Przestrzeń Foka

Przestrzeń Foka nad daną przestrzenią Hilberta ${\mathcal {H}}$ – suma prosta przestrzeni Hilberta będących kolejnymi iteracjami iloczynu tensorowego przestrzeni ${\mathcal {H}}$. W zależności od doboru iloczynu tensorowego (zwyczajny, symetryczny, niesymetryczny) definiuje się trzy warianty pojęcia przestrzeni Foka (tj. pełną przestrzeń Foka, symetryczną i niesymetryczną). Pojęcie przestrzeni Foka pozwala w mechanice kwantowej na algebraizację opisu stanów kwantowych układów o nieznanej liczbie cząstek.

Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska rosyjskiego fizyka, Władimira A. Foka, który jako pierwszy zdefiniował je w roku 1932 dla przestrzeni funkcji całkowalnych z kwadratem na prostej z miarą Lebesgue’a. Ścisła matematyzacja pojęcia pochodzi od J.M. Cooka. W teorii prawdopodobieństwa elementy przestrzeni Foka interpretuje się jako zmienne losowe.

Czasami w polskojęzycznej literaturze używana jest angielska transkrypcja nazwiska W. Foka, skąd spotykana bywa pisownia przestrzeń Focka.

Motywacja

Jeżeli ${\mathcal {H}}$ jest przestrzenią Hilberta opisującą układ składający się z jednej cząstki, to iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta ${\mathcal {H}}\otimes {\mathcal {H}}$ opisuje układ składający się z dwóch cząstek tego samego typu. Podobnie przestrzeń

${\mathcal {H}}^{\otimes n}=\underbrace {{\mathcal {H}}\otimes \ldots \otimes {\mathcal {H}}} _{n{\rm {-razy}}}$

opisuje układ $n$ cząstek tego samego typu. Układ o dowolnej liczbie cząstek, w którym występują zjawiska ich kreacji oraz anihilacji, można opisać jako sumę prostą przestrzeni Hilberta będących kolejnymi iteracjami iloczynu tensorowego tj.

$\bigoplus _{n\geq 0}{\mathcal {H}}^{\otimes n}$.

W zależności od tego, czy w danym układzie występują bozony, czy też fermiony, należy dokonać odpowiednio symetryzacji (poprzez symetryczny iloczyn tensorowy) bądź też antysymetryzacji (poprzez antysymetryczny) przestrzeni

$\bigoplus _{n\geq 0}{\mathcal {H}}^{\otimes n}$.

Symetryczny i antysymetryczny iloczyn tensorowy w przestrzeni Hilberta

Niech $u_{1},\ldots ,u_{n}\in {\mathcal {H}}$ oraz S_n oznacza grupę permutacji zbioru {1, 2, ..., n}. Element przestrzeni

${\mathcal {H}}^{\otimes n}={\mathcal {H}}\otimes \ldots \otimes {\mathcal {H}}$

postaci

$u_{1}\vee u_{2}\vee \ldots \vee u_{n}:=P^{(n)}(u_{1}\otimes u_{2}\otimes \ldots \otimes u_{n})$,

gdzie

$P^{(n)}\colon u_{1}\otimes u_{2}\otimes \ldots \otimes u_{n}\mapsto {\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n}}u_{\sigma (1)}\otimes \ldots \otimes u_{\sigma (n)}$,

nazywany jest symetrycznym iloczynem tensorowym elementów u₁, ..., u_n, natomiast element postaci

$u_{1}\wedge u_{2}\wedge \ldots \wedge u_{n}:={\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n}}\epsilon _{\sigma }u_{\sigma (1)}\otimes \ldots \otimes u_{\sigma (n)},$

nazywany jest antysymetrycznym iloczynem tensorowym elementów u₁, ..., u_n, przy czym symbol $\epsilon _{\sigma }$ oznacza znak permutacji $\sigma$ (co w tym kontekście oznacza również symbol Leviego-Civity).

Domknięcie podprzestrzeni liniowej przestrzeni ${\mathcal {H}}^{\otimes n}$, generowanej przez wektory $u_{1}\vee \ldots \vee u_{n}$ (odpowiednio $u_{1}\wedge \ldots \wedge u_{n}$), gdzie u₁, ..., u_n przebiegają całą przestrzeń ${\mathcal {H}}$, nazywane jest n-tym symetrycznym (odpowiednio antysymetrycznym) iloczynem tensorowym przestrzeni ${\mathcal {H}}$ i oznaczane symbolem ${\mathcal {H}}^{\vee n}$ (odpowiednio, ${\mathcal {H}}^{\wedge n}$ w przypadku antysymetrycznym).

