Przestrzeń Hewitta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Przestrzeń Hewitta (albo Q-przestrzeń; w literaturze anglojęzycznej realcompact space) - przestrzeń topologiczna, która jest homeomorficzna z podzbiorem domkniętym produktu kopii prostej rzeczywistej dla pewnej liczby kardynalnej . Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska matematyka, Edwina Hewitta, który rozważał tego typu przestrzenie w swojej pracy z roku 1948[1].

Własności[edytuj kod]

Przestrzeń Tichonowa jest przestrzenią Hewitta wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje taka przestrzeń Tichonowa , że

  1. istnieje zanurzenie homeomorficzne takie, że ,
  2. dla każdego przekształcenia istnieje przekształcenie takie, że .

Z definicji przestrzeni Hewitta wynikają następujące własności:

  • domknięty podzbiór przestrzeni Hewitta jest przestrzenią Hewitta,
  • produkt dowolnej rodziny przestrzeni Hewitta jest przestrzenią Hewitta,
  • granica odwrotna systemu odwrotnego przestrzeni Hewitta jest przestrzenią Hewitta,
  • przekrój rodziny podprzestrzeni będących przestrzeniami Hewitta, pewnej przestrzeni topologicznej jest przestrzenią Hewitta.

Inną charakteryzację tej klasy przestrzeni można podać w języku uzwarceń Čecha-Stone’a:

  • przestrzeń Tichonowa jest przestrzenią Hewitta wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktu istnieje funkcja taka, że oraz dla .

Wnioskiem z tego twierdzenia jest następujący fakt:

Twierdzenie Hewitta[edytuj kod]

Istnieje charakteryzacja klasy przestrzeni Hewitta w języku dwuwartościowych miar Baire'a. Jest to tzw. twierdzenie Hewitta:

  • Przestrzeń Tichonowa jest przetrzenią Hewitta wtedy i tylko wtedy każda miara jest miarą Diraca,

gdzie oznacza rodzinę podzbiorów o własności Baire'a. Nie każda przestrzeń Tichonowa jest przestrzenią Hewitta - np. miara Dieudonnégo, określona na , nie jest miarą Diraca. Ponadto, przestrzeń jest przestrzenią Hewitta wtedy i tylko wtedy, gdy jest liczbą niemierzalną.

Przypisy

  1. Hewitt E., Rings of real-valued continuous functions I, Transactions of the American Mathematical Society 64 (1948) ss. 45-99

Bibliografia[edytuj kod]

  • Engelking R., Topologia ogólna, PWN, Warszawa 1976, ss. 266-274.