Przestrzeń Foka

Przestrzeń Foka nad daną przestrzenią Hilberta $\mathcal{H}$ – suma prosta przestrzeni Hilberta będących kolejnymi iteracjami iloczynu tensorowego przestrzeni $\mathcal{H}$. W zależności od doboru iloczynu tensorowego (zwyczajny, symetryczny, niesymetryczny) definiuje się trzy warianty pojęcia przestrzeni Foka (tj. pełną przestrzeń Foka, symetryczną i niesymetryczną). Pojęcie przestrzeni Foka pozwala w mechanice kwantowej na algebraizację opisu stanów kwantowych układów o nieznanej liczbie cząstek.

Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska rosyjskiego fizyka, Władimira A. Foka, który jako pierwszy zdefiniował je w roku 1932 dla przestrzeni funkcji całkowalnych z kwadratem na prostej z miarą Lebesgue'a. Ścisła matematyzacja pojęcia pochodzi od J.M. Cooka. W teorii prawdopodobieństwa elementy przestrzeni Foka interpretuje się jako zmienne losowe.

Czasami w polskojęzycznej literaturze używana jest angielska transkrypcja nazwiska W. Foka, skąd spotykana bywa pisownia przestrzeń Focka.

Motywacja

Jeżeli $\mathcal{H}$ jest przestrzenią Hilberta opisującą układ składający się z jednej cząstki, to iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta $\mathcal{H} \otimes \mathcal{H}$ opisuje układ składający się z dwóch cząstek tego samego typu. Podobnie przestrzeń

$\mathcal{H}^{\otimes n }= \underbrace{\mathcal{H} \otimes \ldots\otimes \mathcal{H}}_{n \rm{- razy} }$

opisuje układ $n$ cząstek tego samego typu. Układ o dowolnej liczbie cząstek, w którym występują zjawiska ich kreacji oraz anihilacji, można opisać jako sumę prostą przestrzeni Hilberta będących kolejnymi iteracjami iloczynu tensorowego tj.

$\bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{H}^{\otimes n}$.

W zależności od tego, czy w danym układzie występują bozony, czy też fermiony, należy dokonać odpowiednio symetryzacji (poprzez symetryczny iloczyn tensorowy) bądź też antysymetryzacji (poprzez antysymetryczny) przestrzeni

$\bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{H}^{\otimes n}$.

Symetryczny i antysymetryczny iloczyn tensorowy w przestrzeni Hilberta

Niech $u_1, \ldots, u_n \in \mathcal{H}$ oraz S_n oznacza grupę permutacji zbioru {1, 2, ..., n}. Element przestrzeni

$\mathcal{H}^{\otimes n}=\mathcal{H}\otimes\ldots\otimes \mathcal{H}$

postaci

$u_1 \vee u_2\vee \ldots \vee u_n := P^{(n)}(u_1 \otimes u_2 \otimes \ldots \otimes u_n)$,

gdzie

$P^{(n)} \colon u_1 \otimes u_2 \otimes \ldots \otimes u_n \mapsto \frac{1}{n!} \sum_{\sigma \in S_n} u_{\sigma(1)} \otimes \ldots \otimes u_{\sigma(n)}$,

nazywany jest symetrycznym iloczynem tensorowym elementów u₁, ..., u_n, natomiast element postaci

$u_1 \wedge u_2 \wedge \ldots \wedge u_n := \frac{1}{n!} \sum_{\sigma \in S_n} \epsilon_{\sigma }u_{\sigma(1)} \otimes \ldots \otimes u_{\sigma(n)},$

nazywany jest antysymetrycznym iloczynem tensorowym elementów u₁, ..., u_n, przy czym symbol $\epsilon_{\sigma}$ oznacza znak permutacji $\sigma$ (co w tym kontekście oznacza również symbol Leviego-Civity).

Domknięcie podprzestrzeni liniowej przestrzeni $\mathcal{H}^{\otimes n}$, generowanej przez wektory $u_1 \vee \ldots \vee u_n$ (odpowiednio $u_1 \wedge \ldots \wedge u_n$), gdzie u₁, ..., u_n przebiegają całą przestrzeń $\mathcal{H}$, nazywane jest n-tym symetrycznym (odpowiednio antysymetrycznym) iloczynem tensorowym przestrzeni $\mathcal{H}$ i oznaczane symbolem $\mathcal{H}^{\vee n}$ (odpowiednio, $\mathcal{H}^{\wedge n}$ w przypadku antysymetrycznym).

