Przestrzeń Foka

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Przestrzeń Foka nad daną przestrzenią Hilberta suma prosta przestrzeni Hilberta będących kolejnymi iteracjami iloczynu tensorowego przestrzeni . W zależności od doboru iloczynu tensorowego (zwyczajny, symetryczny, niesymetryczny) definiuje się trzy warianty pojęcia przestrzeni Foka (tj. pełną przestrzeń Foka, symetryczną i niesymetryczną). Pojęcie przestrzeni Foka pozwala w mechanice kwantowej na algebraizację opisu stanów kwantowych układów o nieznanej liczbie cząstek.

Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska rosyjskiego fizyka, Władimira A. Foka, który jako pierwszy zdefiniował je w roku 1932[1] dla przestrzeni funkcji całkowalnych z kwadratem na prostej z miarą Lebesgue'a. Ścisła matematyzacja pojęcia pochodzi od J.M. Cooka[2]. W teorii prawdopodobieństwa elementy przestrzeni Foka interpretuje się jako zmienne losowe[3].

Czasami w polskojęzycznej literaturze używana jest angielska transkrypcja nazwiska W. Foka, skąd spotykana bywa pisownia przestrzeń Focka.

Motywacja[edytuj]

Jeżeli jest przestrzenią Hilberta opisującą układ składający się z jednej cząstki, to iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta opisuje układ składający się z dwóch cząstek tego samego typu. Podobnie przestrzeń

opisuje układ cząstek tego samego typu. Układ o dowolnej liczbie cząstek, w którym występują zjawiska ich kreacji oraz anihilacji, można opisać jako sumę prostą przestrzeni Hilberta będących kolejnymi iteracjami iloczynu tensorowego tj.

.

W zależności od tego, czy w danym układzie występują bozony, czy też fermiony, należy dokonać odpowiednio symetryzacji (poprzez symetryczny iloczyn tensorowy) bądź też antysymetryzacji (poprzez antysymetryczny) przestrzeni

.

Symetryczny i antysymetryczny iloczyn tensorowy w przestrzeni Hilberta[edytuj]

Niech oraz Sn oznacza grupę permutacji zbioru {1, 2, ..., n}. Element przestrzeni

postaci

,

gdzie

,

nazywany jest symetrycznym iloczynem tensorowym elementów u1, ..., un, natomiast element postaci

nazywany jest antysymetrycznym iloczynem tensorowym elementów u1, ..., un, przy czym symbol oznacza znak permutacji (co w tym kontekście oznacza również symbol Leviego-Civity).

Domknięcie podprzestrzeni liniowej przestrzeni , generowanej przez wektory (odpowiednio ), gdzie u1, ..., un przebiegają całą przestrzeń , nazywane jest n-tym symetrycznym (odpowiednio antysymetrycznym) iloczynem tensorowym przestrzeni i oznaczane symbolem (odpowiednio, w przypadku antysymetrycznym).

Konstrukcja przestrzeni Foka i jej warianty[edytuj]

W zależności od używanego rodzaju iloczynu tensorowego (zwyczajny, symetryczny, antysymetryczny) dla danej przestrzeni Hilberta definiuje się

  • pełną przestrzeń Foka (inne nazwy: wolna przestrzeń Foka, przestrzeń Maxwella-Boltzmana) nad :
.

Inne oznaczenia: , bądź .

  • symetryczną przestrzeń Foka (inna nazwa: bozonowa przestrzeń Foka) nad :
.

Inne oznaczenia: .

  • antysymetryczną przestrzeń Foka (inna nazwa: fermionowa przestrzeń Foka) nad :
.

Inne oznaczenia: .

Symbol sumy prostej, użyty powyżej, oznacza sumę prostą przestrzeni Hilberta. W szczególności, wszystkie zdefiniowane wyżej przestrzenie są przestrzeniami Hilberta.

W każdym z powyższych przypadków, -ty składnik sumy prostej nazywany jest podprzestrzenią -tej cząstki, a jej elementy wektorami -tej cząstki.

Każdy element pełnej (odpowiednio, symetrycznej i antysymetrycznej) przestrzeni Foka jest postaci

,

(często nieformalnie dla skrócenia długości zapisu pisze się krótko , bądź ), gdzie jest elementem przestrzeni (odpowiednio, , ) oraz

.

Wektor

(zapisywany często w postaci sumy prostej )

nazywany jest wektorem próżni (stanem próżni) i oznaczany symbolem , bądź .

