Produkt (teoria kategorii)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Produkt – w teorii kategorii pojęcie będące uogólnieniem konstrukcji produktu kartezjańskiego zbiorów, produktu grup, czy produktu przestrzeni topologicznych; jest to „najogólniejszy” obiekt mający morfizm w każdy z obiektów objętych tą konstrukcją (czynników). Konstrukcją dualną do produktu jest koprodukt.

Definicja[edytuj]

Obiekt nazywa się produktem obiektów oraz oznaczając go wtedy symbolem wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia następującą własność uniwersalną:

istnieją takie morfizmy nazywane rzutami kanonicznymi, że dla dowolnego obiektu i pary morfizmów istnieje jednoznacznie wyznaczony morfizm dla którego następujący diagram jest przemienny:
Własność uniwersalna produktu

Jednoznacznie wyznaczony morfizm nazywa się produktem morfizmów oraz i oznacza się go symbolem Powyższą definicję produktu dwóch obiektów można rozszerzyć biorąc dowolną rodzinę obiektów indeksowanych pewnym zbiorem Obiekt nazywa się produktem rodziny obiektów wtedy i tylko wtedy, gdy

istnieją takie morfizmy że dla dowolnego obiektu oraz rodziny morfizmów indeksowanej zbiorem istnieje jednoznacznie wyznaczony morfizm dla którego następujący diagram jest przemienny dla wszystkich
Własność uniwersalna produktu

Produkt oznacza się wtedy symbolem jeżeli to na oznaczenie produktu obiektów zwykle używa się oznaczenia a produkt morfizmów często oznacza się wtedy

Produkt można również zdefiniować wyłącznie za pomocą równań – oto przykład dla produktu dwóch obiektów:

  • istnienie zachodzi dzięki operacji
  • przemienność powyższych diagramów wynika z równości dla wszystkich oraz
  • jednoznaczność wynika z równości dla wszystkich

Produkt można także opisać za pomocą granicy: rodzinę obiektów można postrzegać jako diagram bez morfizmów; okazuje się, że traktując go jako funktor, mianowicie funktor ze zbioru rozpatrywanego jako kategoria dyskretna, to definicja produktu pokrywa się z definicją granicą, przy czym pełni rolę stożka, a rzuty są granicą (stożkiem granicznym).

Zamiast granicy można użyć własności uniwersalnej; dla porównania: w tym przypadku jest kategorią dyskretną z dwoma obiektami, a to po prostu kategoria produktowa przy czym funktor diagonalny przypisuje każdemu z obiektów parę uporządkowaną a każdemu morfizmowi parę – produkt w dany jest za pomocą morfizmu uniwersalnego z funktora w obiekt w – wspomniany morfizm uniwersalny składa się z obiektu należącego do kategorii i morfizmu zawierającego rzuty.

Przykłady[edytuj]

  • W kategorii Set produktem zbiorów i jest iloczyn kartezjański wraz z rzutami i
  • W kategorii Grp produktem jest iloczyn kartezjański grup wraz z rzutami.
  • W kategorii Top produkt jest iloczynem kartezjańskim przestrzeni z topologią produktową.
  • W posecie traktowanym jako kategoria, produktem elementów jest

Zobacz też[edytuj]