Prawo podwójnego przeczenia

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Prawo podwójnego przeczenia – prawo logiki formalnej. Występuje w formie silnego prawa podwójnego przeczenia:

,

oraz słabego prawa podwójnego przeczenia:

.

Silne prawo podwójnego przeczenia dodane do aksjomatów intuicjonistycznego rachunku zdań tworzy aksjomatykę klasycznego rachunku zdań. Skąd też niejawnie wynika, iż w rachunku intuicjonistycznym jest ono niedowodliwe.

Natomiast Słabe prawo podwójnego przeczenia z kolei jest tezą rachunku intuicjonistycznego:

1. prawo redukcji do absurdu
2. prawo poprzedzania
3. reguła odrywania: 1,3
4. sylogizm Fregego
5. reguła odrywania: 3,4
6. prawo przepełnienia
7. reguła odrywania: 5,6

Jawny dowód niewyprowadzalności silnego prawa podwójnego przeczenia dostajemy z jednego spośród twierdzeń o pełności dla intuicjonistycznego rachunku zdań, zgodnie z którym formuła zdaniowa jest tezą rachunku intuicjonistycznego wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona prawdziwa w dowolnej algebrze Heytinga. Poniżej widzimy algebrę Heytinga ( z porządkiem "po współrzędnych"), w której silne prawo podwójnego przeczenia nie zachodzi:


Heyting-kontr CNNpp.svg

Mianowicie w algebrze tej: .

W algebrze tej nie zachodzi także prawo wyłączonego środka (tertium non datur): .

W rzeczy samej, w algebrze tej .

Jest to o tyle naturalne, że w intuicjonistycznym rachunku zdań dowodliwa jest formuła :

1. prawo redukcji do absurdu
2. prawo poprzedzania
3. prawo łączenia implikacji
4. reguła odrywania: 2,3
5. reguła odrywania: 1,4

Natomiast w algebrze tej prawdziwe jest słabe prawo wyłączonego środka: .

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

  • Marciszewski, Witold (red.) [1987]. Logika formalna. Zarys encyklopedyczny z zastosowaniem do informatyki i lingwistyki, PWN, Warszawa.
  • Marciszewski, Witold (red.) [1988]. Mała encyklopedia logiki, wyd. 2 rozszerzone, Ossolineum, Wrocław ( 1sze wyd. 1970).
  • Pogorzelski, Witold [1992] Elementarny słownik logiki formalnej, wyd. Filii UW, Białystok.