Przestrzeń liniowa generowana przez wektory postaci , gdzie przebiega zbiór liczb naturalnych, a przestrzeń , tj.

,

jest gęstą podprzestrzenią przestrzeni . Przestrzeń nazywana jest przestrzenią skończonej liczby cząstek.

Przestrzeń Foka jako wykładnicza przestrzeń Hilberta[edytuj]

Dla każdego elementu przestrzeni wzór:

określa element przestrzeni , nazywany wektorem wykładniczym (bądź eksponencjalnym) wektora . W szczególności, wektor próżni jest wektorem eksponencjalnym .

Jeżeli i należą do , to

.

Dla dowolnego podzbioru przestrzeni symbol oznacza podprzestrzeń

.

W szczególności, gdy można pisać krótko . Zbiór jest liniowo niezależny. Co więcej, jest gęstą podprzestrzenią przestrzeni .

Przestrzeń Foka nad sumą prostą przestrzeni Hilberta

Jeżeli , są przestrzeniami Hilberta, to

,

przy czym równość w tym przypadku rozumie się z dokładnością do izomorfizmu. Jeżeli przyjąć notację , to powyższy wzór przybiera postać

,

co tłumaczyć może dlaczego przestrzeń Foka bywa nazywana czasem wykładniczą przestrzenią Hilberta (nazwa pojęcia wykładnicza przestrzeń Hilberta pochodzi od H. Arakiego i J.E. Woodsa[4] i została wprowadzona dla symetrycznej przestrzeni Foka w kontekście algebr Boole'a operatorów rzutu na przestrzeniach Hilberta).

Baza przestrzeni Foka[edytuj]

Jeżeli jest ośrodkową przestrzenią Hilberta oraz jest jej bazą ortonormalną, to zbiory

  • ,
  • ,
  • ,

są bazami ortonormalnymi, odpowiednio, przestrzeni , i . Wszystkie opisane wyżej bazy są przeliczalne, a więc (dowolnego rodzaju) przestrzeń Foka nad ośrodkową przestrzenią Hilberta jest nadal ośrodkowa.

Operatory na przestrzeni Foka[edytuj]

Niech będzie ustalonym elementem przestrzeni .

Operatory anihilacji i kreacji na symetrycznej przestrzeni Foka[edytuj]

 Osobny artykuł: Operatory kreacji i anihilacji.

Funkcje

dane wzorami

,

można, zgodnie z twierdzeniem o operatorze liniowym zadanym na bazie, przedłużyć do operatorów liniowych określonych na w sposób jednoznaczny ze względu na fakt, że zbiór jest liniowo niezależny.

Podprzestrzeń jest gęsta w , tak więc i są operatorami domkniętymi.

Ponadto zachodzą pomiędzy nimi następujące relacje:

[5]

przy czym inkluzję powyżej należy rozumieć w sensie zawierania wykresów operatorów.

Operatory anihilacji i kreacji definiuje się, odpowiednio, poprzez zależności

oraz

.

Operatory te są więc wzajemnie do siebie sprzężone. Zbiór jest ich dziedziną istotną (podobnie jak , na mocy definicji), gdzie określone są one następującymi wzorami:

oraz

Innymi słowy, operator anihilacji przenosi stany z przestrzeni do cząstkowej, a operator kreacji z przestrzeni - do -cząstkowej.

Maksymalną dziedziną na jakiej są one zdefiniowane (jako domkniętę operatory wzajemnie sprzężone) jest odpowiednio, dla operatora anihilacji

,

oraz dla operatora kreacji

[6].

Ponadto zachodą pomiędzy nimi tzw. relacje CCR i CAR (ang. canonical commutation relations i canonical anticommutation relations):

,

gdzie oznacza komutator operatorów, a ich antykomutator. Relacja CAR jest związana z tzw. regułą Pauliego mówiącą, iż żadne dwa fermiony nie mogą w jednej chwili występować w tym samym stanie kwantowym.

Operatory anihilacji i kreacji na symetrycznej przestrzeni Foka są operatorami nieograniczonymi. W szczególności,

W literaturze używana bywa również notacja Diraca w kontekście operatorów anihilacji – i kreacji – , przy czym wektor "bra" jest elementem przestrzeni sprzężonej do .

Operator liczby cząstek[edytuj]

 Osobny artykuł: Operator liczby cząstek.

Operator liczby cząstek na określony jest w następujący sposób:

,

gdzie

.

