Przestrzeń Foka nad daną przestrzenią Hilberta
– suma prosta przestrzeni Hilberta będących kolejnymi iteracjami iloczynu tensorowego przestrzeni
. W zależności od doboru iloczynu tensorowego (zwyczajny, symetryczny, niesymetryczny) definiuje się trzy warianty pojęcia przestrzeni Foka (tj. pełną przestrzeń Foka, symetryczną i niesymetryczną). Pojęcie przestrzeni Foka pozwala w mechanice kwantowej na algebraizację opisu stanów kwantowych układów o nieznanej liczbie cząstek.
Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska rosyjskiego fizyka, Władimira A. Foka, który jako pierwszy zdefiniował je w roku 1932[1] dla przestrzeni funkcji całkowalnych z kwadratem na prostej z miarą Lebesgue'a. Ścisła matematyzacja pojęcia pochodzi od J.M. Cooka[2]. W teorii prawdopodobieństwa elementy przestrzeni Foka interpretuje się jako zmienne losowe[3].
Czasami w polskojęzycznej literaturze używana jest angielska transkrypcja nazwiska W. Foka, skąd spotykana bywa pisownia przestrzeń Focka.
Jeżeli
jest przestrzenią Hilberta opisującą układ składający się z jednej cząstki, to iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta
opisuje układ składający się z dwóch cząstek tego samego typu. Podobnie przestrzeń

opisuje układ
cząstek tego samego typu. Układ o dowolnej liczbie cząstek, w którym występują zjawiska ich kreacji oraz anihilacji, można opisać jako sumę prostą przestrzeni Hilberta będących kolejnymi iteracjami iloczynu tensorowego tj.
.
W zależności od tego, czy w danym układzie występują bozony, czy też fermiony, należy dokonać odpowiednio symetryzacji (poprzez symetryczny iloczyn tensorowy) bądź też antysymetryzacji (poprzez antysymetryczny) przestrzeni
.
Symetryczny i antysymetryczny iloczyn tensorowy w przestrzeni Hilberta[edytuj | edytuj kod]
Niech
oraz Sn oznacza grupę permutacji zbioru {1, 2, ..., n}. Element przestrzeni

postaci
,
gdzie
,
nazywany jest symetrycznym iloczynem tensorowym elementów u1, ..., un, natomiast element postaci

nazywany jest antysymetrycznym iloczynem tensorowym elementów u1, ..., un, przy czym symbol
oznacza znak permutacji
(co w tym kontekście oznacza również symbol Leviego-Civity).
Domknięcie podprzestrzeni liniowej przestrzeni
, generowanej przez wektory
(odpowiednio
), gdzie u1, ..., un przebiegają całą przestrzeń
, nazywane jest n-tym symetrycznym (odpowiednio antysymetrycznym) iloczynem tensorowym przestrzeni
i oznaczane symbolem
(odpowiednio,
w przypadku antysymetrycznym).
Konstrukcja przestrzeni Foka i jej warianty[edytuj | edytuj kod]
W zależności od używanego rodzaju iloczynu tensorowego (zwyczajny, symetryczny, antysymetryczny) dla danej przestrzeni Hilberta
definiuje się
- pełną przestrzeń Foka (inne nazwy: wolna przestrzeń Foka, przestrzeń Maxwella-Boltzmana) nad
:
.
Inne oznaczenia:
, bądź
.
- symetryczną przestrzeń Foka (inna nazwa: bozonowa przestrzeń Foka) nad
:
.
Inne oznaczenia:
.
- antysymetryczną przestrzeń Foka (inna nazwa: fermionowa przestrzeń Foka) nad
:
.
Inne oznaczenia:
.
Symbol sumy prostej, użyty powyżej, oznacza sumę prostą przestrzeni Hilberta. W szczególności, wszystkie zdefiniowane wyżej przestrzenie są przestrzeniami Hilberta.
W każdym z powyższych przypadków,
-ty składnik sumy prostej nazywany jest podprzestrzenią
-tej cząstki, a jej elementy wektorami
-tej cząstki.
Każdy element
pełnej (odpowiednio, symetrycznej i antysymetrycznej) przestrzeni Foka jest postaci
,
(często nieformalnie dla skrócenia długości zapisu pisze się krótko
, bądź
), gdzie
jest elementem przestrzeni
(odpowiednio,
,
) oraz
.
Wektor
(zapisywany często w postaci sumy prostej
)
nazywany jest wektorem próżni (stanem próżni) i oznaczany symbolem
, bądź
.
Przestrzeń liniowa
generowana przez wektory postaci
, gdzie
przebiega zbiór liczb naturalnych, a
przestrzeń
, tj.
,
jest gęstą podprzestrzenią przestrzeni
. Przestrzeń
nazywana jest przestrzenią skończonej liczby cząstek.
Przestrzeń Foka jako wykładnicza przestrzeń Hilberta[edytuj | edytuj kod]
Dla każdego elementu
przestrzeni
wzór:

