Przestrzeń Aleksandrowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Przestrzeń Aleksandrowaprzestrzeń topologiczna, dla której część wspólna dowolnej rodziny jej podzbiorów otwartych jest zbiorem otwartym. Przestrzenie Aleksandrowa zostały zdefiniowane przez Pawła Aleksandrowa w roku 1937 pod nazwą „przestrzenie dyskretne”[1].

Charakteryzacja[edytuj]

Jeżeli jest przestrzenią topologiczną, to następujące warunki są równoważne:

  1. jest przestrzenią Aleksandrowa,
  2. Suma dowolnej rodziny zbiorów domkniętych w jest zbiorem domkniętym,
  3. Dla każdego punktu istnieje najmniejsze (w sensie inkluzji) jego otoczenie otwarte,
  4. Filtr otoczeń otwartych dowolnego punktu jest domknięty na dowolne przekroje,
  5. Operacja wnętrza na jest rozdzielna względem dowolnych przekrojów,
  6. Operacja domknięcia na jest rozdzielna względem dowolnych sum mnogościowych,
  7. Istnieje taki praporządek na , że zbiór jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy implikuje dla każdych .
  8. Istnieje taki praporządek na , że zbiór jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy implikuje dla każdych .
  9. Istnieje taki praporządek na , że zbiór jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy implikuje dla każdych .

Przykłady[edytuj]

.

Własności[edytuj]

Przypisy

  1. Pawieł Aleksandrow, Diskrete Räume, Mat. Sb. (N.S.) 2 (1937), s. 501–518.

Bibliografia[edytuj]

  • Peter T. Johnstone, Stone spaces, Cambridge University Press (1982)