Operator liczby cząstek jest operatorem dodatnim (w szczególności, jest on operatorem samosprzężonym) na . Z dodatniości wynika, że można w sposób jednoznaczny określić jego pierwiastek .

Zbiór jest dziedziną istotną operatora , tzn. jest domknięciem obcięcia operatora do zbioru . W szczególności, dla dowolnej funkcji , operator jest zdefiniowany poprzez rachunek funkcyjny dla operatorów samosprzężonych:

,
.

Przykłady[edytuj]

Przestrzeń wykładnicza ciała liczb zespolonych

Dla każdej liczby naturalnej iloczyn tensorowy można w naturalny sposób utożsamić z , skąd

.

Dla każdej liczby zespolonej wektor wykładniczy z nią stowarzyszony jest postaci

i należy do przestrzeni .

Niech będzie standardowym rozkładem normalnym (Gaussa) na prostej. W przestrzeni rozważa się tzw. funkcję tworzącą, zdefiniowaną przy pomocy wielomianów Hermite'a:

gdzie jest wielomianem Hermite'a stopnia . Istnieje dokładnie jeden taki izometryczny izomorfizm , że

.
Przestrzeń Foka nad przestrzenią funkcji całkowalnych z kwadratem na półprostej

Niech będzie standardowym procesem Wienera (ruchem Browna) z odpowiadającą mu miarą probabilistyczną na przestrzeni funkcji ciągłych . Dla dowolnej funkcji zespolonej , będącej elementem przestrzeni (z miarą Lebesgue'a), niech

oznacza jej całkę stochastyczną Wienera względem procesu . Istnieje wówczas dokładnie jeden izometryczny izomorfizm

,

który spełnia warunek

.

Związek pomiędzy procesami gaussowskimi a przestrzenią Foka został zauważony w pracy I.E. Segala z 1959 roku[7].

Przypisy

  1. V. Fock. Konfigurationsraum und zweite Quantelung. „Zeitschrift für Physik”. 75 (9/10), s. 622-647, 1932. DOI: 10.1007/BF01344458. 
  2. J.M. Cook. The Mathematics of Second Quantization. „Transactions of the American Mathematical Society”. 74 (2), s. 222-245, 1953. DOI: 10.1073/pnas.37.7.417. 
  3. Fock Space. W: Paul-André Meyer: Quantum Probability for Probabilists. Berlin: Springer, 1995, s. 59. ISBN 3-540-60270-4. (ang.)
  4. H. Araki, J.E. Woods. Complete Boolean algebras of type I factors. „Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences”. 2 (2), s. 157-242, 1966. DOI: 10.2977/prims/1195195888. 
  5. Spaces and Operators. W: J. Martin Lindsay: Quantum Stochastic Analysis in Quantum Independent Increment Processes I: From Classical Probability to Quantum Stochastic Calculus (Lecture Notes in Mathematics) (v. 1). Berlin: Springer-Verlag, 2005, s. 2007. ISBN 978-3540244066. (ang.)
  6. Fock Space. W: Paul-André Meyer: Quantum Probability for Probabilists. Berlin: Springer, 1995, s. 61. ISBN 3-540-60270-4. (ang.)
  7. I.E. Segal. Les Problems Mathematiques de la Theorie Quantique des Champs. „Centre Nationale de Recherche Scientifique”, s. 57-103, 1959. Paryż. 

Bibliografia[edytuj]

  1. Chapter II: Observables and States in Tensor Product Of Hilbert Spaces. W: Kalyanapuram Rangachari Parthasarathy: An Introduction to Quantum Stochastic Calculus. Berlin: Springer, 1992, s. 123-134. ISBN 3764326972. (ang.)
  2. Spaces and Operators. W: J. Martin Lindsay: Quantum Stochastic Analysis in Quantum Independent Increment Processes I: From Classical Probability to Quantum Stochastic Calculus (Lecture Notes in Mathematics) (v. 1). Berlin: Springer-Verlag, 2005, s. 201-210. ISBN 978-3540244066. (ang.)
  3. Hilbert Spaces. W: Michael Reed, Barry Simon: Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis. Berlin: Academic Press, 1980, s. 53-54. ISBN 978-0125850506. (ang.)
  4. Self-adjointness. W: Michael Reed, Barry Simon: Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 2: Fourier Analysis, Self-Adjointness. Academic Press, 1975, s. 207-209. ISBN 0125850026. (ang.)