Przestrzeń Banacha

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Przestrzeń Banachaprzestrzeń unormowana (z normą || · || ), w której metryka wyznaczona przez normę, tj. metryka dana wzorem

jest zupełna. Zupełność metryki oznacza, że każdy ciąg Cauchy’ego elementów przestrzeni jest zbieżny (do pewnego elementu przestrzeni ).

Idea przestrzeni unormowanej zupełnej przewijała się wielokrotnie w pracach takich matematyków jak Erik Ivar Fredholm, David Hilbert, Frigyes Riesz i innych. Badając równania różniczkowe i całkowe, stykali się oni z konkretnymi przestrzeniami funkcyjnymi jak np. przestrzeń funkcji ciągłych czy funkcji całkowalnych w -tej potędze dla Norbert Wiener i Stefan Banach[1] zdefiniowali to pojęcie niezależnie od siebie. Określenia przestrzenie Banacha (fr. les espaces de S. Banach) jako pierwszy użył Maurice Fréchet[2], honorując w ten sposób polskiego matematyka za wkład w badanie tego rodzaju przestrzeni. Sam Banach nazywał je w swoich pracach przestrzeniami typu B. Pojęcie przestrzeni Banacha stało się fundamentalne dla rozwoju ówczesnej analizy funkcjonalnej i matematyki w ogóle.

Przestrzenie Banacha zaliczają się do klasy przestrzeni liniowo-topologicznych. W szczególności, każda przestrzeń Banacha jest przestrzenią Frécheta. Z ogólnego faktu teorii przestrzeni metrycznych wynika, że podprzestrzeń liniowa przestrzeni Banacha sama jest przestrzenią Banacha wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona domknięta.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

W dalszym ciągu symbol oznaczać będzie ciało liczb rzeczywistych bądź zespolonych.

Ciała liczbowe i przestrzenie skończenie wymiarowe[edytuj | edytuj kod]

Ciało traktowane jako przestrzeń liniowa nad samym sobą, jest jednowymiarową przestrzenią Banacha z normą wartości bezwzględnej (modułu). Jest to jeden z podstawowych faktów klasycznej analizy matematycznej. W przestrzeni unormowanej skończenie wymiarowej wszystkie normy są równoważne oraz każda norma jest zupełna. Dokładniej, w każdej przestrzeni skończenie wymiarowej istnieje dokładnie jedna liniowa topologia, która jest normowalna. W przestrzeniach współrzędnych najczęściej używa się normy euklidesowej, będącej uogólnieniem wartości bezwzględnej. Dla elementów postaci

norma ta dana jest wzorem

Gdy rozważana przestrzeń współrzędnych jest rzeczywista, to w powyższym wzorze można opuścić symbole wartości bezwzględnej. Inną (równoważną jej) normą jest np. tzw. norma maksimum, dana wzorem

Wśród przestrzeni Banacha przestrzenie skończenie wymiarowe wyróżniają następujące własności (niezachodzące w przestrzeniach nieskończenie wymiarowych):

  • Każdy funkcjonał liniowy, a nawet ogólniej każde przekształcenie liniowe w przestrzeń unormowaną, przestrzeni skończenie wymiarowej jest ciągłe.
  • Domknięta kula jednostkowa oraz ogólniej dowolny domknięty i ograniczony podzbiór przestrzeni skończenie wymiarowej jest zbiorem zwartym.

Przestrzenie funkcji ciągłych i przestrzenie funkcji ograniczonych[edytuj | edytuj kod]

Przestrzeń wszystkich skalarnych funkcji ciągłych określonych na zwartej (niekoniecznie metryzowalnej) przestrzeni Hausdorffa z działaniami określonymi punktowo, jest przestrzenią Banacha z normą daną wzorem

Ważnymi przykładami takich przestrzeni są (przestrzeń funkcji ciągłych na odcinku jednostkowym) czy (przestrzeń funkcji ciągłych na liczbie porządkowej z topologią porządkową).

Powyższą konstrukcję można uogólnić. Niech będzie przestrzenią Banacha. Wówczas przestrzeń wszystkich funkcji ciągłych z normą

jest przestrzenią Banacha.

Przestrzenie i [edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: przestrzeń c0.