Konstrukcja przestrzeni Foka i jej warianty

W zależności od używanego rodzaju iloczynu tensorowego (zwyczajny, symetryczny, antysymetryczny) dla danej przestrzeni Hilberta $\mathcal{H}$ definiuje się

• pełną przestrzeń Foka (inne nazwy: wolna przestrzeń Foka, przestrzeń Maxwella-Boltzmana) nad $\mathcal{H}$:

$\Phi(\mathcal{H}):=\bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{H}^{\otimes n}= \mathbb{C} \oplus \mathcal{H} \oplus ( \mathcal{H} \otimes \mathcal{H})\oplus \cdots$.

Inne oznaczenia: $\Gamma_f$, bądź $\Gamma_{fr}$.

• symetryczną przestrzeń Foka (inna nazwa: bozonowa przestrzeń Foka) nad $\mathcal{H}$:

$\Gamma(\mathcal{H}):=\bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{H}^{\vee n}$.

Inne oznaczenia: $\Gamma_s$.

• antysymetryczną przestrzeń Foka (inna nazwa: fermionowa przestrzeń Foka) nad $\mathcal{H}$:

$\Psi(\mathcal{H}):=\bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{H}^{\wedge n}$.

Inne oznaczenia: $\Gamma_s$.

Symbol sumy prostej, użyty powyżej, oznacza sumę prostą przestrzeni Hilberta. W szczególności, wszystkie zdefiniowane wyżej przestrzenie są przestrzeniami Hilberta.

W każdym z powyższych przypadków, $n$-ty składnik sumy prostej nazywany jest podprzestrzenią $n$-tej cząstki, a jej elementy wektorami $n$-tej cząstki.

Każdy element $f$ pełnej (odpowiednio, symetrycznej i antysymetrycznej) przestrzeni Foka jest postaci

$f= (f_0, f_1, \ldots, f_n, \ldots)$,

(często nieformalnie dla skrócenia długości zapisu pisze się krótko $\scriptstyle f= \sum_{n \geq 0} f_n$, bądź $\scriptstyle f= \bigoplus_{n \geq 0} f_n$), gdzie $f_n$ jest elementem przestrzeni $\mathcal{H}^{\otimes n}$ (odpowiednio, $\mathcal{H}^{\vee n}$, $\mathcal{H}^{\wedge n}$) oraz

$\|f\|^{2}= \sum_{n \geq 0} \|f_n\|^2 < \infty$.

Wektor

$\left(1,0 , 0, \ldots \right)$ (zapisywany często w postaci sumy prostej $1 \oplus 0 \oplus 0 \oplus \cdots$)

nazywany jest wektorem próżni (stanem próżni) i oznaczany symbolem $\Omega$, bądź $\textbf{1}$.

Przestrzeń liniowa $\Gamma_{00}(\mathcal{H})$ generowana przez wektory postaci $u^{\otimes n}$, gdzie $n$ przebiega zbiór liczb naturalnych, a $u$ przestrzeń $\mathcal{H}$, tj.

$\Gamma_{00}(\mathcal{H}) = \mbox{Lin}\left\{ u^{\otimes n} \colon n \geq 0, u \in \mathcal{H}\right\}$,

jest gęstą podprzestrzenią przestrzeni $\Gamma(\mathcal{H})$. Przestrzeń $\Gamma_{00}(\mathcal{H})$ nazywana jest przestrzenią skończonej liczby cząstek.

Przestrzeń Foka jako wykładnicza przestrzeń Hilberta

Dla każdego elementu $u$ przestrzeni $\mathcal{H}$ wzór:

$\varepsilon(u) := \left(1, u, \frac{u^{\otimes 2}}{\sqrt{2}}, \ldots, \frac{u^{\otimes n}}{\sqrt{n!}}, \ldots \right)$

określa element przestrzeni $\Gamma(\mathcal{H}) \subseteq \Phi(\mathcal{H})$, nazywany wektorem wykładniczym (bądź eksponencjalnym) wektora $u$. W szczególności, wektor próżni jest wektorem eksponencjalnym $\varepsilon(0)$.

Jeżeli $u$ i $v$ należą do $\mathcal{H}$, to

$\left \langle \varepsilon(u), \varepsilon(v) \right \rangle = e^{\left \langle u, v \right \rangle}$.

