Prawo wzajemności reszt kwadratowych

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Prawo wzajemności reszt kwadratowych – twierdzenie teorii liczb, które pozwala rozstrzygnąć, czy dana kongruencja stopnia 2 ma rozwiązanie. Prawo wzajemności reszt kwadratowych udowodnił Gauss, choć jego prawdziwość podejrzewali już Euler i Legendre.

Twierdzenie[edytuj]

Niech p i q będą dwiema różnymi, nieparzystymi liczbami pierwszymi. Wynika stąd natychmiast, że p i q przystają modulo 4 albo do 1, albo do 3 – jeśli choć jedna z tych liczb przystaje do 1 modulo 4, to kongruencja

ma rozwiązanie x wtedy i tylko wtedy, gdy kongruencja

ma rozwiązanie y; na ogół rozwiązania te będą różne. Jeśli natomiast obie liczby p i q przystają do 3 modulo 4, to kongruencja

ma rozwiązanie x wtedy i tylko wtedy, gdy kongruencja

nie ma rozwiązania y.

Korzystając z symbolu Legendre’a

jeśli p jest resztą kwadratową modulo q i   -1 w przeciwnym wypadku,

oba stwierdzenia można zapisać następująco:

Ponieważ jest parzyste jeśli któraś z liczb p lub q przystaje do 1 modulo 4, i nieparzyste wtedy i tylko wtedy, gdy obie liczby p i q przystają do 3 modulo 4, jest równe 1 jeśli któraś z liczb p lub q przystaje do 1 modulo 4 i –1 jeśli obie liczby p i q przystają do 3 modulo 4.

Znanych jest 245 różnych dowodów prawa wzajemności reszt kwadratowych[1].

Przypisy