Konstrukcja przestrzeni Foka i jej warianty

W zależności od używanego rodzaju iloczynu tensorowego (zwyczajny, symetryczny, antysymetryczny) dla danej przestrzeni Hilberta ${\mathcal {H}}$ definiuje się

• pełną przestrzeń Foka (inne nazwy: wolna przestrzeń Foka, przestrzeń Maxwella-Boltzmana) nad ${\mathcal {H}}$:

$\Phi ({\mathcal {H}}):=\bigoplus _{n\geq 0}{\mathcal {H}}^{\otimes n}=\mathbb {C} \oplus {\mathcal {H}}\oplus ({\mathcal {H}}\otimes {\mathcal {H}})\oplus \cdots$.

Inne oznaczenia: $\Gamma _{f}$, bądź $\Gamma _{fr}$.

• symetryczną przestrzeń Foka (inna nazwa: bozonowa przestrzeń Foka) nad ${\mathcal {H}}$:

$\Gamma ({\mathcal {H}}):=\bigoplus _{n\geq 0}{\mathcal {H}}^{\vee n}$.

Inne oznaczenia: $\Gamma _{s}$.

• antysymetryczną przestrzeń Foka (inna nazwa: fermionowa przestrzeń Foka) nad ${\mathcal {H}}$:

$\Psi ({\mathcal {H}}):=\bigoplus _{n\geq 0}{\mathcal {H}}^{\wedge n}$.

Inne oznaczenia: $\Gamma _{s}$.

Symbol sumy prostej, użyty powyżej, oznacza sumę prostą przestrzeni Hilberta. W szczególności, wszystkie zdefiniowane wyżej przestrzenie są przestrzeniami Hilberta.

W każdym z powyższych przypadków, $n$-ty składnik sumy prostej nazywany jest podprzestrzenią $n$-tej cząstki, a jej elementy wektorami $n$-tej cząstki.

Każdy element $f$ pełnej (odpowiednio, symetrycznej i antysymetrycznej) przestrzeni Foka jest postaci

$f=(f_{0},f_{1},\ldots ,f_{n},\ldots )$,

(często nieformalnie dla skrócenia długości zapisu pisze się krótko $\scriptstyle f=\sum _{n\geq 0}f_{n}$, bądź $\scriptstyle f=\bigoplus _{n\geq 0}f_{n}$), gdzie $f_{n}$ jest elementem przestrzeni ${\mathcal {H}}^{\otimes n}$ (odpowiednio, ${\mathcal {H}}^{\vee n}$, ${\mathcal {H}}^{\wedge n}$) oraz

$\|f\|^{2}=\sum _{n\geq 0}\|f_{n}\|^{2}<\infty$.

Wektor

$\left(1,0,0,\ldots \right)$ (zapisywany często w postaci sumy prostej $1\oplus 0\oplus 0\oplus \cdots$)

nazywany jest wektorem próżni (stanem próżni) i oznaczany symbolem $\Omega$, bądź ${\textbf {1}}$.

Przestrzeń liniowa $\Gamma _{00}({\mathcal {H}})$ generowana przez wektory postaci $u^{\otimes n}$, gdzie $n$ przebiega zbiór liczb naturalnych, a $u$ przestrzeń ${\mathcal {H}}$, tj.

$\Gamma _{00}({\mathcal {H}})={\mbox{Lin}}\left\{u^{\otimes n}\colon n\geq 0,u\in {\mathcal {H}}\right\}$,

jest gęstą podprzestrzenią przestrzeni $\Gamma ({\mathcal {H}})$. Przestrzeń $\Gamma _{00}({\mathcal {H}})$ nazywana jest przestrzenią skończonej liczby cząstek.

Przestrzeń Foka jako wykładnicza przestrzeń Hilberta

Dla każdego elementu $u$ przestrzeni ${\mathcal {H}}$ wzór:

$\varepsilon (u):=\left(1,u,{\frac {u^{\otimes 2}}{\sqrt {2}}},\ldots ,{\frac {u^{\otimes n}}{\sqrt {n!}}},\ldots \right)$

określa element przestrzeni $\Gamma ({\mathcal {H}})\subseteq \Phi ({\mathcal {H}})$, nazywany wektorem wykładniczym (bądź eksponencjalnym) wektora $u$. W szczególności, wektor próżni jest wektorem eksponencjalnym $\varepsilon (0)$.

Jeżeli $u$ i $v$ należą do ${\mathcal {H}}$, to

$\left\langle \varepsilon (u),\varepsilon (v)\right\rangle =e^{\left\langle u,v\right\rangle }$.

