Przestrzeń Foka

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Przestrzeń Foka nad daną przestrzenią Hilberta suma prosta przestrzeni Hilberta będących kolejnymi iteracjami iloczynu tensorowego przestrzeni W zależności od doboru iloczynu tensorowego (zwyczajny, symetryczny, niesymetryczny) definiuje się trzy warianty pojęcia przestrzeni Foka (tj. pełną przestrzeń Foka, symetryczną i niesymetryczną). Pojęcie przestrzeni Foka pozwala w mechanice kwantowej na algebraizację opisu stanów kwantowych układów o nieznanej liczbie cząstek.

Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska rosyjskiego fizyka Władimira A. Foka, który jako pierwszy zdefiniował je w roku 1932[1] dla przestrzeni funkcji całkowalnych z kwadratem na prostej z miarą Lebesgue’a. Ścisła matematyzacja pojęcia pochodzi od J.M. Cooka[2]. W teorii prawdopodobieństwa elementy przestrzeni Foka interpretuje się jako zmienne losowe[3].

Czasami w polskojęzycznej literaturze używana jest angielska transkrypcja nazwiska W. Foka, skąd spotykana bywa pisownia przestrzeń Focka.

Motywacja[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli jest przestrzenią Hilberta opisującą układ składający się z jednej cząstki, to iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta opisuje układ składający się z dwóch cząstek tego samego typu. Podobnie przestrzeń

opisuje układ cząstek tego samego typu. Układ o dowolnej liczbie cząstek, w którym występują zjawiska ich kreacji oraz anihilacji, można opisać jako sumę prostą przestrzeni Hilberta będących kolejnymi iteracjami iloczynu tensorowego, tj.

W zależności od tego, czy w danym układzie występują bozony, czy też fermiony, należy dokonać odpowiednio symetryzacji (poprzez symetryczny iloczyn tensorowy) bądź też antysymetryzacji (poprzez antysymetryczny) przestrzeni

Symetryczny i antysymetryczny iloczyn tensorowy w przestrzeni Hilberta[edytuj | edytuj kod]

Niech oraz oznacza grupę permutacji zbioru Element przestrzeni

postaci

gdzie:

nazywany jest symetrycznym iloczynem tensorowym elementów natomiast element postaci

nazywany jest antysymetrycznym iloczynem tensorowym elementów przy czym symbol oznacza znak permutacji (co w tym kontekście oznacza również symbol Leviego-Civity).

Domknięcie podprzestrzeni liniowej przestrzeni generowanej przez wektory (odpowiednio ), gdzie przebiegają całą przestrzeń nazywane jest n-tym symetrycznym (odpowiednio antysymetrycznym) iloczynem tensorowym przestrzeni i oznaczane symbolem (odpowiednio, w przypadku antysymetrycznym).

Konstrukcja przestrzeni Foka i jej warianty[edytuj | edytuj kod]

W zależności od używanego rodzaju iloczynu tensorowego (zwyczajny, symetryczny, antysymetryczny) dla danej przestrzeni Hilberta definiuje się

  • pełną przestrzeń Foka (inne nazwy: wolna przestrzeń Foka, przestrzeń Maxwella-Boltzmana) nad

Inne oznaczenia: bądź

  • symetryczną przestrzeń Foka (inna nazwa: bozonowa przestrzeń Foka) nad

Inne oznaczenia:

  • antysymetryczną przestrzeń Foka (inna nazwa: fermionowa przestrzeń Foka) nad

Inne oznaczenia:

Symbol sumy prostej, użyty powyżej, oznacza sumę prostą przestrzeni Hilberta. W szczególności, wszystkie zdefiniowane wyżej przestrzenie są przestrzeniami Hilberta.

W każdym z powyższych przypadków, -ty składnik sumy prostej nazywany jest podprzestrzenią -tej cząstki, a jej elementy wektorami -tej cząstki.

Każdy element pełnej (odpowiednio, symetrycznej i antysymetrycznej) przestrzeni Foka jest postaci

(często nieformalnie dla skrócenia długości zapisu pisze się krótko bądź ), gdzie jest elementem przestrzeni (odpowiednio, ) oraz

Wektor

(zapisywany często w postaci sumy prostej )

nazywany jest wektorem próżni (stanem próżni) i oznaczany symbolem bądź

Przestrzeń liniowa generowana przez wektory postaci gdzie przebiega zbiór liczb naturalnych, a przestrzeń tj.

jest gęstą podprzestrzenią przestrzeni Przestrzeń nazywana jest przestrzenią skończonej liczby cząstek.

