Przestrzeń T4

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Przestrzeń normalna i przestrzeń T4 to terminy w topologii opisujące tę samą lub bardzo pokrewne własności oddzielania.

Mówi się, że w przestrzeni topologicznej rozłączne zbiory domknięte mogą być oddzielane przez zbiory otwarte jeśli dla każdych rozłącznych zbiorów domkniętych można znaleźć takie rozłączne zbiory otwarte że

i
Zbiory domknięte i przedstawione jako zaczernione obszary są rozdzielone przez ich odpowiednie otoczenia otwarte i przedstawione tutaj jako większe okręgi

Czasami w sytuacji jak przedstawiona na rysunku powyżej mówi się, że zbiory domknięte są rozdzielone przez otoczenia otwarte

Przestrzeń topologiczna jest przestrzenią normalną (albo ) wtedy i tylko wtedy, gdy jest przestrzenią T1 w której rozłączne zbiory domknięte mogą być oddzielane przez zbiory otwarte.

Dyskusja nazewnictwa[edytuj | edytuj kod]

Istnieją pewne niekonsekwencje w użyciu terminów przestrzeń normalna i przestrzeń T4 w literaturze. Na przykład Kuratowski w swojej monografii[1] definiuje

  • przestrzeń normalną jako przestrzeń topologiczną w której rozłączne zbiory domknięte mogą być oddzielane przez zbiory otwarte i nie wprowadza on pojęcia przestrzeni T4.

Z drugiej strony Engelking definiuje[2]

  • bycie przestrzenią normalną i bycie przestrzenią T4 jako tę samą własność (pokrywającą się z naszym znaczeniem przestrzeni normalnej).

Z powodu tych i podobnych rozbieżności, czytelnik literatury topologicznej powinien zawsze upewnić się co do znaczenia terminów stosowanych w danym artykule czy też książce. Wydaje się jednak że terminologia stosowana przez Engelkinga jest najbardziej popularna i my także będziemy się jej trzymać.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

nie jest przestrzenią normalną (ale jest całkowicie regularna). W tym przykładzie jest uzwarceniem Čecha-Stone’a dyskretnej przestrzeni liczb naturalnych.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Jeśli jest przestrzenią normalną i są jej rozłącznymi podzbiorami domkniętymi, to istnieje taka funkcja ciągła
że dla oraz dla
Jeśli jest przestrzenią normalną, jest jej podzbiorem domkniętym i
jest funkcją ciągłą, to istnieje funkcja ciągła
przedłużająca (tzn. dla wszystkich ).

Produkty przestrzeni normalnych[edytuj | edytuj kod]

Prosta Sorgenfreya jest przestrzenią normalną, ale jej kwadrat nie jest normalny. A.H. Stone udowodnił, że iloczyn kartezjański nieprzeliczalnie wielu niezwartych przestrzeni metrycznych nie jest przestrzenią normalną[3]. Założenia metryczności nie można pominąć, gdyż produkt jest przestrzenią normalną.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. K. Kuratowski, Topology; Volume I. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1966, s. 121.
  2. R. Engelking, General Topology, Helderman, Berlin 1989, s. 40, ​ISBN 3-88538-006-4​.
  3. A.H. Stone, Paracompactness and product spaces, „Bull. Amer. Math. Soc.”, 54, 1948, s. 977–982.