Przestrzeń Schwartza

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Przestrzeń Schwartza – w analizie harmonicznej jest to przestrzeń funkcyjna wszystkich funkcji o szybko malejących pochodnych. Tak określona przestrzeń ma ważną własność – transformata Fouriera jest automorfizmem na tej przestrzeni. Umożliwia to zdefiniowanie transformaty Fouriera dla elementów w przestrzeni do niej sprzężonej czyli dla dystrybucji temperowanych. Funkcje z przestrzeni Schwartza są czasami nazywane funkcjami Schwartza.

Dwuwymiarowa funkcja gaussowska jest przykładem szybko malejącej funkcji.

Przestrzeń Schwartza została nazwana na cześć francuskiego matematyka Laurenta Schwartza.

Motywacja[edytuj | edytuj kod]

Ideą stojącą za przestrzeniami Schwartza jest stworzenie zbioru wszystkich funkcji gładkich w których pochodne szybko maleją do zera. Możemy tego dokonać przez rozważenie wszystkich możliwych pochodnych cząstkowych (gdzie oznacza wielowskaźnik) na gładkiej funkcji o wartościach zespolonych i wzięcie supremum wszystkich możliwych wartości pomnożonych przez dowolny jednomian i żądając, aby supremum było ograniczone. Ściślej możemy zapisać to w postaci:

Warto zwrócić uwagę, że gdybyśmy wymagali tylko ograniczenia pochodnych, to znaczy:

wynikałoby z tego, że wszystkie możliwe pochodne funkcji gładkiej muszą być ograniczone pewną stałą czyli:

Na przykład dla gładkiej funkcji o wartościach zespolonych danej wzorem mamy co jest funkcją nieograniczoną, więc żaden wielomian nie należy do tej przestrzeni. Jeżeli jednak dodatkowo będziemy wymagać pierwotnej nierówności (tj. z jednomianem ), to wynik ten jest jeszcze silniejszy, ponieważ implikuje nierówność

dla każdego i pewnych stałych

gdyż

Świadczy to o tym, że tempo wzrostu wszystkich pochodnych funkcji musi być znacznie mniejsze niż odwrotność dowolnego jednomianu.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie zbiorem liczb naturalnych (z zerem) i ustalmy Przestrzeń Schwartza lub inaczej przestrzeń funkcji szybko malejących na jest przestrzenią funkcji:

gdzie jest przestrzenią funkcji gładkich z do a do tego:

Przykłady funkcji z przestrzeni Schwartza[edytuj | edytuj kod]

  • Każda funkcja gładka o zwartym nośniku należy do Jest to oczywiste, ponieważ każda pochodna jest ciągła i ma ten sam, zwarty nośnik co więc ma maksimum na gdyż każda funkcja ciągła na zbiorze zwartym przyjmuje swoje maksimum.
  • Ponieważ przestrzeń Schwartza jest przestrzenią liniową, dowolny wielomian można pomnożyć przez współczynnik dla dowolnej stałej aby otrzymać element przestrzeni Schwarza. W szczególności istnieje zanurzenie przestrzeni wielomianów na w przestrzeni Schwartza.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Własności analityczne[edytuj | edytuj kod]

  • Ze wzoru Leibniza wynika, że jest zamknięte na mnożenie punktowe – jeśli to także iloczyn
  • Transformacja Fouriera zadaje liniowy izomorfizm
  • Jeśli to jest jednostajnie ciągła na

Związek przestrzeni Schwartza z innymi przestrzeniami liniowo-topologicznymi[edytuj | edytuj kod]

  • Jeśli to
  • Jeśli to jest gęsty w
  • Przestrzeń wszystkich funkcji gładkich o nośniku zwartym jest zawarta w a nawet jej gęstym podzbiorem.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • L. Hörmander: The Analysis of Linear Partial Differential Operators I (Distribution theory and Fourier Analysis). Wyd. 2nd. Berlin: Springer-Verlag, 1990. ISBN 3-540-52343-X.
  • M. Reed, B. Simon: Methods of Modern Mathematical Physics: Functional Analysis I. Wyd. Revised and enlarged. San Diego: Academic Press, 1980. ISBN 0-12-585050-6.
  • Elias M. Stein, Rami Shakarchi: Fourier Analysis: An Introduction (Princeton Lectures in Analysis I). Princeton: Princeton University Press, 2003. ISBN 0-691-11384-X.