Przestrzeń zwartą powyżej można zastąpić dowolnym zbiorem wymagając dodatkowo, by rozważane funkcje były ograniczone (nie zakłada się ciągłości), gdyż zbiór nie ma wybranej żadnej topologii. Tak zdefiniowaną przestrzeń ograniczonych funkcji oznacza się symbolem Jest to również przestrzeń Banacha. Gdy jest ciałem skalarów, to oznacza się tę przestrzeń krótko przez bądź nawet gdy jest zbiorem liczb naturalnych.

Przestrzeń jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią funkcji ciągłych na tj. na uzwarceniu Čecha-Stone’a zbioru liczb naturalnych z topologią dyskretną.

Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony zatem podprzestrzenie i ciągów liczbowych, odpowiednio, zbieżnych i zbieżnych do zera są podprzestrzeniami przestrzeni Podprzestrzenie te są domknięte, a więc są również przestrzeniami Banacha. Nie każda podprzestrzeń przestrzeni jest jednak domknięta:

Przestrzeń [edytuj | edytuj kod]

Niech

tzn. jest takim ciągiem, który na -tym miejscu ma jedynkę, a wszystkie inne jego wyrazy są zerowe, to symbolem oznacza się zbiór wszystkich skończonych kombinacji liniowych ciągów Innymi słowy elementami przestrzeni są wszystkie ciągi liczbowe, których tylko skończona liczba wyrazów jest różna od zera. Przestrzeń jest podprzestrzenią liniową przestrzeni ponieważ suma dwóch ciągów o skończenie wielu wyrazach niezerowych ma nadal skończenie wiele wyrazów niezerowych. Ciąg

jest ciągiem Cauchy’ego punktów (ciągów) z przestrzeni który jest zbieżny w przestrzeni do ciągu

a zatem przestrzeń nie jest przestrzenią Banacha.

Przestrzenie przestrzenie Lorentza[edytuj | edytuj kod]

Dla ustalonego oraz dowolnej przestrzeni z miarą ( ) przestrzeń funkcji całkowalnych w -tej potędze na jest przestrzenią Banacha. Szczególną klasą przestrzeni tego typu są przestrzenie ciągów sumowalnych w -tej potędze na zbiorze Ogólniej, przestrzenie Lorentza i przestrzenie Orlicza są przestrzeniami Banacha.

Operatory liniowe ograniczone[edytuj | edytuj kod]

Przestrzeń liniowa wszystkich odwzorowań (inaczej operatorów) liniowych i ciągłych przestrzeni Banacha w przestrzeń Banacha z normą

jest przestrzenią Banacha. Gdy to norma operatorowa wyraża się wzorem

Przestrzeń z mnożeniem przekształceń zdefiniowanym jako zwykłe złożenie funkcji jest algebrą Banacha z jedynką. W algebrze tej można wyróżnić następujące ideały:

oraz wiele innych. Wszystkie wymienione wyżej ideały, poza ideałem operatorów skończonego rzędu oraz ideałem operatorów Hilberta-Schmidta, są domknięte. Do klas operatorów ograniczonych w przestrzeniach Banacha, które nie tworzą ideału zaliczają się

Przestrzeń sprzężona. Przestrzenie refleksywne[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli jest przestrzenią unormowaną nad ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych, to z twierdzenia Banacha-Steinhausa wynika, że przestrzeń wszystkich funkcjonałów liniowych i ciągłych na jest przestrzenią Banacha. Przestrzeń tę oznacza się symbolem (czasem również ) i nazywa przestrzenią sprzężoną do Pojęcie przestrzeni sprzężonej pozwala na zdefiniowanie tzw. słabej topologii w oznaczanej symbolem tj. najsłabszej topologii względem której elementy przestrzeni są ciągłe.

Przestrzeń można w naturalny sposób utożsamić z podprzestrzenią przestrzeni (przestrzeni sprzężonej do sprzężonej), przyporządkowując każdemu elementowi przestrzeni funkcjonał dany wzorem

Dla każdego tak określony funkcjonał jest elementem przestrzeni oraz odwzorowanie jest izometrią. Gdy odwzorowanie jest „na”, tj. to przestrzeń nazywa się przestrzenią refleksywną. Ponieważ jest automatycznie przestrzenią Banacha, więc każda przestrzeń refleksywna – również, jako przestrzeń liniowo izometryczna z przestrzenią Banacha.