określa element przestrzeni
, nazywany wektorem wykładniczym (bądź eksponencjalnym) wektora
. W szczególności, wektor próżni jest wektorem eksponencjalnym
.
Jeżeli
i
należą do
, to
.
Dla dowolnego podzbioru
przestrzeni
symbol
oznacza podprzestrzeń
.
W szczególności, gdy
można pisać krótko
. Zbiór
jest liniowo niezależny. Co więcej,
jest gęstą podprzestrzenią przestrzeni
.
- Przestrzeń Foka nad sumą prostą przestrzeni Hilberta
Jeżeli
,
są przestrzeniami Hilberta, to
,
przy czym równość w tym przypadku rozumie się z dokładnością do izomorfizmu. Jeżeli przyjąć notację
, to powyższy wzór przybiera postać
,
co tłumaczyć może dlaczego przestrzeń Foka bywa nazywana czasem wykładniczą przestrzenią Hilberta (nazwa pojęcia wykładnicza przestrzeń Hilberta pochodzi od H. Arakiego i J.E. Woodsa[4] i została wprowadzona dla symetrycznej przestrzeni Foka w kontekście algebr Boole’a operatorów rzutu na przestrzeniach Hilberta).
Jeżeli
jest ośrodkową przestrzenią Hilberta oraz
jest jej bazą ortonormalną, to zbiory
,
,
,
są bazami ortonormalnymi, odpowiednio, przestrzeni
,
i
. Wszystkie opisane wyżej bazy są przeliczalne, a więc (dowolnego rodzaju) przestrzeń Foka nad ośrodkową przestrzenią Hilberta jest nadal ośrodkowa.
Operatory na przestrzeni Foka[edytuj | edytuj kod]
Niech
będzie ustalonym elementem przestrzeni
.
Operatory anihilacji i kreacji na symetrycznej przestrzeni Foka[edytuj | edytuj kod]
-
Funkcje


dane wzorami
,

można, zgodnie z twierdzeniem o operatorze liniowym zadanym na bazie, przedłużyć do operatorów liniowych określonych na
w sposób jednoznaczny ze względu na fakt, że zbiór
jest liniowo niezależny.
Podprzestrzeń
jest gęsta w
, tak więc
i
są operatorami domkniętymi.
Ponadto zachodzą pomiędzy nimi następujące relacje:
[5]
przy czym inkluzję powyżej należy rozumieć w sensie zawierania wykresów operatorów.
Operatory anihilacji i kreacji definiuje się, odpowiednio, poprzez zależności

oraz
.
Operatory te są więc wzajemnie do siebie sprzężone. Zbiór
jest ich dziedziną istotną (podobnie jak
, na mocy definicji), gdzie określone są one następującymi wzorami:

oraz

Innymi słowy, operator anihilacji przenosi stany z przestrzeni
do
cząstkowej, a operator kreacji z przestrzeni
- do
-cząstkowej.
Maksymalną dziedziną na jakiej są one zdefiniowane (jako domkniętę operatory wzajemnie sprzężone) jest odpowiednio, dla operatora anihilacji
,
oraz dla operatora kreacji
[6].
Ponadto zachodą pomiędzy nimi tzw. relacje CCR i CAR (ang. canonical commutation relations i canonical anticommutation relations):
,

gdzie
oznacza komutator operatorów, a
ich antykomutator. Relacja CAR jest związana z tzw. regułą Pauliego mówiącą, iż żadne dwa fermiony nie mogą w jednej chwili występować w tym samym stanie kwantowym.
Operatory anihilacji i kreacji na symetrycznej przestrzeni Foka są operatorami nieograniczonymi. W szczególności,

