Proces stacjonarny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Dwie symulacje procesów, jeden (górny) stacjonarny, drugi niestacjonarny.

Proces stacjonarnyproces stochastyczny, w którym wszystkie momenty oraz momenty łączne są stałe.

Gdy wartość średnia, wariancja oraz funkcja autokorelacji zmieniają się wraz ze zmianą czasu, proces losowy {x(t)} nazywa się niestacjonarnym. W szczególnym przypadku, gdy wartość średnia oraz funkcja autokorelacji nie zależą od czasu t_1, proces losowy {x(t)} nazywa się słabo stacjonarny lub stacjonarny w szerszym zakresie. Średnia wartość słabo stacjonarnych procesów jest stała, a funkcja autokorelacji zależy tylko od przesunięcia \tau.

W matematyce proces stacjonarny (lub proces ściśle stacjonarny) – proces stochastyczny, dla którego rozkłady gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej X nie zmieniają się wraz z przesunięciem w czasie lub przestrzeni. W efekcie, parametry takie jak średnia i wariancja także nie ulegają zmianie wraz z przesunięciem w czasie lub przestrzeni.

Przykładem procesu stacjonarnego jest proces szumu białego. Procesem niestacjonarnym jest zaś proces jednokrotnego uderzenia w talerze perkusyjne, gdzie moc akustyczną kolizji zmniejsza się wraz z upływem czasu.

Dyskretny w czasie proces stacjonarny, gdzie przestrzeń zdarzeń jest także dyskretna (zmienna losowa może przyjmować jedną z N możliwych wartości) jest znany jako schemat Bernoulliego. Jeśli N=2, proces jest nazywany procesem Bernoulliego.

Słaba stacjonarność (stacjonarność w szerszym sensie)[edytuj | edytuj kod]

O słabszej formie stacjonarności często mówi się w przypadku problemów związanych z przetwarzaniem sygnałów. Słaba stacjonarność jest także znana jako stacjonarność w szerszym sensie lub stacjonarność rzędu dwa. Warunkiem stacjonarności w szerszym sensie procesu losowego jest tylko to, aby pierwszy i drugi moment nie zmieniał się w czasie.

Ciągły w czasie proces losowy x(t), który jest stacjonarny w szerszym sensie ma nałożone następujące ograniczenia na jego wartość średnią:

1. \mathbb{E}\{x(t)\} = m_x(t) = m_x(t + \tau) \,\, \forall \, \tau \in \mathbb{R}

i funkcję korelacji:

2. \mathbb{E}\{x(t_1)x(t_2)\} = R_x(t_1, t_2) = R_x(t_1 + \tau, t_2 + \tau) = R_x(t_1 - t_2, 0) \,\, \forall \, \tau \in \mathbb{R}

Pierwsza własność implikuje stałość wartości średniej m_x(t). Druga własność implikuje zależność wartości funkcji korelacji wyłącznie od różnicy pomiędzy t_1 i t_2 i jest funkcją tylko jednej zmiennej (przesunięcia). Czasami zamiast zapisu:

\,\!R_x(t_1 - t_2, 0)

upraszcza się notację i zapisuje następująco:

R_x(\tau), gdzie \tau = t_1 - t_2.