Dla dowolnego podzbioru $S$ przestrzeni ${\mathcal {H}}$ symbol ${\mathcal {E}}(S)$ oznacza podprzestrzeń

${\mathcal {E}}(S):={\mbox{Lin}}\left\{\varepsilon (u)\colon u\in S\right\}$.

W szczególności, gdy $S={\mathcal {H}}$ można pisać krótko ${\mathcal {E}}(S)={\mathcal {E}}$. Zbiór $\left\{\varepsilon (u)\colon u\in {\mathcal {H}}\right\}$ jest liniowo niezależny. Co więcej, ${\mathcal {E}}$ jest gęstą podprzestrzenią przestrzeni $\Gamma ({\mathcal {H}})$.

Przestrzeń Foka nad sumą prostą przestrzeni Hilberta

Jeżeli ${\mathcal {H}}_{1}$, ${\mathcal {H}}_{2}$ są przestrzeniami Hilberta, to

$\Gamma ({\mathcal {H}}_{1}\oplus {\mathcal {H}}_{2})=\Gamma ({\mathcal {H}}_{1})\otimes \Gamma ({\mathcal {H}}_{2})$,

przy czym równość w tym przypadku rozumie się z dokładnością do izomorfizmu. Jeżeli przyjąć notację $\Gamma ({\mathcal {H}})=e^{\mathcal {H}}$, to powyższy wzór przybiera postać

$e^{{\mathcal {H}}_{1}\oplus {\mathcal {H}}_{2}}=e^{{\mathcal {H}}_{1}}\otimes e^{{\mathcal {H}}_{2}}$,

co tłumaczyć może dlaczego przestrzeń Foka bywa nazywana czasem wykładniczą przestrzenią Hilberta (nazwa pojęcia wykładnicza przestrzeń Hilberta pochodzi od H. Arakiego i J.E. Woodsa i została wprowadzona dla symetrycznej przestrzeni Foka w kontekście algebr Boole’a operatorów rzutu na przestrzeniach Hilberta).

Baza przestrzeni Foka

Jeżeli ${\mathcal {H}}$ jest ośrodkową przestrzenią Hilberta oraz $(e_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ jest jej bazą ortonormalną, to zbiory

• $\left\{\left.\Omega ,e_{i_{1}}\otimes \ldots \otimes e_{i_{n}}\right|i_{j}=1,2,\ldots ,\ j=1,2,\ldots ,n,\ n=1,2,\ldots \right\}$,
• $\left\{\Omega ,\left.\left({\frac {n!}{r_{1}!\cdots r_{k}!}}\right)^{\frac {1}{2}}e_{i_{1}}^{r_{1}}\vee e_{i_{2}}^{r_{2}}\vee \cdots \vee e_{i_{k}}^{r_{k}}\right|r_{1}+\ldots +r_{k}=n,\ 1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k},\ k,n=1,2,\ldots \right\}$,
• $\left\{\left.\Omega ,(n!)^{\frac {1}{2}}e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \ldots \wedge e_{i_{n}}\right|1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{n},n=1,2,\ldots \right\}$,

są bazami ortonormalnymi, odpowiednio, przestrzeni $\Phi ({\mathcal {H}})$, $\Gamma ({\mathcal {H}})$ i $\Psi ({\mathcal {H}})$. Wszystkie opisane wyżej bazy są przeliczalne, a więc (dowolnego rodzaju) przestrzeń Foka nad ośrodkową przestrzenią Hilberta jest nadal ośrodkowa.

Operatory na przestrzeni Foka

Niech $u$ będzie ustalonym elementem przestrzeni ${\mathcal {H}}$.

Operatory anihilacji i kreacji na symetrycznej przestrzeni Foka

Funkcje

$a_{0}(u)\colon \{\varepsilon (v)\colon v\in {\mathcal {H}}\}\to \Gamma ({\mathcal {H}})$

$a_{0}^{\dagger }(u)\colon \{\varepsilon (v)\colon v\in {\mathcal {H}}\}\to \Gamma ({\mathcal {H}})$

dane wzorami

$a_{0}(u)\varepsilon (v)=\left\langle u,v\right\rangle \varepsilon (v)$,

$a_{0}^{\dagger }(u)\varepsilon (v)={\frac {d}{dt}}\left.\varepsilon (v+tu)\right|_{t=0}$

można, zgodnie z twierdzeniem o operatorze liniowym zadanym na bazie, przedłużyć do operatorów liniowych określonych na ${\mathcal {E}}$ w sposób jednoznaczny ze względu na fakt, że zbiór ${\mathcal {E}}$ jest liniowo niezależny.

