Przejdź do zawartości

Prawo wzajemności reszt kwadratowych

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
W części IV podręcznika Disquisitiones Arithmeticae opublikowanego w 1801 roku Gauss przedstawił dowód prawa wzajemności reszt kwadratowych[1].

Prawo wzajemności reszt kwadratowych – twierdzenie teorii liczb, które pozwala rozstrzygnąć, czy dana kongruencja stopnia 2 ma rozwiązanie. Prawo wzajemności reszt kwadratowych udowodnił Gauss, choć jego prawdziwość podejrzewali już Euler i Legendre.

Twierdzenie

[edytuj | edytuj kod]

Niech i będą dwiema różnymi, nieparzystymi liczbami pierwszymi. Wynika stąd natychmiast, że i przystają modulo 4 albo do 1, albo do 3 – jeśli choć jedna z tych liczb przystaje do 1 modulo 4, to kongruencja

ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy kongruencja

ma rozwiązanie na ogół rozwiązania te będą różne. Jeśli natomiast obie liczby i przystają do 3 modulo 4, to kongruencja

ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy kongruencja

nie ma rozwiązania

Korzystając z symbolu Legendre’a,

jeśli jest resztą kwadratową modulo i w przeciwnym wypadku,

oba stwierdzenia można zapisać następująco[2]:

Ponieważ jest parzyste jeśli któraś z liczb lub przystaje do 1 modulo 4, i nieparzyste wtedy i tylko wtedy, gdy obie liczby i przystają do 3 modulo 4, jest równe 1 jeśli któraś z liczb lub przystaje do 1 modulo 4 i –1 jeśli obie liczby i przystają do 3 modulo 4.

Znanych jest co najmniej 246 różnych dowodów prawa wzajemności reszt kwadratowych[3].

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. Carl Friedrich Gauss, Disquisitiones Arithmeticae, „SpringerLink”, 1986, s. 92, DOI10.1007/978-1-4939-7560-0 [dostęp 2024-02-05] (ang.).
  2. reszt kwadratowych prawo wzajemności, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-10-08].
  3. Proofs of the Quadratic Reciprocity Law.