Przedział (matematyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Zobacz też: inne znaczenia słowa „przedział”.

Przedziałzbiór elementów danego zbioru częściowo uporządkowanego, zawartych między dwoma ustalonymi elementami tego zbioru, nazywanymi początkiem i końcem przedziału.

Definicje formalne[edytuj]

Niech (X,\leqslant) będzie zbiorem częściowo uporządkowanym i niech x,y\in X oraz x \leqslant y.

Przedziałem wyznaczonym przez x,y jest jeden z następujących zbiorów:

  • (x,y):=\{z\in X: x < z < y\}przedział (obustronnie) otwarty,
  • [x,y):=\{z\in X: x \leqslant z < y\}przedział lewostronnie domknięty (prawostronnie otwarty),
  • [x,y]:=\{z\in X: x \leqslant z \leqslant y\}przedział (obustronnie) domknięty,
  • (x,y]:=\{z\in X: x < z \leqslant y\}przedział prawostronnie domknięty (lewostronnie otwartym).

Ponadto

  • (\infty,y):=\{z\in X: z < y\}przedział lewostronnie nieograniczony, prawostronnie otwarty,
  • (\infty,y]:=\{z\in X: z \leqslant y\}przedział lewostronnie nieograniczony, prawostronnie domknięty,
  • (x,\infty):=\{z\in X: x< z\}przedział prawostronnie nieograniczony, lewostronnie otwarty,
  • [x,\infty):=\{z\in X: x \leqslant z\}przedział prawostronnie nieograniczony, lewostronnie domknięty,

Jeśli w zbiorze uporządkowanym (X,\leqslant) istnieje element największy, to definicja przedziału prawostronnie nieograniczonego jest zbędna, jeśli istnieje element najmniejszy, to definicja przedziału lewostronnie nieograniczonego jest zbędna.

Dla kompletności należy dodać jeszcze definicję przedziału, którego nie można zbudować używając powyższych definicji[1].

  • (\infty,\infty):=\{z\in X \}= Xprzedział obustronnie nieograniczony czyli cały zbiór (X,\leqslant).

Niektórzy autorzy używają oznaczeń (x,y)_X, [x,y]_X itp. dla podkreślenia, że rozpatrywane są przedziały w danym porządku.

Często zamiast [x,y] stosuje się oznaczenie \langle x,y\rangle i analogicznie dla przedziałów jednostronnie domkniętych. Należy jednak zwrócić uwagę, że zarówno (x,y), jak i \langle x,y\rangle do oznaczenia przedziałów mogą być pomylone z podobnymi notacjami używanymi do oznaczenia par uporządkowanych.

Norma międzynarodowa ISO31-11 przewiduje zamiast oznaczeń  (x,y], [x,y), (x,y) dla przedziałów lewo- i prawo- lub obustronnie otwartych stosowanie następujących oznaczeń  ]x,y], [x,y[, ]x,y[

Stosowanie średnika lub przecinka wynika z zastosowanej konwencji dla separatora dziesiętnego.

Przykłady[edytuj]

  • Najczęściej spotykane przykłady przedziałów to przedziały w zbiorze liczb rzeczywistych:
    • (0,1) – zbiór wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych mniejszych niż 1,
    • [2,e) – zbiór liczb rzeczywistych większych lub równych 2, ale mniejszych niż e,
    • przedział nieskończony (\pi,\infty) złożony z wszystkich liczb większych niż \pi.
    • (0,0),\ (7,7], \ [2,2) – przedziały puste
    • [4,4] - przedział jednopunktowy {4}
  • Przedziały zależą od porządków, w których są rozważane: (-5,5)_{\mathbb Z} jest zbiorem skończonym (jest to \{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}), ale (-5,5)_{\mathbb Q} jest zbiorem nieskończonym (jest to zbiór wszystkich liczb wymiernych większych od -5 a mniejszych niż 5). Zwyczajowo, przedział (a,b] pomiędzy liczbami rzeczywistymi a,b\in \mathbb R oznacza przedzial w liczbach rzeczywistych, tzn. (a,b]_{\mathbb R}, podobnie dla innych przedziałów.
  • Rozważmy płaszczyznę \mathbb R^2 z porządkiem częściowym zdefiniowanym przez \langle x_1,y_1\rangle < \langle x_2,y_2\rangle \iff x_1\leqslant x_2 i y_1\leqslant y_2, gdzie relacja \leqslant jest naturalnym porządkiem na prostej \mathbb R. Wówczas przedział domknięty \big[\langle 0,0\rangle,\langle1,1\rangle\big]_{{\mathbb R}^2} jest domkniętem kwadratem o wierzchołkach w \langle 0,0\rangle,\langle0,1\rangle,\langle 1,0\rangle,\langle1,1\rangle, tzn. zbiorem \left\{\langle x,y\rangle\in {\mathbb R}^2: 0\leqslant x \leqslant 1\ \and\ 0\leqslant y\leqslant 1\right\}.

Własności[edytuj]

Wprawdzie definicja przedziału jest poprawna dla dowolnego porządku częściowego, to jednak w praktyce matematycznej przedziały najczęściej rozpatruje się w porządkach liniowych.

Niech (X, \leqslant) będzie porządkiem liniowym.

  • Część wspólna dwóch przedziałów jest przedziałem.
  • Dopełnienie przedziału jest albo przedziałem albo sumą dwóch przedziałów.
  • Suma dwóch przedziałów o niepustej części wspólnej jest przedziałem.
  • Otwarte przedziały w X tworzą bazę pewnej topologii na X – ta topologia nazywana jest topologią przedziałową na X albo topologią porządkową na X.
  • Topologia porządkowa na zbiorze liczb rzeczywistych jest naturalną topologią na \mathbb R. Bazę tej topologii tworzą przedziały otwarte o końcach wymiernych.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. chodzi o możliwość nazwania przedziałem sumy dwóch przedziałów dającej całą przestrzeń X