Prawo Gaussa (elektryczność)

Prawo Gaussa dla elektryczności – prawo wiążące pole elektryczne z jego źródłem, czyli ładunkiem elektrycznym. Natężenie pola elektrycznego jest polem wektorowym i spełnia twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego:

Strumień natężenia pola elektrycznego, przenikający przez dowolną powierzchnię zamkniętą w jednorodnym środowisku o bezwzględnej przenikalności elektrycznej $\varepsilon ,$ jest równy stosunkowi całkowitego ładunku znajdującego się wewnątrz tej powierzchni do wartości tejże przenikalności.

Prawo Gaussa w próżni

W ujęciu całkowym

Strumień $\Phi _{E}$ natężenia pola elektrycznego ${\vec {E}},$ przenikający przez zamkniętą powierzchnię $S,$ ograniczającą obszar o objętości $V,$ jest proporcjonalny do ładunku elektrycznego $Q$ zawartego w tym obszarze (objętości):

$\Phi _{E}=\oint \limits _{S}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int \limits _{V}\rho \,\mathrm {d} V={\frac {Q}{\varepsilon _{o}}},$

przy czym:

• wektor $\mathrm {d} {\vec {S}}$ jest wektorem powierzchni,
• współczynnikiem proporcjonalności jest przenikalność elektryczna próżni $\varepsilon _{0}.$

W ujęciu różniczkowym

Dywergencja natężenia pola elektrycznego równa jest ilorazowi gęstości ładunku i przenikalności elektrycznej próżni:

$\nabla \cdot {\vec {E}}={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}},$

przy czym:

$\nabla \cdot {\vec {E}}$ – dywergencja natężenia pola elektrycznego,

$\rho$ – gęstość ładunku,

$\varepsilon _{\mathrm {0} }$ – przenikalność elektryczna w próżni równa $8{,}854187817\ldots \cdot 10^{-12}\,\mathrm {\frac {F}{m}} .$

Prawo Gaussa w materii

W materii pole elektryczne wywołuje przesunięcie ładunków elektrycznych, co skutkuje powstaniem ładunków zwanych ładunkami indukowanymi. Prawo Gaussa obowiązuje także w tej sytuacji, ale trzeba uwzględnić ładunki indukowane w ośrodku. Jest to podejście bardzo niewygodne w związku z czym uwzględnia się ten wkład za pomocą przenikalności elektrycznej materiału ośrodka:

$\Phi _{E}={\frac {Q_{\mathrm {sw} }+Q_{\mathrm {ind} }}{\varepsilon _{0}}}={\frac {Q_{\mathrm {sw} }}{\varepsilon _{\mathrm {r} }\varepsilon _{0}}}={\frac {Q_{\mathrm {sw} }}{\varepsilon }},$

przy czym:

$Q_{\mathrm {sw} }$ – ładunki swobodne objęte powierzchnią $S,$

$Q_{\mathrm {ind} }$ – ładunki indukowane w ośrodku objęte powierzchnią $S,$

$\varepsilon _{\mathrm {r} }$ – względna przenikalność elektryczna ośrodka,

$\varepsilon$ – przenikalność elektryczna ośrodka (bezwzględna).

W ujęciu różniczkowym prawo Gaussa można teraz zapisać jako

$\nabla \cdot {\vec {E}}={\frac {\rho _{\mathrm {sw} }}{\varepsilon }},$

w którym:

$\rho _{\mathrm {sw} }$ – gęstość ładunków swobodnych.

Wkład ośrodka można też uwzględnić za pomocą indukcji elektrycznej związanej z natężeniem pola elektrycznego przez

${\vec {D}}=\varepsilon {\vec {E}}.$

Dla której prawo Gaussa brzmi: Strumień indukcji elektrycznej ${\vec {D}}$ przenikający przez zamkniętą powierzchnię $S$ jest równy ładunkowi elektrycznemu $Q$ zawartemu w objętości zamkniętej powierzchnią $S{:}$

$\oint \limits _{S}{\vec {D}}\cdot {\textrm {d}}{\vec {S}}=\int \limits _{V}\rho \,{\textrm {d}}V=Q_{\mathrm {sw} }$

lub w postaci różniczkowej

$\nabla \cdot {\vec {D}}=\rho _{\mathrm {sw} },$

w którym:

$\nabla \cdot {\vec {D}}$ – dywergencja indukcji elektrycznej.

Konsekwencje prawa Gaussa

Wzór: $\oint \limits _{S}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}={\frac {Q}{\varepsilon }}$ jest wyrazem faktu, że pole wektorowe ${\vec {E}}$ jest polem źródłowym.

Dla ładunku punktowego $Q$ pole ma symetrię sferyczną, dzięki czemu strumień pola w odległości $r$ można zapisać jako:

$\Phi _{E}=\oint \limits _{S}{\vec {E}}\ \cdot \mathrm {d} {\vec {S}}=S_{r}E(r),$

w którym $S_{r}$ jest powierzchnią kuli o promieniu $r.$

Z powyższego wynika:

$E(r)={\frac {Q}{\varepsilon S_{r}}}.$

Pole powierzchni kuli jest równe $4\pi r^{2}.$ Stąd wynikają wzory na natężenie pola elektrycznego oraz siłę oddziaływania ładunku próbnego $q$ z ładunkiem punktowym:

$E(r)={\frac {Q}{4\pi \varepsilon r^{2}}},$

$F(r)={\frac {Qq}{4\pi \varepsilon r^{2}}}.$

Otrzymany wzór wyraża prawo Coulomba. Dodatkowym wnioskiem z powyższego równania jest to, że jeżeli w prawie Coulomba występuje wykładnik równy dokładnie 2 (co jest wyznaczane eksperymentalnie), to nasza przestrzeń ma dokładnie 3 wymiary. Jest to jedna z niewielu bezpośrednich metod badania „wymiarowości” naszej przestrzeni.

Prawo Gaussa zostało później ujęte w równaniach Maxwella.

Odpowiednik dla magnetyzmu

Całkowity strumień indukcji magnetycznej przechodzący przez powierzchnię zamkniętą równa się zeru. Fakt ten wynika stąd, iż pole magnetyczne jest bezźródłowe – nie istnieją ładunki magnetyczne, dywergencja pola jest wszędzie równa zero.

$\Phi _{B}=\oint \limits _{S}{\vec {B}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}=\oint \limits _{V}\nabla \cdot {\vec {B}}\mathrm {d} V=0.$

Odpowiednik dla grawitacji

Prawo Gaussa dotyczy także pól grawitacyjnych:

$\oint \limits _{S}{\vec {g}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}=-4\pi GM,$

przy czym:

${\vec {g}}$ – natężenie pola grawitacyjnego,

$G$ – stała grawitacji.

Strumień natężenia pola ${\vec {g}}$ przez powierzchnię zamkniętą $S$ równy jest całkowitej masie $M$ zamkniętej przez tę powierzchnię pomnożonej przez $-4\pi G.$

Uwaga: Ta postać prawa Gaussa jest prawdziwa jedynie w teorii grawitacji Newtona. W ogólnej teorii względności już nawet w najprostszym przypadku jednorodnego pola przyspieszeń w zadanym obszarze (wektory przyspieszenia są w tym obszarze równoległe) zachodzi bowiem:

$\oint \limits _{S}{\vec {g}}\ \cdot \mathrm {d} {\vec {S}}={\frac {1}{c^{2}}}\oint \limits _{V}{\vec {g}}\ ^{2}\mathrm {d} V.$

Zobacz też

• twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa
• twierdzenie Stokesa