Przedział (matematyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Zobacz też: inne znaczenia słowa „przedział”.

Przedziałzbiór elementów danego zbioru częściowo uporządkowanego, zawartych między dwoma ustalonymi elementami tego zbioru, nazywanymi początkiem i końcem przedziału.

Definicje formalne[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie zbiorem częściowo uporządkowanym i niech oraz

Przedziałem wyznaczonym przez jest jeden z następujących zbiorów:

  • przedział (obustronnie) otwarty,
  • przedział lewostronnie domknięty (prawostronnie otwarty),
  • przedział (obustronnie) domknięty,
  • przedział prawostronnie domknięty (lewostronnie otwarty).

Ponadto

  • przedział lewostronnie nieograniczony, prawostronnie otwarty,
  • przedział lewostronnie nieograniczony, prawostronnie domknięty,
  • przedział prawostronnie nieograniczony, lewostronnie otwarty,
  • przedział prawostronnie nieograniczony, lewostronnie domknięty.

Jeśli w zbiorze uporządkowanym istnieje element największy, to definicja przedziału prawostronnie nieograniczonego jest zbędna; jeśli istnieje element najmniejszy, to definicja przedziału lewostronnie nieograniczonego jest zbędna.

Dla pełności należy dodać jeszcze następujące dwie definicje:

  • przedział obustronnie nieograniczony, czyli cały zbiór
  • przedział pusty, czyli przedział niezawierający żadnego elementu; takim przedziałem są np.

Oznaczenia[edytuj | edytuj kod]

Niektórzy autorzy używają oznaczeń itp. dla podkreślenia, że rozpatrywane są przedziały w danym porządku.

Często zamiast stosuje się oznaczenie i analogicznie dla przedziałów jednostronnie domkniętych. Należy jednak zwrócić uwagę, że zarówno jak i do oznaczenia przedziałów mogą być pomylone z podobnymi notacjami używanymi do oznaczenia par uporządkowanych.

Norma międzynarodowa ISO31-11 przewiduje zamiast oznaczeń dla przedziałów lewo- i prawo- lub obustronnie otwartych stosowanie następujących oznaczeń

Stosowanie średnika lub przecinka wynika z zastosowanej konwencji dla separatora dziesiętnego.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Najczęściej spotykane przykłady przedziałów to przedziały w zbiorze liczb rzeczywistych:
    • – zbiór wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych mniejszych niż
    • – zbiór liczb rzeczywistych większych lub równych ale mniejszych niż
    • przedział nieskończony złożony z wszystkich liczb większych niż
    • – przedziały puste,
    • – przedział jednopunktowy
  • Przedziały zależą od porządków, w których są rozważane: jest zbiorem skończonym (jest to ), ale jest zbiorem nieskończonym (jest to zbiór wszystkich liczb wymiernych większych od –5 a mniejszych niż 5). Zwyczajowo, przedział pomiędzy liczbami rzeczywistymi oznacza przedzial w liczbach rzeczywistych, tzn. podobnie dla innych przedziałów.
  • Rozważmy płaszczyznę z porządkiem częściowym zdefiniowanym przez i gdzie relacja jest naturalnym porządkiem na prostej Wówczas przedział domknięty jest domkniętym kwadratem o wierzchołkach w tzn. zbiorem

Własności[edytuj | edytuj kod]

Wprawdzie definicja przedziału jest poprawna dla dowolnego porządku częściowego, to jednak w praktyce matematycznej przedziały najczęściej rozpatruje się w porządkach liniowych.

Niech będzie porządkiem liniowym.

  • Część wspólna dwóch przedziałów jest przedziałem.
  • Dopełnienie przedziału jest albo przedziałem, albo sumą dwóch przedziałów.
  • Suma dwóch przedziałów o niepustej części wspólnej jest przedziałem.
  • Otwarte przedziały w tworzą bazę pewnej topologii na – ta topologia nazywana jest topologią przedziałową na albo topologią porządkową na .
  • Topologia porządkowa na zbiorze liczb rzeczywistych jest naturalną topologią na Bazę tej topologii tworzą przedziały otwarte o końcach wymiernych.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]