

Obie strony równania podnosimy do kwadratu.

Podstawiając za powyższy wzór, otrzymujemy:

Ponieważ , więc . Ostatecznie otrzymujemy:

Pierwiastkujemy obie strony równania.

Wartość przyspieszenia grawitacyjnego wyznaczyć można z zależności:

gdzie - stała grawitacji, zaś - masa ciała niebieskiego. Podstawiając za powyższą zależność, otrzymujemy ostatecznie wzór na pierwszą prędkość kosmiczną.

Prędkość orbitalną na orbicie kołowej można też wyznaczyć znając okres obiegu i promień orbity

,

gdzie:

Tokres orbitalny.

W przypadku orbity eliptycznej, prędkość orbitalna ciała zmienia się wzdłuż orbity i jest największa w perycentrum, a najmniejsza w apocentrum orbity. Wartość tej prędkości w dowolnym punkcie orbity można wyznaczyć z drugiego prawa Keplera lub z zasady zachowania energii mechanicznej.