Przekształcenie geometryczne

Przekształcenie geometryczne, odwzorowanie geometryczne – funkcja przekształcająca jeden zbiór punktów w drugi zbiór punktów. Punkty te należą do przestrzeni geometrycznej jak te euklidesowe, rzutowe itp., a zbiory tych punktów są nazywane figurami geometrycznymi.

Przekształcenia geometryczne występują między innymi w geometrii elementarnej – mogą być określone na najprostszych przestrzeniach euklidesowych jak euklidesowa płaszczyzna lub przestrzeń trójwymiarowa. Wtedy ich zbiorami argumentów są odpowiednio figury płaskie i bryły, a obrazami tych zbiorów – także figury tego typu.

Szczególnie istotne przekształcenia geometryczne to te niezdegenerowane, czyli różnowartościowe, a wśród nich – wzajemnie jednoznaczne. Te ostatnie są też znane jako bijekcje lub funkcje odwracalne. Bijekcje przestrzeni w nią samą mogą należeć do grup przekształceń. Inne kluczowe pojęcie związane z przekształceniami geometrycznymi – nie tylko odwracalnymi – to punkt stały; pojawia się między innymi w niektórych definicjach.

Przykłady

Płaskie (planimetryczne)

• Niech dane będą okrąg $O=o(S,r)$ i styczna z nim w punkcie $p_{1}$ prosta $L$ oraz punkt $q$ będący końcem średnicy wychodzącej z punktu $p_{1}.$ Odwzorowanie $F\colon L\to O$ przekształcające dowolny punkt $p\in L$ w różny od $q$ punkt $F(p)\in O$ wyznaczony przez przecięcie odcinka ${\overline {pq}}$ z okręgiem jest różnowartościowe, ale nie jest „na”. Punktem stałym $F$ jest punkt $p_{1}.$ Punkt $q$ nie jest obrazem żadnego punktu prostej $L.$
• Rzut równoległy płaszczyzny na prostą – nie jest różnowartościowy.

Do najważniejszych przekształceń geometrycznych wzajemnie jednoznacznych płaszczyzny można zaliczyć:

• przesunięcie równoległe,
• symetria środkowa,
• obrót dokoła punktu,
• symetria osiowa,
• jednokładność,
• powinowactwo osiowe,
• przekształcenie liniowe,
• przekształcenie afiniczne.

Trójwymiarowe (stereometryczne)

Przykłady bijekcji przestrzeni trójwymiarowej:

• obrót dokoła prostej;
• podobieństwo spiralne;
• powinowactwo płaszczyznowe;
• ruch śrubowy;
• symetria płaszczyznowa.