Przestrzeń Sobolewa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Przestrzeń Sobolewaprzestrzeń Banacha funkcji będących elementami przestrzeni , których słabe pochodne (ustalonego rzędu) istnieją i również należą do . Przestrzenie Sobolewa są szeroko wykorzystywanym narzędziem nowoczesnej teorii równań różniczkowych cząstkowych.

Konstrukcja[edytuj]

Niech i będą ustalonymi liczbami naturalnymi, będzie liczbą z przedziału [1, ∞] oraz będzie otwartym podzbiorem . Przestrzenią Sobolewa nazywa się przestrzeń wszystkich tych funkcji funkcji dla których , gdzie jest wielowskaźnikiem spełniającym warunek

,

oraz symbol oznacza słabą pochodną funkcji rzędu .

Przestrzeń jest przestrzenią Banacha z normą daną wzorem

,

w przypadku 1 ≤ p < ∞ oraz:

w przypadku p = ∞.

Własności[edytuj]

  • .
  • Przestrzeń jest przestrzenią Hilberta z iloczynem skalarnym danym wzorem
.

Przestrzenie sprzężone do przestrzeni Sobolewa[edytuj]

Przestrzeń sprzężona do przestrzeni Sobolewa dla 1 ≤ p < ∞ jest izometrycznie izomorficzna z pewną podprzestrzenią przestrzeni dystrybucji na (podprzestrzeń ta jest wyposażona w normę związaną z normą w przestrzeni Sobolewa – przestrzeń dystrybucji nie jest przestrzenią normowalną).

Niech oznacza liczbę wszystkich wielowskaźników o długości (sumie) nie większej od , tzn.

oraz . Przestrzeń jest przestrzenią Banacha z normą

.

Przestrzeń sprzężona jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią złożoną z tych dystrybucji na , dla których

,

dla pewnego oraz jest wykładnikiem sprzężonym do . Ponadto,

,

gdzie kres brany jest po wszystkich , dla których można przedstawić w powyższej postaci.

Istnieje inny sposób charakteryzacji przestrzeni dla 1 ≤ p < ∞: Przestrzeń można utożsamiać z uzupełnieniem przestrzeni

wyposażonej w normę

,

tzn.

gdzie jest wykładnikiem sprzężonym do .

Bibliografia[edytuj]

  1. Lawrence C. Evans: Równania różniczkowe cząstkowe. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2002.