Proces Lévy’ego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Proces Lévy'ego)
Skocz do: nawigacja, szukaj

Proces Lévy’egoproces stochastyczny na przestrzeni probabilistycznej o wartościach w przestrzeni euklidesowej , spełniający następujące warunki:

  1. , -prawie wszędzie,
  2. dla każdego ciągu zmienne losowe są niezależne,
  3. rozkład nie zależy od dla każdych ,
  4. proces jest ciągły według prawdopodobieństwa tzn. dla każdego i dla każdego
.

Proces stochastyczny spełniający powyższe warunki posiada modyfikację będącą prawostronnie ciągłym z lewostronnymi granicami (z ang. RCLL, z fr. càdlàg) procesem Lévy’ego.

Własności[edytuj]

Najważniejszą cechą procesów Lévy’ego, sprawiającą, że są intensywnie badane, jest ich strukturalna stabilność. Cecha ta polega na tym, że suma dowolnej liczby procesów Lévy’ego jest także procesem Lévy’ego, co pozwala spojrzeć na procesy Lévy’ego jak na uogólnienie procesów Gaussa. Jednocześnie procesy Lévy’ego w ogólności nie mają skończonej wariancji, czyli możliwe są dowolnie duże skoki wartości przy procentowym udziale takich skoków znacznie większym niż dla procesów Gaussa, gdzie wariancja jest skończona.

Wzór Lévy’ego[edytuj]

Rozkład procesu Lévy’ego w momencie , jest rozkładem nieskończenie podzielnym. Stąd istnieje eksponencjalne przedstawienie funkcji charakterystycznej procesu Lévy’ego w chwili t - tzw. wzór Lévy’ego-Chinczyna:

,

gdzie

przy czym

jest miarą na spełniającą warunek

a jest macierzą dodatnio określoną. Funkcję nazywa się wykładnikiem charakterystycznym procesu Lévy’ego. Trójkę nazywa się trójką charakterystyczną procesu. Zgodnie ze wzorem Lévy’ego-Chinczyna trójka charakterystyczna jednoznacznie określa proces.

Jeśli , to wykładnik charakterystyczny można zapisać w postaci

Rozkład Lévy’ego–Itō[edytuj]

Proces Lévy’ego można przedstawić jako sumę

,

gdzie jest wielowymiarym procesm Wienera z macierzą kowariancji , jest to złożony proces Poissona o skokach większych niż 1, przy czym rozkład i intensywność skoków opisuje miara . Proces to czysto skokowy martyngał.

Przykłady[edytuj]

Szczególnymi przypadkami procesu Lévy’ego są:

, przy czym .

Miara prawdopodobieństwa w punkcie : .

Proces Poissona jest rosnącym skokowym procesem. Ze skokami zawsze wielkości 1.

  • Proces gamma. Gęstości rozkładu gamma, z parametrami to: .

Funkcja charakterystyczna jest postaci: .

funkcja charakterystyczna to:
.
  • Proces Wienera. Jego funkcja charakterystyczna, przy , to:
, miara zbioru borelowskiego to:
.

Zobacz też[edytuj]