Podprzestrzeń ${\mathcal {E}}$ jest gęsta w $\Gamma ({\mathcal {H}})$, tak więc $a_{0}(u)^{*}\,$ i $a_{0}^{\dagger }(u)^{*}$ są operatorami domkniętymi.

Ponadto zachodzą pomiędzy nimi następujące relacje:

$a_{0}^{\dagger }(u)\subseteq a_{0}(u)^{*},\quad {\overline {a_{0}^{\dagger }(u)}}=a_{0}(u)^{*},\quad {\overline {a_{0}(u)}}=a_{0}^{\dagger }(u)^{*},$

przy czym inkluzję powyżej należy rozumieć w sensie zawierania wykresów operatorów.

Operatory anihilacji i kreacji definiuje się, odpowiednio, poprzez zależności

$a(u):=a_{0}^{\dagger }(u)^{*}$

oraz

$a^{*}(u):=a_{0}(u)^{*}\,$.

Operatory te są więc wzajemnie do siebie sprzężone. Zbiór $\Gamma _{00}({\mathcal {H}})$ jest ich dziedziną istotną (podobnie jak ${\mathcal {E}}$, na mocy definicji), gdzie określone są one następującymi wzorami:

$a(u)v^{\otimes n}={\sqrt {n}}\left\langle u,v\right\rangle v^{\otimes (n-1)}$

oraz

$a^{*}(u)v^{\otimes n}={\sqrt {n+1}}P^{(n+1)}(u\otimes v^{\otimes n}).$

Innymi słowy, operator anihilacji przenosi stany z przestrzeni $n$ do $n-1$ cząstkowej, a operator kreacji z przestrzeni $n$- do $(n+1)$-cząstkowej.

Maksymalną dziedziną na jakiej są one zdefiniowane (jako domkniętę operatory wzajemnie sprzężone) jest odpowiednio, dla operatora anihilacji

$D(a(u)):=\left\{f\in \Gamma ({\mathcal {H}})\colon \sum _{n\geq 0}\|a(u)f_{n}\|^{2}<\infty \right\}$,

oraz dla operatora kreacji

$D(a^{*}(u)):=\left\{f\in \Gamma ({\mathcal {H}})\colon \sum _{n\geq 0}\|a^{*}(u)f_{n}\|^{2}<\infty \right\}$.

Ponadto zachodą pomiędzy nimi tzw. relacje CCR i CAR (ang. canonical commutation relations i canonical anticommutation relations):

$[a(u),a^{*}(v)]=\left\langle u,v\right\rangle I$,

$\{a(u),a(v)\}=\{a^{*}(u),a^{*}(v)\}=0\,$

gdzie $[\cdot ,\cdot ]$ oznacza komutator operatorów, a $\{\cdot ,\cdot \}$ ich antykomutator. Relacja CAR jest związana z tzw. regułą Pauliego mówiącą, iż żadne dwa fermiony nie mogą w jednej chwili występować w tym samym stanie kwantowym.

Operatory anihilacji i kreacji na symetrycznej przestrzeni Foka są operatorami nieograniczonymi. W szczególności,

$\sup _{\|h\|=1}\|a(u)h\|\geq \sup _{v\in {\mathcal {H}}}\|a(u)e^{-{\frac {\|v\|^{2}}{2}}}\varepsilon (v)\|=\sup _{v\in {\mathcal {H}}}|\left\langle u,v\right\rangle |=\infty .$

W literaturze używana bywa również notacja Diraca w kontekście operatorów anihilacji – $a_{\left\langle u\right|}^{-}$ i kreacji – $a_{\left|u\right\rangle }^{+}$, przy czym wektor „bra” jest elementem przestrzeni sprzężonej do ${\mathcal {H}}$.

Operator liczby cząstek

Operator liczby cząstek $N$ na $\Gamma ({\mathcal {H}})$ określony jest w następujący sposób:

$N\colon D(N)\subset \Gamma ({\mathcal {H}})\rightarrow \Gamma ({\mathcal {H}}),\ \ Nu=(nu_{n})_{n\geq 0}$,

gdzie

$D(N):=\left\{u\in \Gamma ({\mathcal {H}})\colon \sum _{n\geq 0}n^{2}\|u_{n}\|^{2}<\infty \right\}$.

Operator liczby cząstek jest operatorem dodatnim (w szczególności, jest on operatorem samosprzężonym) na $\Gamma ({\mathcal {H}})$. Z dodatniości wynika, że można w sposób jednoznaczny określić jego pierwiastek ${\sqrt {N}}$.

