Proces Poissona

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Proces Poissona – nazwana na cześć francuskiego matematyka, Siméona Denisa Poissona, rodzina (będąca procesem stochastycznym - procesem Markowa) (N_t,\; t \geq 0) zdefiniowana w następujący sposób:

N_t = \begin{cases} 0, &X_1 > t\\ \sup\{n: X_1 + \dots + X_n \le t\}, &X_1 \le t\end{cases}.


Gdzie ciąg  (X_i\;)_{i = 1, 2, 3...} jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie wykładniczym z jednakowym dla każdej ze zmiennych parametrem \lambda.

Zmienna  X_i\; oznacza czas pomiędzy (i-1)-szym a i-tym zdarzeniem (tradycyjnie nazywanym zgłoszeniem), a N_t\; to liczba zgłoszeń, które wystąpiły do chwili t.

Równoważne definicje[edytuj | edytuj kod]

Proces stochastyczny jest procesem Poissona o intensywności \lambda wtedy i tylko wtedy gdy:

(i)

  1. N_0 = 0 \;; W czasie startowym przyjmuje wartość zero.
  2. (N_t,\; t\geq0) ma przyrosty niezależne.
  3. N_b - N_a \sim Poiss(\lambda(b-a)) \quad dla \quad b>a różnice między stanami mają rozkład Poissona o podanym parametrze.

(ii)

  1. N_0=0 \;.
  2. (N_t,\; t\geq0) ma niezależne i stacjonarne przyrosty.
  3. P(N_h =1) = \lambda h + o(h) \;.
  4. P(N_h \geq 2) = o(h).

Niezależność przyrostów oznacza, że liczba zdarzeń w dwóch rozłącznych przedziałach czasowych są niezależnymi zmiennymi losowymi. Proces ten więc nie ma pamięci - wcześniejsze realizacje procesu nie wpływają na prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia w danym czasie.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Niech S_{n} = \sum_{i=1}^{n} X_{i}. Wtedy S_{n} ma rozkład Erlanga z parametrami  k = n, \theta = 1/{\lambda}.

Proces Poissona może przebiegać w czasie dyskretnym lub ciągłym, ten drugi rodzaj jest jednym z najlepiej zbadanych przykładów procesu Léviego.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]