Problem Napoleona

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Problem Napoleona – geometryczny problem konstrukcyjny. Dane są w nim okrąg i jego środek. Celem jest podzielenie okręgu na cztery równe łuki za pomocą wyłącznie cyrkla. Napoleon Bonaparte znany był jako matematyk-amator, lecz nie wiadomo czy zadał lub rozwiązał to zadanie. Wymóg rozwiązania problemu wyłącznie za pomocą cyrkla (bez użycia linijki) wprowadził włoski matematyk Lorenzo Mascheroni, przyjaciel Napoleona.

Znany jest też tzw. prawdziwy problem Napoleona, w którym za pomocą samego cyrkla należy wyznaczyć środek danego okręgu. W poniższym artykule opisane jest jego rozwiązanie wraz z dowodem.

Należy wspomnieć, iż Georg Mohr w 1672 roku wydał książkę Euclides Danicus zawierającą rozwiązanie tego zadania – wcześniej od Mascheroniego – lecz odkryto ją dopiero w 1928 roku.

Problem Napoleona[edytuj]

Podział okręgu na cztery równe łuki przy zadanym jego środku
Konstrukcja

Łuk o środku w dowolnym punkcie z okręgu zawierający punkt (środek ) przecina w punktach oraz . Podobnie łuk o środku w zawierający przecina w i . Należy zauważyć, że długości są równe długości promienia .

Łuk o środku w do którego należy i łuk o środku w do którego należy przecinają się w punkcie . Długości oraz wynoszą pomnożone przez długość promienia okręgu .

Łuk o środku w i promieniu równym (czyli pomnożone przez promień okręgu ) przecina w punktach oraz . Czworokąt jest kwadratem, a łuki okręgu są wszystkie równe czwartej części obwodu .

Prawdziwy problem Napoleona[edytuj]

Wyznaczenie środka danego okręgu

Konstrukcja[edytuj]

Konstrukcja

Niech będzie okręgiem, w którym szukany jest jego środek.

  • Punkt jest dowolnym punktem leżącym na .
  • Punkty i to punkty przecięcia okręgu o środku w z okręgiem .
  • Punkt jest punktem przecięcia różnym od dwóch okręgów o środkach w oraz i promieniu .
  • Punkty i są punktami przecięcia okręgu o środku w i promieniu z okręgiem .
  • Punkt (nieoznaczony) jest różnym od punktem przecięcia okręgów o środkach i i promieniu .

Twierdzenie[edytuj]

Skonstruowany wyżej punkt jest poszukiwanym środkiem okręgu .

Uwaga 
Należy wykazać, że promień okręgu nie jest ani za mały, ani za duży. Dokładniej: promień ten musi być nie krótszy niż połowa i nie dłuższy niż podwojony promień .

Dowód[edytuj]

PbNapoleon2.svg

Ideą dowodu jest skonstruowanie, samym cyrklem, długości przy danych długościach oraz .

Na rysunku trójkąt jest prostokątny, gdyż , zaś odcinek jest prostopadły do , a więc

,

skąd

, czyli .

Podobny zabieg wykonuje się w tej konstrukcji dwukrotnie:

  • punkty , oraz leżą na okręgu o środku i promieniu ; dodatkowo , a więc ,
  • punkty , oraz leżą na okręgu o środku i promieniu ; przy czym , stąd .

Zatem jest środkiem okręgu .

Zobacz też[edytuj]