Przestrzeń Sobolewa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Przestrzeń Sobolewaprzestrzeń Banacha funkcji będących elementami przestrzeni , których słabe pochodne (ustalonego rzędu) istnieją i również należą do Przestrzenie Sobolewa są szeroko wykorzystywanym narzędziem nowoczesnej teorii równań różniczkowych cząstkowych.

Konstrukcja[edytuj | edytuj kod]

Niech i będą ustalonymi liczbami naturalnymi, będzie liczbą z przedziału [1, ∞] oraz będzie otwartym podzbiorem Przestrzenią Sobolewa nazywa się przestrzeń wszystkich tych funkcji dla których gdzie jest wielowskaźnikiem spełniającym warunek

oraz symbol oznacza słabą pochodną funkcji rzędu

Przestrzeń jest przestrzenią Banacha z normą daną wzorem

w przypadku oraz:

w przypadku

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Przestrzeń jest przestrzenią Hilberta z iloczynem skalarnym danym wzorem

Przestrzenie sprzężone do przestrzeni Sobolewa[edytuj | edytuj kod]

Przestrzeń sprzężona do przestrzeni Sobolewa dla jest izometrycznie izomorficzna z pewną podprzestrzenią przestrzeni dystrybucji na (podprzestrzeń ta jest wyposażona w normę związaną z normą w przestrzeni Sobolewa – przestrzeń dystrybucji nie jest przestrzenią normowalną).

Niech oznacza liczbę wszystkich wielowskaźników o długości (sumie) nie większej od tzn.

oraz Przestrzeń jest przestrzenią Banacha z normą

Przestrzeń sprzężona jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią złożoną z tych dystrybucji na dla których

dla pewnego oraz jest wykładnikiem sprzężonym do Ponadto,

gdzie kres brany jest po wszystkich dla których można przedstawić w powyższej postaci.

Istnieje inny sposób charakteryzacji przestrzeni dla Przestrzeń można utożsamiać z uzupełnieniem przestrzeni

wyposażonej w normę

tzn.

gdzie jest wykładnikiem sprzężonym do

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]