Szeregi i bazy w przestrzeniach Banacha[edytuj | edytuj kod]

Przestrzenie Banacha można scharakteryzować poprzez zbieżność szeregów elementów przestrzeni. Mianowicie, przestrzeń unormowana jest przestrzenią Banacha wtedy i tylko wtedy, gdy każdy szereg elementów tej przestrzeni normowo zbieżny jest zbieżny w tej przestrzeni. W przestrzeniach Banacha mogą istnieć szeregi zbieżne, które nie są normowo zbieżne – nazywa się, tak jak w przypadku szeregów liczbowych – szeregami warunkowo zbieżnymi. Zbiór liczb rzeczywistych (z normą „wartość bezwzględna”) jest przestrzenią Banacha, więc przykładem szeregu warunkowo zbieżnego jest szereg anharmoniczny, tzn.

podczas gdy szereg

jest rozbieżny.

Baza przestrzeni Banacha[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie nieskończenie wymiarową przestrzenią Banacha. Ciąg elementów tej przestrzeni nazywamy bazą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego elementu istnieje taki ciąg skalarów że

Jeśli istnieje baza przestrzeni to jest ona złożona z takich niezerowych wektorów liniowo niezależnych, że domknięcie podprzestrzeni przez nie generowanej jest całą przestrzenią, tzn.

Wynika stąd, że jeśli przestrzeń ma bazę, to jest ona ośrodkowa, ponieważ każdy współczynnik kombinacji liniowej wektorów należącej do podprzestrzeni generowanej przez bazę jest granicą ciągu liczb wymiernych (gdy przestrzeń jest rzeczywista) lub jest granicą ciągu liczb zespolonych o wymiernej części rzeczywistej i urojonej (gdy przestrzeń jest zespolona).

Baza Schaudera[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Baza Schaudera.

Niech będzie ciągiem elementów przestrzeni Jeśli istnieje taki ciąg elementów przestrzeni sprzężonej że

  1. dla oraz dla
  2. każdy element można przedstawić jednoznacznie w postaci

to ciąg nazywany jest bazą Schaudera przestrzeni natomiast ciąg nazywany jest ciągiem funkcjonałów biortogonalnych stowarzyszonych z

Pojęcia bazy i bazy Schaudera mogą być stosowane wymiennie, ponieważ obie definicje są równoważne w klasie przestrzeni Banacha – ciąg jest bazą przestrzeni wtedy i tylko wtedy, gdy jest jej bazą Schaudera. Definicje te nie są na ogół równoważne w szerszych klasach przestrzeni liniowo-topologicznych.

Wymiar Hamela[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: baza (przestrzeń liniowa).

Baza Schaudera przestrzeni Banacha (o ile istnieje) nie jest bazą w sensie algebry liniowej (tzn. nie jest bazą przestrzeni liniowej). Dla odróżnienia, bazy (algebraiczne) przestrzeni liniowych nazywa się w analizie funkcjonalnej bazami Hamela, a ich mocwymiarem Hamela.

Używając twierdzenia Baire’a, można udowodnić, że jeśli przestrzeń Banacha jest nieskończenie wymiarowa, to ma ona nieprzeliczalny wymiar Hamela. Nieskończenie wymiarowe przestrzenie Banacha mają wymiar Hamela co najmniej continuum[3][4].

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Stefan Banach. Sur les opérations dans les ensembles abstracts et leur application aux équations intégrales. „Fundamenta Mathematicae”. 3 (1922). 
  2. Maurice Fréchet: Les espaces abstraits et leur théorie considérée comme introduction à l’Analyse générale. Paryż: Gauthier-Villars, 1928.
  3. G.W. Mackey, On infinite-dimensional linear spaces, Trans. Amer. Math. Soc., 57 (1945), 155-207.
  4. H.E. Lacey, The Hamel Dimension of any Infinite Dimensional Separable Banach Space is c, Amer. Math. Mon. ’80' (1973), 298.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]