Dla dowolnego podzbioru $S$ przestrzeni $\mathcal{H}$ symbol $\mathcal{E}(S)$ oznacza podprzestrzeń

$\mathcal{E}(S):= \mbox{Lin} \left\{\varepsilon(u) \colon u \in S \right\}$.

W szczególności, gdy $S = \mathcal{H}$ można pisać krótko $\mathcal{E}(S)=\mathcal{E}$. Zbiór $\left\{\varepsilon(u) \colon u \in \mathcal{H} \right\}$ jest liniowo niezależny. Co więcej, $\mathcal{E}$ jest gęstą podprzestrzenią przestrzeni $\Gamma(\mathcal{H})$.

Przestrzeń Foka nad sumą prostą przestrzeni Hilberta

Jeżeli $\mathcal{H}_1$, $\mathcal{H}_2$ są przestrzeniami Hilberta, to

$\Gamma(\mathcal{H}_1 \oplus \mathcal{H}_2)= \Gamma(\mathcal{H}_1) \otimes \Gamma(\mathcal{H}_2)$,

przy czym równość w tym przypadku rozumie się z dokładnością do izomorfizmu. Jeżeli przyjąć notację $\Gamma(\mathcal{H}) = e^{\mathcal{H}}$, to powyższy wzór przybiera postać

$e^{\mathcal{H}_1 \oplus \mathcal{H}_2}= e^{\mathcal{H}_1 } \otimes e^{\mathcal{H}_2 }$,

co tłumaczyć może dlaczego przestrzeń Foka bywa nazywana czasem wykładniczą przestrzenią Hilberta (nazwa pojęcia wykładnicza przestrzeń Hilberta pochodzi od H. Arakiego i J.E. Woodsa i została wprowadzona dla symetrycznej przestrzeni Foka w kontekście algebr Boole'a operatorów rzutu na przestrzeniach Hilberta).

Baza przestrzeni Foka

Jeżeli $\mathcal{H}$ jest ośrodkową przestrzenią Hilberta oraz $(e_n)_{n \in \mathbb{N}}$ jest jej bazą ortonormalną, to zbiory

• $\left\{ \left. \Omega, e_{i_1} \otimes \ldots \otimes e_{i_n} \right| i_j=1,2, \ldots, \ j=1,2, \ldots, n, \ n=1,2, \ldots \right\}$,
• $\left\{\Omega, \left. \left( \frac{n!}{r_1!\cdots r_k!}\right)^{\frac{1}{2}} e_{i_1}^{r_1} \vee e_{i_2}^{r_2} \vee\cdots \vee e_{i_k}^{r_k} \right| r_1+\ldots + r_k=n, \ 1 \leq i_1 < i_2 < \cdots < i_k, \ k, n = 1,2, \ldots \right\}$,
• $\left\{ \left. \Omega, (n!)^{\frac{1}{2} } e_{i_1} \wedge e_{i_2} \wedge\ldots \wedge e_{i_n} \right| 1 \leq i_1 < i_2 < \cdots < i_n, n = 1,2, \ldots \right\}$,

są bazami ortonormalnymi, odpowiednio, przestrzeni $\Phi(\mathcal{H})$, $\Gamma(\mathcal{H})$ i $\Psi(\mathcal{H})$. Wszystkie opisane wyżej bazy są przeliczalne, a więc (dowolnego rodzaju) przestrzeń Foka nad ośrodkową przestrzenią Hilberta jest nadal ośrodkowa.

Operatory na przestrzeni Foka

Niech $u$ będzie ustalonym elementem przestrzeni $\mathcal{H}$.

Operatory anihilacji i kreacji na symetrycznej przestrzeni Foka

Funkcje

$a_0(u) \colon \{ \varepsilon(v) \colon v \in \mathcal{H} \} \to \Gamma(\mathcal{H})$

$a_0^{\dagger}(u) \colon \{ \varepsilon(v) \colon v \in \mathcal{H} \} \to \Gamma(\mathcal{H})$

dane wzorami

$a_0(u)\varepsilon(v) = \left \langle u, v \right \rangle \varepsilon(v)$,

$a_0^{\dagger}(u)\varepsilon(v) = \frac{d}{dt} \left.\varepsilon(v+tu)\right|_{t=0}$

można, zgodnie z twierdzeniem o operatorze liniowym zadanym na bazie, przedłużyć do operatorów liniowych określonych na $\mathcal{E}$ w sposób jednoznaczny ze względu na fakt, że zbiór $\mathcal{E}$ jest liniowo niezależny.