Przestrzeń Foka jako wykładnicza przestrzeń Hilberta[edytuj | edytuj kod]

Dla każdego elementu przestrzeni wzór:

określa element przestrzeni nazywany wektorem wykładniczym (bądź eksponencjalnym) wektora W szczególności, wektor próżni jest wektorem eksponencjalnym

Jeżeli i należą do to

Dla dowolnego podzbioru przestrzeni symbol oznacza podprzestrzeń

W szczególności, gdy można pisać krótko Zbiór jest liniowo niezależny. Co więcej, jest gęstą podprzestrzenią przestrzeni

Przestrzeń Foka nad sumą prostą przestrzeni Hilberta

Jeżeli są przestrzeniami Hilberta, to

przy czym równość w tym przypadku rozumie się z dokładnością do izomorfizmu. Jeżeli przyjąć notację to powyższy wzór przybiera postać

co tłumaczyć może dlaczego przestrzeń Foka bywa nazywana czasem wykładniczą przestrzenią Hilberta (nazwa pojęcia wykładnicza przestrzeń Hilberta pochodzi od H. Arakiego i J.E. Woodsa[4] i została wprowadzona dla symetrycznej przestrzeni Foka w kontekście algebr Boole’a operatorów rzutu na przestrzeniach Hilberta).

Baza przestrzeni Foka[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli jest ośrodkową przestrzenią Hilberta oraz jest jej bazą ortonormalną, to zbiory

są bazami ortonormalnymi, odpowiednio, przestrzeni i Wszystkie opisane wyżej bazy są przeliczalne, a więc (dowolnego rodzaju) przestrzeń Foka nad ośrodkową przestrzenią Hilberta jest nadal ośrodkowa.

Operatory na przestrzeni Foka[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie ustalonym elementem przestrzeni

Operatory anihilacji i kreacji na symetrycznej przestrzeni Foka[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Operatory kreacji i anihilacji.

Funkcje

dane wzorami

można, zgodnie z twierdzeniem o operatorze liniowym zadanym na bazie, przedłużyć do operatorów liniowych określonych na w sposób jednoznaczny ze względu na fakt, że zbiór jest liniowo niezależny.

Podprzestrzeń jest gęsta w tak więc i są operatorami domkniętymi.

Ponadto zachodzą pomiędzy nimi następujące relacje:

[5],

przy czym inkluzję powyżej należy rozumieć w sensie zawierania wykresów operatorów.

Operatory anihilacji i kreacji definiuje się, odpowiednio, poprzez zależności

oraz

Operatory te są więc wzajemnie do siebie sprzężone. Zbiór jest ich dziedziną istotną (podobnie jak na mocy definicji), gdzie określone są one następującymi wzorami:

oraz

Innymi słowy, operator anihilacji przenosi stany z przestrzeni do cząstkowej, a operator kreacji z przestrzeni do -cząstkowej.

Maksymalną dziedziną na jakiej są one zdefiniowane (jako domkniętę operatory wzajemnie sprzężone) jest odpowiednio, dla operatora anihilacji

oraz dla operatora kreacji

[6].

Ponadto zachodą pomiędzy nimi tzw. relacje CCR i CAR (ang. canonical commutation relations i canonical anticommutation relations):

gdzie oznacza komutator operatorów, a ich antykomutator. Relacja CAR jest związana z tzw. regułą Pauliego mówiącą, iż żadne dwa fermiony nie mogą w jednej chwili występować w tym samym stanie kwantowym.

Operatory anihilacji i kreacji na symetrycznej przestrzeni Foka są operatorami nieograniczonymi. W szczególności,

W literaturze używana bywa również notacja Diraca w kontekście operatorów anihilacji – i kreacji – przy czym wektor „bra” jest elementem przestrzeni sprzężonej do

Operator liczby cząstek[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Operator liczby cząstek.

