Przestrzeń czasowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Przestrzeń czasowa – w matematyce dowolny domknięty podzbiór liczb rzeczywistych \mathbb R oznaczany \mathbb T. Na przestrzeniach czasowych można rozważać równania Δ-różniczkowe, które są unifikacją równań różniczkowych na \mathbb R i równań różnicowych na \mathbb Z, oraz uogólnieniem na przestrzeniach czasowych.

Funkcje skoku[edytuj | edytuj kod]

Podstawowymi funkcjami opisującymi przestrzeń \mathbb T są funkcje skoku:

\sigma(t) = \inf\{s \in \mathbb{T} : s>t\} funkcja następnika / funkcja skoku przedniego (forward jump operator)
\rho(t) = \sup\{s \in \mathbb{T} : s<t\} funkcja poprzednika / funkcja skoku wstecznego (backward jump operator)
\mu(t) = \sigma(t) \mathbb{}-t funkcja ziarnistości (graininess function)

Klasyfikacja punktów[edytuj | edytuj kod]

Każdy punkt t\in\mathbb{T} ma charakteryzację poprzez funkcje skoku. Punkt t jest:

  • lewostronnie gęsty (left dense) jeżeli \rho(t) =t
  • prawostronnie gęsty (right dense) jeżeli \sigma(t) =t
  • lewostronnie izolowany (left scattered) jeżeli \rho(t)< t
  • prawostronnie izolowany (right scattered) jeżeli \sigma(t) > t
  • gęsty (dense) jeżeli jest jednocześnie lewo- i prawostronnie gęsty
  • izolowany (isolated) jeżeli jednocześnie lewo- i prawostronnie izolowany

Δ-pochodna[edytuj | edytuj kod]

Rozpatrzmy funkcję:

f: \mathbb{T} \rightarrow \mathbb{R},

(R można również zastąpić dowolną przestrzenią Banacha).

Δ-pochodną funkcji f w punkcie t nazwiemy liczbę f^{\Delta}(t) o własności:

\forall_{\varepsilon > 0}\;\exists_{\delta > 0}\;\forall_{s \in B(t,\delta)\cap\mathbb T}\;\;|f(\sigma(t))-f(s)- f^{\Delta}(t)(\sigma(t)-s)|\le \varepsilon|\sigma(t)-s|


  • jeżeli t=\sigma(t) i funkcja f jest ciągła w t, to: f^{\Delta}(t)=\lim_{s \rightarrow t} \frac{f(t)-f(s)}{t-s}
  • jeżeli t < \sigma(t) (i f ciągła w t), to: f^{\Delta}(t)=\frac{f\big(\sigma(t)\big)-f\big(t\big)}{\mu(t)}

Jeśli f i g\Delta różniczkowalne w punkcie t\in \mathbb{T}, to:

  • \mathbb{}(\alpha f+\beta g)^{\Delta}(t)=\alpha f^{\Delta}(t)+\beta g^{\Delta}(t)
  • \mathbb{}(f g)^{\Delta}(t) = f^{\Delta}(t)g(\sigma(t))+f(t)g^{\Delta}(t) = f^{\Delta}(t)g(t)+f(\sigma(t))g^{\Delta}(t)
  • jeżeli dodatkowo g(t)g(\sigma(t))\ne 0 to:
\left(\frac{f}{g}\right)^{\Delta}\!(t) = \frac{f^{\Delta}(t)g(t)-f(t)g^{\Delta}(t)}{g(t)g(\sigma(t))} = \frac{f^{\Delta}(t)g(\sigma(t))-f(\sigma(t))g^{\Delta}(t)}{g(t)g(\sigma(t))}

Całkowanie[edytuj | edytuj kod]

Rozpatrzmy funkcję:

f: \mathbb{T} \rightarrow \mathbb{R}

Funkcją pierwotną funkcji f nazwiemy funkcję F: \mathbb{T} \rightarrow \mathbb{R} taką, że \forall_{t\in\mathbb T} \; F^{\Delta}(t)=f(t)

Funkcję f nazwiemy pg-ciągłą jeżeli jest ciągła w punktach prawostronnie gęstych i istnieje skończona lewostronna granica w punktach lewostronnie gęstych

Twierdzenie

Dla każdej funkcji pg-ciągłej istnieje jej funkcja pierwotna, na dodatek wyznaczona jednoznacznie z dokładnością do stałej.

Powyższe twierdzenie pozwala nam zdefiniować całkę dla funkcji pg-ciągłych:

\int\limits_{t_0}^t f(x) \Delta x \; := F(t) - F(t_0)

Własności całki:

  • \int_a^b\alpha f(t)+\beta g(t)\Delta t=\alpha\int_a^bf(t)\Delta t+\beta\int_a^bg(t)\Delta t
  • \int_t^{\sigma(t)}f(\tau)\Delta\tau=f(t)\mu(t)
  • [a,b]\subset\mathbb{T} \Rightarrow \int_a^bf(t)\Delta t=\int_a^bf(t)dt
  • \int_a^bf(t)\Delta t=-\int_b^af(t)\Delta t
  • \int_a^bf(t)\Delta t=\int_a^cf(t)\Delta t+\int_c^bf(t)\Delta t
  • |f(t)|\leqslant g(t) \Rightarrow \left|\int_a^bf(t)\Delta t\right|\leqslant\int_a^bg(t)dt

Podstawowe przykłady[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli za \mathbb T przyjmiemy \mathbb R, to: \sigma(t)=t, \; \mu(t)=0, \; f^{\Delta}(t)=f'(t), \; \int\limits_{t_0}^t f(x) \Delta x = \int\limits_{t_0}^t f(x) dx


Jeżeli za \mathbb T przyjmiemy \mathbb Z, to: \sigma(t)=t+1, \; \mu(t)=1, \; f^{\Delta}(t)=\Delta f(t), \; \int\limits_{t_0}^t f(x) \Delta x = \sum\limits_{t_0}^{t-1} f(x)

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]