Podprzestrzeń $\mathcal{E}$ jest gęsta w $\Gamma(\mathcal{H})$, tak więc $a_0(u)^{*}\,$ i $a_0^{\dagger}(u)^{*}$ są operatorami domkniętymi.

Ponadto zachodzą pomiędzy nimi następujące relacje:

$a_0^\dagger(u) \subseteq a_0(u)^*, \quad \overline{a_0^\dagger(u)}= a_0(u)^*, \quad \overline{a_0(u)} = a_0^\dagger(u)^*,$

przy czym inkluzję powyżej należy rozumieć w sensie zawierania wykresów operatorów.

Operatory anihilacji i kreacji definiuje się, odpowiednio, poprzez zależności

$a(u) := a_{0}^{\dagger}(u)^{*}$

oraz

$a^{*}(u) :=a_0(u)^{*}\,$.

Operatory te są więc wzajemnie do siebie sprzężone. Zbiór $\Gamma_{00}(\mathcal{H})$ jest ich dziedziną istotną (podobnie jak $\mathcal{E}$, na mocy definicji), gdzie określone są one następującymi wzorami:

$a(u)v^{\otimes n} = \sqrt{n} \left \langle u, v \right \rangle v^{\otimes (n-1)}$

oraz

$a^{*}(u)v^{\otimes n} = \sqrt{n+1} P^{(n+1)}(u \otimes v^{\otimes n}).$

Innymi słowy, operator anihilacji przenosi stany z przestrzeni $n$ do $n-1$ cząstkowej, a operator kreacji z przestrzeni $n$- do $(n+1)$-cząstkowej.

Maksymalną dziedziną na jakiej są one zdefiniowane (jako domkniętę operatory wzajemnie sprzężone) jest odpowiednio, dla operatora anihilacji

$D(a(u)):= \left\{ f \in \Gamma(\mathcal{H}) \colon \sum_{n \geq 0} \| a(u)f_n \|^2 < \infty \right \}$,

oraz dla operatora kreacji

$D(a^{*}(u)):= \left\{ f \in \Gamma(\mathcal{H}) \colon \sum_{n \geq 0} \| a^{*}(u)f_n \|^2 < \infty \right \}$.

Ponadto zachodą pomiędzy nimi tzw. relacje CCR i CAR (ang. canonical commutation relations i canonical anticommutation relations):

$[a(u), a^{*}(v)]=\left \langle u, v \right \rangle I$,

$\{a(u), a(v)\}=\{a^{*}(u), a^{*}(v)\}=0 \,$

gdzie $[ \cdot , \cdot ]$ oznacza komutator operatorów, a $\{ \cdot, \cdot \}$ ich antykomutator. Relacja CAR jest związana z tzw. regułą Pauliego mówiącą, iż żadne dwa fermiony nie mogą w jednej chwili występować w tym samym stanie kwantowym.

Operatory anihilacji i kreacji na symetrycznej przestrzeni Foka są operatorami nieograniczonymi. W szczególności,

$\sup_{\|h\|=1} \|a(u)h\| \geq \sup_{v \in \mathcal{H}} \| a(u) e^{- \frac{\|v\|^{2}}{2}}\varepsilon(v) \| = \sup_{v \in \mathcal{H}}|\left\langle u, v \right \rangle |= \infty.$

W literaturze używana bywa również notacja Diraca w kontekście operatorów anihilacji – $a^{-}_{\left \langle u \right |}$ i kreacji – $a^{+}_{\left|u \right \rangle}$, przy czym wektor "bra" jest elementem przestrzeni sprzężonej do $\mathcal{H}$.

Operator liczby cząstek

Operator liczby cząstek $N$ na $\Gamma(\mathcal{H})$ określony jest w następujący sposób:

$N \colon D(N) \subset \Gamma(\mathcal{H}) \rightarrow \Gamma(\mathcal{H}), \ \ Nu= (nu_n)_{n \geq 0}$,

gdzie

$D(N):= \left\{ u \in \Gamma(\mathcal{H}) \colon \sum_{n \geq 0} n^2 \|u_n\|^2 < \infty \right\}$.

Operator liczby cząstek jest operatorem dodatnim (w szczególności, jest on operatorem samosprzężonym) na $\Gamma(\mathcal{H})$. Z dodatniości wynika, że można w sposób jednoznaczny określić jego pierwiastek $\sqrt{N}$.