W literaturze używana bywa również notacja Diraca w kontekście operatorów anihilacji –
i kreacji –
, przy czym wektor „bra” jest elementem przestrzeni sprzężonej do
.
-
Operator liczby cząstek
na
określony jest w następujący sposób:
,
gdzie
.
Operator liczby cząstek jest operatorem dodatnim (w szczególności, jest on operatorem samosprzężonym) na
. Z dodatniości wynika, że można w sposób jednoznaczny określić jego pierwiastek
.
Zbiór
jest dziedziną istotną operatora
, tzn. jest domknięciem obcięcia operatora
do zbioru
. W szczególności, dla dowolnej funkcji
, operator
jest zdefiniowany poprzez rachunek funkcyjny dla operatorów samosprzężonych:
,
.
- Przestrzeń wykładnicza ciała liczb zespolonych
Dla każdej liczby naturalnej
iloczyn tensorowy
można w naturalny sposób utożsamić z
, skąd
.
Dla każdej liczby zespolonej
wektor wykładniczy z nią stowarzyszony jest postaci

i należy do przestrzeni
.
Niech
będzie standardowym rozkładem normalnym (Gaussa) na prostej. W przestrzeni
rozważa się tzw. funkcję tworzącą, zdefiniowaną przy pomocy wielomianów Hermite'a:

gdzie
jest wielomianem Hermite'a stopnia
. Istnieje dokładnie jeden taki izometryczny izomorfizm
, że
.
- Przestrzeń Foka nad przestrzenią funkcji całkowalnych z kwadratem na półprostej
Niech
będzie standardowym procesem Wienera (ruchem Browna) z odpowiadającą mu miarą probabilistyczną
na przestrzeni funkcji ciągłych
. Dla dowolnej funkcji zespolonej
, będącej elementem przestrzeni
(z miarą Lebesgue'a), niech

oznacza jej całkę stochastyczną Wienera względem procesu
. Istnieje wówczas dokładnie jeden izometryczny izomorfizm
,
który spełnia warunek
.
Związek pomiędzy procesami gaussowskimi a przestrzenią Foka został zauważony w pracy I.E. Segala z 1959 roku[7].
- ↑ V. Fock. Konfigurationsraum und zweite Quantelung. „Zeitschrift für Physik”. 75 (9/10), s. 622-647, 1932. DOI: 10.1007/BF01344458.
- ↑ J.M. Cook. The Mathematics of Second Quantization. „Transactions of the American Mathematical Society”. 74 (2), s. 222-245, 1953. DOI: 10.1073/pnas.37.7.417.
- ↑ Fock Space. W: Paul-André Meyer: Quantum Probability for Probabilists. Berlin: Springer, 1995, s. 59. ISBN 3-540-60270-4. (ang.)
- ↑ H. Araki, J.E. Woods. Complete Boolean algebras of type I factors. „Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences”. 2 (2), s. 157-242, 1966. DOI: 10.2977/prims/1195195888.
- ↑ Spaces and Operators. W: J. Martin Lindsay: Quantum Stochastic Analysis in Quantum Independent Increment Processes I: From Classical Probability to Quantum Stochastic Calculus (Lecture Notes in Mathematics) (v. 1). Berlin: Springer-Verlag, 2005, s. 2007. ISBN 978-3540244066. (ang.)
- ↑ Fock Space. W: Paul-André Meyer: Quantum Probability for Probabilists. Berlin: Springer, 1995, s. 61. ISBN 3-540-60270-4. (ang.)
- ↑ I.E. Segal. Les Problems Mathematiques de la Theorie Quantique des Champs. „Centre Nationale de Recherche Scientifique”, s. 57-103, 1959. Paryż.
- Chapter II: Observables and States in Tensor Product Of Hilbert Spaces. W: Kalyanapuram Rangachari Parthasarathy: An Introduction to Quantum Stochastic Calculus. Berlin: Springer, 1992, s. 123-134. ISBN 3-7643-2697-2. (ang.)
- Spaces and Operators. W: J. Martin Lindsay: Quantum Stochastic Analysis in Quantum Independent Increment Processes I: From Classical Probability to Quantum Stochastic Calculus (Lecture Notes in Mathematics) (v. 1). Berlin: Springer-Verlag, 2005, s. 201-210. ISBN 978-3540244066. (ang.)
- Hilbert Spaces. W: Michael Reed, Barry Simon: Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis. Berlin: Academic Press, 1980, s. 53-54. ISBN 978-0125850506. (ang.)
- Self-adjointness. W: Michael Reed, Barry Simon: Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 2: Fourier Analysis, Self-Adjointness. Academic Press, 1975, s. 207-209. ISBN 0-12-585002-6. (ang.)