Problem Napoleona

Problem Napoleona – geometryczny problem konstrukcyjny. Dane są w nim okrąg i jego środek. Celem jest podzielenie okręgu na cztery równe łuki za pomocą wyłącznie cyrkla. Napoleon Bonaparte znany był jako matematyk amator, lecz nie wiadomo czy zadał lub rozwiązał to zadanie. Wymóg rozwiązania problemu wyłącznie za pomocą cyrkla (bez użycia linijki) wprowadził włoski matematyk Lorenzo Mascheroni, przyjaciel Napoleona.

Znany jest też tzw. prawdziwy problem Napoleona, w którym za pomocą samego cyrkla należy wyznaczyć środek danego okręgu. W poniższym artykule opisane jest jego rozwiązanie wraz z dowodem.

Należy wspomnieć, iż Georg Mohr w 1672 roku wydał książkę Euclides Danicus zawierającą rozwiązanie tego zadania – wcześniej od Mascheroniego – lecz odkryto ją dopiero w 1928 roku.

Problem Napoleona

Podział okręgu na cztery równe łuki przy zadanym jego środku

Konstrukcja

Łuk o środku w dowolnym punkcie $X$ z okręgu ${\mathcal {C}}$ zawierający punkt $O$ (środek ${\mathcal {C}}$) przecina ${\mathcal {C}}$ w punktach $V$ oraz $Y.$ Podobnie łuk o środku w $Y$ zawierający $O$ przecina ${\mathcal {C}}$ w $X$ i $Z.$ Należy zauważyć, że długości $OV,OX,OY,OZ,VX,XY,YZ$ są równe długości promienia ${\mathcal {C}}.$

Łuk o środku w $V$ do którego należy $Y$ i łuk o środku w $Z$ do którego należy $X$ przecinają się w punkcie $T.$ Długości $VY$ oraz $XZ$ wynoszą ${\sqrt {3}}$ pomnożone przez długość promienia okręgu ${\mathcal {C}}.$

Łuk o środku w $Z$ i promieniu równym $OT$ (czyli ${\sqrt {2}}$ pomnożone przez promień okręgu ${\mathcal {C}}$) przecina ${\mathcal {C}}$ w punktach $U$ oraz $W.$ Czworokąt $UVWZ$ jest kwadratem, a łuki $UV,VW,WZ,ZU$ okręgu ${\mathcal {C}}$ są wszystkie równe czwartej części obwodu ${\mathcal {C}}.$

Prawdziwy problem Napoleona

Wyznaczenie środka danego okręgu

Konstrukcja

Konstrukcja

Niech ${\mathcal {C}}$ będzie okręgiem, w którym szukany jest jego środek.

• Punkt $A$ jest dowolnym punktem leżącym na ${\mathcal {C}}.$
• Punkty $B$ i $B'$ to punkty przecięcia okręgu ${\mathcal {C}}_{1}$ o środku w $A$ z okręgiem ${\mathcal {C}}.$
• Punkt $C$ jest punktem przecięcia różnym od $A$ dwóch okręgów ${\mathcal {C}}_{2}$ o środkach w $B$ oraz $B'$ i promieniu $AB.$
• Punkty $D$ i $D'$ są punktami przecięcia okręgu ${\mathcal {C}}_{3}$ o środku w $C$ i promieniu $AC$ z okręgiem ${\mathcal {C}}_{1}.$
• Punkt $X$ (nieoznaczony) jest różnym od $A$ punktem przecięcia okręgów ${\mathcal {C}}_{4}$ o środkach $D$ i $D'$ i promieniu $AD.$

Twierdzenie

Skonstruowany wyżej punkt $X$ jest poszukiwanym środkiem okręgu ${\mathcal {C}}.$

Uwaga

Należy wykazać, że promień okręgu ${\mathcal {C}}_{1}$ nie jest ani za mały, ani za duży. Dokładniej: promień ten musi być nie krótszy niż połowa i nie dłuższy niż podwojony promień ${\mathcal {C}}.$

Dowód

Ideą dowodu jest skonstruowanie, samym cyrklem, długości ${\tfrac {b^{2}}{a}}$ przy danych długościach $a$ oraz $b.$

Na rysunku trójkąt $ABA'$ jest prostokątny, gdyż $B=90^{\circ },$ zaś odcinek $BH$ jest prostopadły do $AA'',$ a więc

${\frac {AH}{AB}}={\frac {AB}{AA'}},$

skąd

$AH={\tfrac {b^{2}}{2a}},$ czyli $AC={\tfrac {b^{2}}{a}}.$

Podobny zabieg wykonuje się w tej konstrukcji dwukrotnie:

• punkty $A,$ $B$ oraz $B'$ leżą na okręgu o środku $O$ i promieniu $r;$ dodatkowo $AB=AB'=BC=B'C=R,$ a więc $AC={\tfrac {R^{2}}{r}},$
• punkty $A,$ $D$ oraz $D'$ leżą na okręgu o środku $C$ i promieniu ${\tfrac {R^{2}}{r}};$ przy czym $DA=D'A=DX=D'X=R,$ stąd $AX={\tfrac {R^{2}}{R^{2}/r}}=r.$

Zatem $X$ jest środkiem okręgu ${\mathcal {C}}.$

Zobacz też

• twierdzenie Napoleona