Proces Poissona

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Proces Poissona – nazwana na cześć francuskiego matematyka, Siméona Denisa Poissona, rodzina (będąca procesem stochastycznym - procesem Markowa) zdefiniowana w następujący sposób:

.

Gdzie ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie wykładniczym z jednakowym dla każdej ze zmiennych parametrem .

Zmienna oznacza czas pomiędzy (i-1)-szym a i-tym zdarzeniem (tradycyjnie nazywanym zgłoszeniem), a to liczba zgłoszeń, które wystąpiły do chwili t.

Równoważne definicje[edytuj]

Proces stochastyczny jest procesem Poissona o intensywności wtedy i tylko wtedy, gdy:

(i)

  1. ; W czasie startowym przyjmuje wartość zero.
  2. ma przyrosty niezależne.
  3. różnice między stanami mają rozkład Poissona o podanym parametrze.

(ii)

  1. .
  2. ma niezależne i stacjonarne przyrosty.
  3. .
  4. .

Niezależność przyrostów oznacza, że liczba zdarzeń w dwóch rozłącznych przedziałach czasowych są niezależnymi zmiennymi losowymi. Proces ten więc nie ma pamięci - wcześniejsze realizacje procesu nie wpływają na prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia w danym czasie.

Własności[edytuj]

Niech . Wtedy ma rozkład Erlanga z parametrami .

Proces Poissona może przebiegać w czasie dyskretnym lub ciągłym, ten drugi rodzaj jest jednym z najlepiej zbadanych przykładów procesu Lévy’ego.

Zobacz też[edytuj]