Przedłużenie analityczne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Rozszerzenie analityczne – metoda rozszerzająca dziedzinę danej funkcji analitycznej. Dzięki tej metodzie udaje się uzyskać więcej rozwiązań z funkcji, która np. w typowym rozwinięciu w szereg nieskończony jest rozbieżna lub nieciągła w zadanym początkowo otoczeniu.

Definicja[edytuj]

Dane są dwie funkcje analityczne określone na obszarach i :

Jeśli istnieje niepusty zbiór taki, że

  1. jest obszarem,
  2. dla każdego zachodzi równość ,

to można powiedzieć, że jest rozszerzeniem analitycznym i odwrotnie.

Zastosowanie[edytuj]

Popularnym sposobem na definiowanie funkcji w analizie zespolonej jest jej określenie na niewielkim obszarze a następnie jej poszerzenie przez zastosowanie przedłużenia analitycznego. W praktyce takie rozszerzenie jest wykonywane przez ustanowienie równania funkcyjnego na niewielkiej dziedzinie, które następnie jest zastosowane do rozszerzenia dziedziny. Przykładami mogą być funkcja dzeta Riemanna[1] i funkcja Γ[2].

Początkowo zostało wprowadzone pojęcie przestrzeni nakrywającej aby zdefiniować naturalną dziedzinę przedłużenia analitycznego funkcji analitycznej. Pomysł znalezienia największego przedłużenia analitycznego funkcji doprowadził z kolei do rozwoju idei powierzchni Riemanna.

Przykład[edytuj]

Szereg geometryczny[edytuj]

Rozważmy funkcję

W klasycznym ujęciu przedstawia ona sumę szeregu geometrycznego o ilorazie . Z warunku zbieżności szeregu geometrycznego wynika, że funkcja jest określona tylko dla wartości:

Z drugiej strony sumę zbieżnego szeregu geometrycznego o ilorazie z możemy zapisać jako

która jest określona dla wszystkich liczb zespolonych oprócz liczby 1:

Na obszarze obie funkcje są sobie równe, więc funkcję możemy traktować jako przedłużenie analityczne funkcji na obszar [3].

Wyniki uzyskiwane za pomocą funkcji teoretycznie umożliwiają obliczenie wartości szeregów rozbieżnych np:

W takich przypadkach problemem jest odpowiednia interpretacja wyników.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

Bibliografia[edytuj]

Linki zewnętrzne[edytuj]