Produkt (teoria kategorii)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Produkt – w teorii kategorii pojęcie będące uogólnieniem konstrukcji produktu kartezjańskiego zbiorów, produktu grup, czy produktu przestrzeni topologicznych; jest to „najogólniejszy” obiekt mający morfizm w każdy z obiektów objętych tą konstrukcją (czynników). Konstrukcją dualną do produktu jest koprodukt.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Obiekt \scriptstyle X nazywa się produktem obiektów \scriptstyle X_1 oraz \scriptstyle X_2, oznaczając go wtedy symbolem \scriptstyle X_1 \times X_2, wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia następującą własność uniwersalną:

istnieją takie morfizmy \scriptstyle \pi_1\colon X \to X_1, \pi_2\colon X \to X_2 nazywane rzutami kanonicznymi, że dla dowolnego obiektu \scriptstyle Y i pary morfizmów \scriptstyle f_1\colon Y \to X_1, f_2\colon Y \to X_2 istnieje jednoznacznie wyznaczony morfizm \scriptstyle f\colon Y \to X, dla którego następujący diagram jest przemienny:
Własność uniwersalna produktu

Jednoznacznie wyznaczony morfizm \scriptstyle f nazywa się produktem morfizmów \scriptstyle f_1 oraz \scriptstyle f_2 i oznacza się go symbolem \scriptstyle \langle f_1, f_2 \rangle. Powyższą definicję produktu dwóch obiektów można rozszerzyć biorąc dowolną rodzinę obiektów indeksowanych pewnym zbiorem \scriptstyle I. Obiekt \scriptstyle X nazywa się produktem rodziny \scriptstyle \{X\}_i obiektów wtedy i tylko wtedy, gdy

istnieją takie morfizmy \scriptstyle \pi_i\colon X \to X_i, że dla dowolnego obiektu \scriptstyle Y oraz rodziny morfizmów \scriptstyle f_i\colon Y \to X_i indeksowanej zbiorem \scriptstyle I istnieje jednoznacznie wyznaczony morfizm \scriptstyle f\colon Y \to X, dla którego następujący diagram jest przemienny dla wszystkich \scriptstyle i \in I:
Własność uniwersalna produktu

Produkt oznacza się wtedy symbolem \scriptstyle \prod_{i \in I} X_i; jeżeli \scriptstyle I = \{1,\dots, n\}, to na oznaczenie produktu obiektów zwykle używa się oznaczenia \scriptstyle X_1 \times \cdots \times X_n, a produkt morfizmów często oznacza się wtedy \scriptstyle \langle f_1, \dots, f_n \rangle.

Produkt można również zdefiniować wyłącznie za pomocą równań – oto przykład dla produktu dwóch obiektów:

  • istnienie \scriptstyle f zachodzi dzięki operacji \scriptstyle \langle \cdot, \cdot \rang;
  • przemienność powyższych diagramów wynika z równości \scriptstyle \pi_i \circ \langle f_1, f_2 \rangle = f_i dla wszystkich \scriptstyle f_1, f_2 oraz \scriptstyle i = 1, 2;
  • jednoznaczność \scriptstyle f wynika z równości \scriptstyle \langle \pi_1 \circ f,\pi_2 \circ f \rangle = f dla wszystkich \scriptstyle f.

Produkt można także opisać za pomocą granicy: rodzinę obiektów można postrzegać jako diagram bez morfizmów; okazuje się, że traktując go jako funktor, mianowicie funktor ze zbioru \scriptstyle I rozpatrywanego jako kategoria dyskretna, to definicja produktu pokrywa się z definicją granicą, przy czym \scriptstyle \{f\}_i pełni rolę stożka, a rzuty są granicą (stożkiem granicznym).

Zamiast granicy można użyć własności uniwersalnej; dla porównania: w tym przypadku \scriptstyle J jest kategorią dyskretną z dwoma obiektami, a \scriptstyle C^J to po prostu kategoria produktowa \scriptstyle C \times C, przy czym funktor diagonalny \scriptstyle \Delta\colon C \to C \times C przypisuje każdemu z obiektów \scriptstyle X parę uporządkowaną \scriptstyle (X, X), a każdemu morfizmowi \scriptstyle f parę \scriptstyle (f, f) – produkt \scriptstyle X_1 \times X_2 w \scriptstyle C dany jest za pomocą morfizmu uniwersalnego z funktora \scriptstyle \Delta w obiekt \scriptstyle (X_1, X_2) w \scriptstyle C \times C – wspomniany morfizm uniwersalny składa się z obiektu \scriptstyle X należącego do kategorii \scriptstyle C i morfizmu \scriptstyle (X,X) \to (X_1, X_2) zawierającego rzuty.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • W kategorii Set produktem zbiorów \scriptstyle A i \scriptstyle B jest iloczyn kartezjański \scriptstyle A \times B wraz z rzutami \scriptstyle \pi_1((x,y)) = x i \pi_2((x,y)) = y.
  • W kategorii Grp produktem jest iloczyn kartezjański grup wraz z rzutami.
  • W kategorii Top produkt jest iloczynem kartezjańskim przestrzeni z topologią produktową.
  • W posecie \scriptstyle (P, \leqslant), traktowanym jako kategoria, produktem elementów \scriptstyle a, b jest \scriptstyle \inf \{a,b\}.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]