Zbiór $\Gamma _{00}({\mathcal {H}})$ jest dziedziną istotną operatora $N$, tzn. jest domknięciem obcięcia operatora $N$ do zbioru $\Gamma _{00}({\mathcal {H}})$. W szczególności, dla dowolnej funkcji $f\colon \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C}$, operator $f(N)$ jest zdefiniowany poprzez rachunek funkcyjny dla operatorów samosprzężonych:

$D(f(N)):=\left\{u\in \Gamma ({\mathcal {H}})\colon \sum _{n\geq 0}n^{2}|f(n)|^{2}\|u_{n}\|^{2}<\infty \right\}$,

$f(N)u=(f(n)u_{n})_{n\geq 0}$.

Przykłady

Przestrzeń wykładnicza ciała liczb zespolonych

Dla każdej liczby naturalnej $n\geq 0$ iloczyn tensorowy $\mathbb {C} ^{\otimes n}$ można w naturalny sposób utożsamić z $\mathbb {C}$, skąd

$\Gamma (\mathbb {C} )=\Phi (\mathbb {C} )=\mathbb {C} \oplus \mathbb {C} \oplus \ldots =\ell ^{2}$.

Dla każdej liczby zespolonej $z$ wektor wykładniczy z nią stowarzyszony jest postaci

$\varepsilon (z)=\left(1,z,{\frac {z^{2}}{\sqrt {2!}}},\ldots ,{\frac {z^{n}}{\sqrt {n!}}},\ldots \right)$

i należy do przestrzeni $\ell ^{2}$.

Niech $\mu$ będzie standardowym rozkładem normalnym (Gaussa) na prostej. W przestrzeni $L^{2}(\mu )$ rozważa się tzw. funkcję tworzącą, zdefiniowaną przy pomocy wielomianów Hermite'a:

$e^{zx-{\frac {1}{2}}z^{2}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {z^{n}}{n!}}H_{n}(x),$

gdzie $H_{n}$ jest wielomianem Hermite'a stopnia $n$. Istnieje dokładnie jeden taki izometryczny izomorfizm $U\colon \Gamma (\mathbb {C} )\rightarrow L^{2}(\mu )$, że

$[Ue(z)](x)=e^{zx-{\frac {1}{2}}z^{2}},\,z\in \mathbb {C}$.

Przestrzeń Foka nad przestrzenią funkcji całkowalnych z kwadratem na półprostej

Niech $B=\{B(t)\colon t\geq 0\}$ będzie standardowym procesem Wienera (ruchem Browna) z odpowiadającą mu miarą probabilistyczną $\mathbb {B}$ na przestrzeni funkcji ciągłych $C([0,\infty ))$. Dla dowolnej funkcji zespolonej $f$, będącej elementem przestrzeni $L^{2}([0,\infty ))$ (z miarą Lebesgue’a), niech

$\int _{0}^{\infty }f\ dB$

oznacza jej całkę stochastyczną Wienera względem procesu $B$. Istnieje wówczas dokładnie jeden izometryczny izomorfizm

$U\colon \Gamma (L^{2}([0,\infty )))\rightarrow L^{2}(\mathbb {B} )$,

który spełnia warunek

$[Ue(f)](B)=\exp {\left(\int _{0}^{\infty }fdB-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }f(t)^{2}dt\right)}$.

Związek pomiędzy procesami gaussowskimi a przestrzenią Foka został zauważony w pracy I.E. Segala z 1959 roku.

Bibliografia

• Chapter II: Observables and States in Tensor Product Of Hilbert Spaces. W: Kalyanapuram Rangachari Parthasarathy: An Introduction to Quantum Stochastic Calculus. Berlin: Springer, 1992, s. 123-134. ISBN 3-7643-2697-2. (ang.)
• Spaces and Operators. W: J. Martin Lindsay: Quantum Stochastic Analysis in Quantum Independent Increment Processes I: From Classical Probability to Quantum Stochastic Calculus (Lecture Notes in Mathematics) (v. 1). Berlin: Springer-Verlag, 2005, s. 201-210. ISBN 978-3540244066. (ang.)
• Hilbert Spaces. W: Michael Reed, Barry Simon: Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis. Berlin: Academic Press, 1980, s. 53-54. ISBN 978-0125850506. (ang.)
• Self-adjointness. W: Michael Reed, Barry Simon: Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 2: Fourier Analysis, Self-Adjointness. Academic Press, 1975, s. 207-209. ISBN 0-12-585002-6. (ang.)