Przedłużenie analityczne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Rozszerzenie analityczne – metoda rozszerzająca dziedzinę danej funkcji analitycznej. Dzięki tej metodzie udaje się uzyskać więcej rozwiązań z funkcji, która w np. w typowym rozwinięciu w szereg nieskończony jest rozbieżna lub nieciągła w zadanym początkowo otoczeniu.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Dane są dwie funkcje analityczne określone na obszarach D_1 i D_2:

f_1 \colon D_1 \to V_1
f_2 \colon D_2 \to V_2

Jeśli istnieje niepusty zbiór U=D_1 \cap D_2 taki, że

  1. U jest obszarem,
  2. dla każdego z\in U zachodzi równość f_1(z) = f_2(z),

to można powiedzieć, że f_2 jest rozszerzeniem analitycznym f_1 i odwrotnie.

Zastosowanie[edytuj | edytuj kod]

Popularnym sposobem na definiowanie funkcji w analizie zespolonej jest jej określenie na niewielkim obszarze a następnie jej poszerzeniu przez zastosowanie przedłużenia analitycznego. W praktyce takie rozszerzenie jest wykonywane przez ustanowienie równania funkcyjnego na niewielkiej dziedzinie, które następnie jest zastosowane do rozszerzenia dziedziny. Przykładami mogą być funkcja dzeta Riemanna[1] i funkcja Γ[2].

Początkowo zostało wprowadzone pojęcie przestrzeni nakrywającej aby zdefiniować naturalną dziedzinę przedłużenia analitycznego funkcji analitycznej. Pomysł znalezienia największego przedłużenia analitycznego funkcji doprowadził z kolei do rozwoju idei powierzchni Riemanna.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Szereg geometryczny[edytuj | edytuj kod]

Rozważmy funkcję

f_1(z) = 1 + z + z^2 + \cdots = \sum_{n=0}^\infty z^n

W klasycznym ujęciu przedstawia ona sumę szeregu geometrycznego o ilorazie z. Z warunku zbieżności szeregu geometrycznego wynika, że funkcja jest określona tylko dla wartości:

\mathrm{dom}(f_1)=D_1=\{ z\in\mathbb{C} \colon |z|<1\}

Z drugiej strony sumę zbieżnego szeregu geometrycznego o ilorazie z możemy zapisać jako

f_2(z) = \frac{1}{1-z}

która jest określona dla wszystkich liczb zespolonych z oprócz liczby 1:

\mathrm{dom}(f_2)=D_2=\mathbb{C}\setminus\{1\}

Na obszarze D_1 \cap D_2 = D_1 obie funckje są sobie równe, więc funkcję f_2 możemy traktować jako przedłużenie analityczne funkcji f_1 na obszar \mathbb{C} \setminus \{1\}[3].

Wyniki uzyskiwane za pomocą funkcji \scriptstyle f_2 teoretycznie umożliwiają obliczenie wartości szeregów rozbieżnych np:

1 - 1 + 1 - 1 + \ldots = f_1(-1) = f_2(-1) = \frac{1}{1-(-1)} = \frac{1}{2}
1 + 2 + 4 + 8 + \ldots = f_1(2) = f_2(2) = \frac{1}{1-2} = -1

W takich przypadkach problemem jest odpowiednia interpretacja wyników.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]