Przestrzeń Baire'a

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Przestrzeń Baire'a – termin w topologii i teorii mnogości, który jest używany w dwóch znaczeniach. Może on odnosić się do pewnej własności przestrzeni topologicznych, ale jest to też nazwa szczególnego przykładu takiej przestrzeni.

W obydwu przypadkach, ta nazwa została wprowadzona dla uhonorowania francuskiego matematyka René-Louisa Baire'a.

Własność przestrzeni topologicznych[edytuj]

Definicja[edytuj]

Niech będzie przestrzenią topologiczną. Powiemy, że jest przestrzenią Baire'a jeśli część wspólna każdej przeliczalnej rodziny otwartych gęstych podzbiorów jest gęstym podzbiorem .

Niektórzy autorzy używają zwrotu ma własność Baire'a (zamiast " jest przestrzenią Baire'a"). Należy jednak zwrócić uwagę, że podobna terminologia jest używana dla określenia własności Baire'a podzbiorów przestrzeni.

Przykłady[edytuj]

  • Prosta rzeczywista i ogólniej każda z przestrzeni euklidesowych jest przestrzenią Baire'a.
  • Każda przestrzeń dyskretna jest przestrzenią Baire'a.
  • Każda przestrzeń polska i ogólniej każda przestrzeń zupełna jest przestrzenią Baire'a.
  • Każda lokalnie zwarta przestrzeń T2 jest przestrzenią Baire'a.
  • Przestrzenie zupełne w sensie Čecha są przestrzeniami Baire'a.
  • Przestrzeń z metryką euklidesową jest przestrzenią Baire'a (bo dla dowolny jej pozbioru domkniętego brzegowego zbiór jest domknięty brzegowy w , która jest przestrzenią Baire'a), ale nie jest zupełna w sensie Čecha (bo jej domkniętym podzbiorem jest , która nie jest metryzowalna w sposób zupełny).

Własności[edytuj]

Niech będzie przestrzenią topologiczną. Wówczas następujące warunki są równoważne:

  • jest przestrzenią Baire'a,
  • żaden otwarty niepusty podzbiór nie jest pierwszej kategorii,
  • wnętrze sumy przeliczalnie wielu zbiorów nigdziegęstych jest puste,
  • dla każdych domkniętych zbiorów , jeśli , to dla pewnego .

Szczególna przestrzeń topologiczna[edytuj]

Definicja[edytuj]

Nazwa przestrzeń Baire'a jest też używana dla określenia przestrzeni wszystkich ciągów nieskończonych o wyrazach w liczbach naturalnych. Niech będzie zbiorem wszystkich ciągów liczb naturalnych, czyli zbiorem wszystkich funkcji z w . Zbiór ten może być traktowany jako produkt przeliczalnie wielu kopii zbioru . Jeśli na zbiorze liczb naturalnych wprowadzimy topologię przestrzeni dyskretnej, to wtedy na zbiorze możemy wprowadzić topologię produktową . Przestrzeń topologiczna jest nazywana przestrzenią Baire'a.

W teorii mnogości, przestrzeń Baire'a jest często oznaczana przez (jako że zbiór liczb naturalnych jest tam oznaczany przez ). W opisowej teorii mnogości zwyczajowo przestrzeń Baire'a jest oznaczana przez . To ostatnie oznaczenie będzie używane poniżej.

Własności i zastosowanie[edytuj]

  • Przestrzeń Baire'a jest przestrzenią polską. Odpowiednia metryka może być zdefiniowana następująco. Dla różnych kładziemy . Definiujemy

jeśli oraz w przeciwnym wypadku.

Łatwo można sprawdzić że jest metryką zupełną na zbiorze generującą topologię .
  • jest homeomorficzne z . I ogólniej, produkt przeliczalnie wielu kopii przestrzeni jest homeomorficzny z .
  • Przestrzeń jest homeomorficzna z przestrzenią liczb niewymiernych (wyposażonych w topologię podprzestrzeni ).
  • Przestrzeń jest jedną z przestrzeni standardowo używaną w opisowej teorii mnogości, m.in. przy definiowaniu hierarchii zbiorów rzutowych.
  • W dodatku do struktury topologicznej, ma naturalną strukturę praporządku. Określmy relację na przez

wtedy i tylko wtedy gdy

Wówczas jest praporządkiem (ale nie porządkiem częściowym). Szereg współczynników kardynalnych studiowanych w teorii mnogości związanych z tym praporządkiem ma też znaczenie dla struktury topologicznej . Np liczba dominująca występująca w diagramie Cichonia jest minimalną liczbą zwartych podzbiorów potrzebnych do pokrycia całej przestrzeni.

Zobacz też[edytuj]