Operator liczby cząstek na określony jest w następujący sposób:

gdzie:

Operator liczby cząstek jest operatorem dodatnim (w szczególności, jest on operatorem samosprzężonym) na Z dodatniości wynika, że można w sposób jednoznaczny określić jego pierwiastek

Zbiór jest dziedziną istotną operatora tzn. jest domknięciem obcięcia operatora do zbioru W szczególności, dla dowolnej funkcji operator jest zdefiniowany poprzez rachunek funkcyjny dla operatorów samosprzężonych:

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Przestrzeń wykładnicza ciała liczb zespolonych

Dla każdej liczby naturalnej iloczyn tensorowy można w naturalny sposób utożsamić z skąd

Dla każdej liczby zespolonej wektor wykładniczy z nią stowarzyszony jest postaci

i należy do przestrzeni

Niech będzie standardowym rozkładem normalnym (Gaussa) na prostej. W przestrzeni rozważa się tzw. funkcję tworzącą, zdefiniowaną przy pomocy wielomianów Hermite’a:

gdzie jest wielomianem Hermite’a stopnia

Istnieje dokładnie jeden taki izometryczny izomorfizm że

Przestrzeń Foka nad przestrzenią funkcji całkowalnych z kwadratem na półprostej

Niech będzie standardowym procesem Wienera (ruchem Browna) z odpowiadającą mu miarą probabilistyczną na przestrzeni funkcji ciągłych Dla dowolnej funkcji zespolonej będącej elementem przestrzeni (z miarą Lebesgue’a), niech

oznacza jej całkę stochastyczną Wienera względem procesu Istnieje wówczas dokładnie jeden izometryczny izomorfizm

który spełnia warunek

Związek pomiędzy procesami gaussowskimi a przestrzenią Foka został zauważony w pracy I.E. Segala z 1959 roku[7].

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. V. Fock. Konfigurationsraum und zweite Quantelung. „Zeitschrift für Physik”. 75 (9/10), s. 622–647, 1932. DOI: 10.1007/BF01344458. 
  2. J.M. Cook. The Mathematics of Second Quantization. „Transactions of the American Mathematical Society”. 74 (2), s. 222–245, 1953. DOI: 10.1073/pnas.37.7.417. 
  3. Fock Space. W: Paul-André Meyer: Quantum Probability for Probabilists. Berlin: Springer, 1995, s. 59. ISBN 3-540-60270-4. (ang.)
  4. H. Araki, J.E. Woods. Complete Boolean algebras of type I factors. „Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences”. 2 (2), s. 157–242, 1966. DOI: 10.2977/prims/1195195888. 
  5. Spaces and Operators. W: J. Martin Lindsay: Quantum Stochastic Analysis in Quantum Independent Increment Processes I: From Classical Probability to Quantum Stochastic Calculus (Lecture Notes in Mathematics) (v. 1). Berlin: Springer-Verlag, 2005, s. 2007. ISBN 978-3540244066. (ang.)
  6. Fock Space. W: Paul-André Meyer: Quantum Probability for Probabilists. Berlin: Springer, 1995, s. 61. ISBN 3-540-60270-4. (ang.)
  7. I.E. Segal. Les Problems Mathematiques de la Theorie Quantique des Champs. „Centre Nationale de Recherche Scientifique”, s. 57–103, 1959. Paryż. 

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Chapter II: Observables and States in Tensor Product Of Hilbert Spaces. W: Kalyanapuram Rangachari Parthasarathy: An Introduction to Quantum Stochastic Calculus. Berlin: Springer, 1992, s. 123–134. ISBN 3-7643-2697-2. (ang.)
  • Spaces and Operators. W: J. Martin Lindsay: Quantum Stochastic Analysis in Quantum Independent Increment Processes I: From Classical Probability to Quantum Stochastic Calculus (Lecture Notes in Mathematics) (v. 1). Berlin: Springer-Verlag, 2005, s. 201–210. ISBN 978-3540244066. (ang.)
  • Hilbert Spaces. W: Michael Reed, Barry Simon: Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis. Berlin: Academic Press, 1980, s. 53–54. ISBN 978-0125850506. (ang.)
  • Self-adjointness. W: Michael Reed, Barry Simon: Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 2: Fourier Analysis, Self-Adjointness. Academic Press, 1975, s. 207–209. ISBN 0-12-585002-6. (ang.)