Przedłużenie analityczne
Rozszerzenie analityczne – metoda rozszerzająca dziedzinę danej funkcji analitycznej. Dzięki tej metodzie udaje się uzyskać więcej rozwiązań z funkcji, która np. w typowym rozwinięciu w szereg nieskończony jest rozbieżna lub nieciągła w zadanym początkowo otoczeniu.
Definicja
[edytuj | edytuj kod]Dane są dwie funkcje analityczne określone na obszarach i
Jeśli istnieje niepusty zbiór taki, że
- jest obszarem,
- dla każdego zachodzi równość
to można powiedzieć, że jest rozszerzeniem analitycznym i odwrotnie.
Zastosowanie
[edytuj | edytuj kod]Popularnym sposobem na definiowanie funkcji w analizie zespolonej jest jej określenie na niewielkim obszarze, a następnie jej poszerzenie przez zastosowanie przedłużenia analitycznego. W praktyce takie rozszerzenie jest wykonywane przez ustanowienie równania funkcyjnego na niewielkiej dziedzinie, które następnie jest zastosowane do rozszerzenia dziedziny. Przykładami mogą być funkcja dzeta Riemanna[1] i funkcja Γ[2].
Początkowo zostało wprowadzone pojęcie przestrzeni nakrywającej aby zdefiniować naturalną dziedzinę przedłużenia analitycznego funkcji analitycznej. Pomysł znalezienia największego przedłużenia analitycznego funkcji doprowadził z kolei do rozwoju idei powierzchni Riemanna.
Przykład
[edytuj | edytuj kod]Szereg geometryczny
[edytuj | edytuj kod]Rozważmy funkcję
W klasycznym ujęciu przedstawia ona sumę szeregu geometrycznego o ilorazie Z warunku zbieżności szeregu geometrycznego wynika, że funkcja jest określona tylko dla wartości:
Z drugiej strony sumę zbieżnego szeregu geometrycznego o ilorazie możemy zapisać jako
która jest określona dla wszystkich liczb zespolonych oprócz liczby 1:
Na obszarze obie funkcje są sobie równe, więc funkcję możemy traktować jako przedłużenie analityczne funkcji na obszar [3].
Wyniki uzyskiwane za pomocą funkcji teoretycznie umożliwiają obliczenie wartości szeregów rozbieżnych, np.:
W takich przypadkach problemem jest odpowiednia interpretacja wyników.
Zobacz też
[edytuj | edytuj kod]Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ Przedłużenie analityczne funkcji Zeta Riemanna na PlanetMath. (ang.).
- ↑ Przedłużenie analityczne funkcji Gamma na PlanetMath. (ang.).
- ↑ Wójcik 2010 ↓, s. 5.
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- Marcin Wójcik , Przedłużenie analityczne Powierzchnia Riemanna [online], Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej AGH, 25 stycznia 2010 [zarchiwizowane z adresu 2013-04-06] .
Linki zewnętrzne
[edytuj | edytuj kod]- Przedłużenie analityczne na PlanetMath. (ang.)
- Eric W. Weisstein , Analytic Continuation, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). (ang.)
Analytic continuation into a domain of a function given on part of the boundary (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].