Zbiór $\Gamma_{00}(\mathcal{H})$ jest dziedziną istotną operatora $N$, tzn. jest domknięciem obcięcia operatora $N$ do zbioru $\Gamma_{00}(\mathcal{H})$. W szczególności, dla dowolnej funkcji $f\colon \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{C}$, operator $f(N)$ jest zdefiniowany poprzez rachunek funkcyjny dla operatorów samosprzężonych:

$D(f(N)):= \left\{ u \in \Gamma(\mathcal{H}) \colon \sum_{n \geq 0} n^2 |f(n)|^2\|u_n\|^2 < \infty \right\}$,

$f(N)u= (f(n)u_n)_{n \geq 0}$.

Przykłady

Przestrzeń wykładnicza ciała liczb zespolonych

Dla każdej liczby naturalnej $n\geq 0$ iloczyn tensorowy $\mathbb{C}^{\otimes n}$ można w naturalny sposób utożsamić z $\mathbb{C}$, skąd

$\Gamma(\C) = \Phi(\C) = \mathbb{C} \oplus \mathbb{C} \oplus \ldots = \ell^2$.

Dla każdej liczby zespolonej $z$ wektor wykładniczy z nią stowarzyszony jest postaci

$\varepsilon(z)=\left(1, z, \frac{z^{2}}{\sqrt{2!}}, \ldots, \frac{z^n}{\sqrt{n!}}, \ldots \right)$

i należy do przestrzeni $\ell^2$.

Niech $\mu$ będzie standardowym rozkładem normalnym (Gaussa) na prostej. W przestrzeni $L^2(\mu)$ rozważa się tzw. funkcję tworzącą, zdefiniowaną przy pomocy wielomianów Hermite'a:

$e^{zx-\frac{1}{2}z^2}= \sum_{n \geq 0} \frac{z^n}{n!}H_n(x),$

gdzie $H_n$ jest wielomianem Hermite'a stopnia $n$. Istnieje dokładnie jeden taki izometryczny izomorfizm $U \colon \Gamma(\mathbb{C}) \rightarrow L^2(\mu)$, że

$[Ue(z)](x)=e^{zx-\frac{1}{2}z^2},\, z\in \mathbb{C}$.

Przestrzeń Foka nad przestrzenią funkcji całkowalnych z kwadratem na półprostej

Niech $B=\{B(t) \colon t \geq 0\}$ będzie standardowym procesem Wienera (ruchem Browna) z odpowiadającą mu miarą probabilistyczną $\mathbb{B}$ na przestrzeni funkcji ciągłych $C([0,\infty))$. Dla dowolnej funkcji zespolonej $f$, będącej elementem przestrzeni $L^2([0,\infty))$ (z miarą Lebesgue'a), niech

$\int_{0}^{\infty}f \ dB$

oznacza jej całkę stochastyczną Wienera względem procesu $B$. Istnieje wówczas dokładnie jeden izometryczny izomorfizm

$U \colon \Gamma(L^2([0,\infty))) \rightarrow L^2(\mathbb{B})$,

który spełnia warunek

$[Ue(f)](B)= \exp{ \left(\int_{0}^{\infty}f dB - \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} f(t)^2 dt \right)}$.

Związek pomiędzy procesami gaussowskimi a przestrzenią Foka został zauważony w pracy I.E. Segala z 1959 roku.

Bibliografia

1. Chapter II: Observables and States in Tensor Product Of Hilbert Spaces. W: Kalyanapuram Rangachari Parthasarathy: An Introduction to Quantum Stochastic Calculus. Berlin: Springer, 1992, s. 123-134. ISBN 3764326972. (ang.)
2. Spaces and Operators. W: J. Martin Lindsay: Quantum Stochastic Analysis in Quantum Independent Increment Processes I: From Classical Probability to Quantum Stochastic Calculus (Lecture Notes in Mathematics) (v. 1). Berlin: Springer-Verlag, 2005, s. 201-210. ISBN 978-3540244066. (ang.)
3. Hilbert Spaces. W: Michael Reed, Barry Simon: Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis. Berlin: Academic Press, 1980, s. 53-54. ISBN 978-0125850506. (ang.)
4. Self-adjointness. W: Michael Reed, Barry Simon: Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 2: Fourier Analysis, Self-Adjointness. Academic Press, 1975, s. 207-209. ISBN 0125850026. (ang.)