Przedział (matematyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przykładowe przedziały liczbowe – spójne podzbiory osi rzeczywistej; kolejno przedział otwarty, domknięty i dwa półotwarte; wszystkie cztery są ograniczone.
Prosta, półprosta i odcinek – jednowymiarowe figury geometryczne odpowiadające niektórym rodzajom przedziałów liczbowych
Całkę Riemanna definiuje się przez podział dziedziny funkcji na przedziały.

Przedział – typ podzbioru w zbiorze częściowo uporządkowanym, zdefiniowany odpowiednimi nierównościami; elementy przedziału są zawarte między dwoma ustalonymi elementami, nazywanymi początkiem i końcem przedziału. Podstawowe przykłady to przedziały liczbowe – podzbiory liczb rzeczywistych wyposażonych w standardowy porządek[1]. Wyróżnia się różne typy przedziałów – ograniczone lub nie, a także otwarte, domknięte lub otwarte jednostronnie, zwane też jednostronnie domkniętymi, półotwartymi lub półdomkniętymi[potrzebny przypis].

Niektóre przedziały liczbowe można utożsamiać z podstawowymi, jednowymiarowymi figurami geometrycznymi:

  • zbiór wszystkich liczb rzeczywistych to prosta;
  • przedziały nieograniczone domknięte (jednostronnie) to półproste;
  • przedziały ograniczone domknięte (obustronnie) to odcinki.

Definicje formalne[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie zbiorem częściowo uporządkowanym i niech oraz

Przedziałem wyznaczonym przez jest jeden z następujących zbiorów:

  • przedział (obustronnie) otwarty,
  • przedział lewostronnie domknięty (prawostronnie otwarty),
  • przedział (obustronnie) domknięty,
  • przedział prawostronnie domknięty (lewostronnie otwarty).

Ponadto

  • przedział lewostronnie nieograniczony, prawostronnie otwarty,
  • przedział lewostronnie nieograniczony, prawostronnie domknięty,
  • przedział prawostronnie nieograniczony, lewostronnie otwarty,
  • przedział prawostronnie nieograniczony, lewostronnie domknięty.

Jeśli w zbiorze uporządkowanym istnieje element największy, to definicja przedziału prawostronnie nieograniczonego jest zbędna; jeśli istnieje element najmniejszy, to definicja przedziału lewostronnie nieograniczonego jest zbędna.

Dla pełności należy dodać jeszcze następujące dwie definicje:

  • przedział obustronnie nieograniczony, czyli cały zbiór
  • przedział pusty, czyli przedział niezawierający żadnego elementu; takim przedziałem są np.

Oznaczenia[edytuj | edytuj kod]

Niektórzy autorzy używają oznaczeń itp. dla podkreślenia, że rozpatrywane są przedziały w danym porządku.

Często zamiast stosuje się oznaczenie i analogicznie dla przedziałów jednostronnie domkniętych. Należy jednak zwrócić uwagę, że zarówno jak i do oznaczenia przedziałów mogą być pomylone z podobnymi notacjami używanymi do oznaczenia par uporządkowanych.

Norma międzynarodowa ISO31-11 przewiduje zamiast oznaczeń dla przedziałów lewo- i prawo- lub obustronnie otwartych stosowanie następujących oznaczeń

Stosowanie średnika lub przecinka wynika z zastosowanej konwencji dla separatora dziesiętnego.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Przedziały liczbowe:
    • – zbiór wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych mniejszych niż
    • – zbiór liczb rzeczywistych większych lub równych ale mniejszych niż
    • przedział nieskończony złożony z wszystkich liczb większych niż
    • – przedziały puste,
    • – przedział jednopunktowy
  • Przedziały zależą od porządków, w których są rozważane: jest zbiorem skończonym (jest to ), ale jest zbiorem nieskończonym (jest to zbiór wszystkich liczb wymiernych większych od –5 a mniejszych niż 5). Zwyczajowo, przedział pomiędzy liczbami rzeczywistymi oznacza przedzial w liczbach rzeczywistych, tzn. podobnie dla innych przedziałów.
  • Rozważmy płaszczyznę z porządkiem częściowym zdefiniowanym przez i gdzie relacja jest naturalnym porządkiem na prostej Wówczas przedział domknięty jest domkniętym kwadratem o wierzchołkach w tzn. zbiorem

Własności[edytuj | edytuj kod]

Suma mnogościowa dwóch przedziałów może nie być przedziałem.
Suma mnogościowa dwóch przedziałów może również być przedziałem; warunkiem wystarczającym na to jest, by miały niepusty przekrój. Nie jest to jednak warunek konieczny – przedziały liczb nieujemnych oraz ujemnych są rozłączne, jednak ich suma mnogościowa – cała oś rzeczywista – jest przedziałem.
Przekrój (przecięcie) dwóch przedziałów zawsze jest przedziałem. Innymi słowy zbiór wszystkich przedziałów liczbowych z działaniem przekroju tworzy monoid, gdzie elementem neutralnym jest cała oś rzeczywista[potrzebny przypis]. Ten typ monoidów – gdzie każdy element jest idempotentny – zalicza się do pasów.

Wprawdzie definicja przedziału jest poprawna dla dowolnego porządku częściowego, to jednak w praktyce matematycznej przedziały najczęściej rozpatruje się w porządkach liniowych.

Niech będzie porządkiem liniowym.

  • Część wspólna dwóch przedziałów jest przedziałem.
  • Dopełnienie przedziału jest albo przedziałem, albo sumą dwóch przedziałów.
  • Suma dwóch przedziałów o niepustej części wspólnej jest przedziałem.
  • Otwarte przedziały w tworzą bazę pewnej topologii na – ta topologia nazywana jest topologią przedziałową na albo topologią porządkową na .
  • Topologia porządkowa na zbiorze liczb rzeczywistych jest naturalną topologią na Bazę tej topologii tworzą przedziały otwarte o końcach wymiernych.

Każdy przedział liczbowy otwarty jest jednocześnie zbiorem otwartym w sensie topologii; podobnie przedziały domknięte należą do zbiorów domkniętych. Zbiór pusty oraz cała oś rzeczywista można zaliczyć do przedziałów otwartych lub półotwartych i są one zbiorami zbiorami otwarto-domkniętymi. Inne przedziały półotwarte nie są ani zbiorami otwartymi, ani domkniętymi[potrzebny przypis]. Przedziały liczbowe są tym samym, co zbiory spójne na osi rzeczywistej.

Rola[edytuj | edytuj kod]

Przedziały są używane w różnych działach matematyki i innych naukach:

Za pomocą przedziałów liczbowych i iloczynu kartezjańskiego można zdefiniować prostokąt, prostopadłościan i ich uogólnienia zwane przedziałami wielowymiarowymi. W topologii rozważa się też ich odpowiedniki oparte na nieskończonych iloczynach kartezjańskich, znane jako kostki Tichonowa. Inne odpowiedniki przedziałów w wyższych wymiarach to koła i kule – te ostatnie definiuje się w dowolnych przestrzeniach metrycznych.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. przedział liczbowy, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2023-08-19].

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

  • Eric W. Weisstein, Interval, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-08-19].
  • publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Interval and segment (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2023-08-19].