Przestrzeń czasowa

Przestrzeń czasowa – dowolny domknięty podzbiór liczb rzeczywistych $\mathbb {R}$ oznaczany $\mathbb {T} .$ Na przestrzeniach czasowych można rozważać równania Δ-różniczkowe, które są unifikacją równań różniczkowych na $\mathbb {R}$ i równań różnicowych na $\mathbb {Z} ,$ oraz uogólnieniem na przestrzeniach czasowych.

Funkcje skoku

Podstawowymi funkcjami opisującymi przestrzeń $\mathbb {T}$ są funkcje skoku:

$\sigma (t)=\inf\{s\in \mathbb {T} :s>t\}$ funkcja następnika/funkcja skoku przedniego (forward jump operator),

$\rho (t)=\sup\{s\in \mathbb {T} :s<t\}$ funkcja poprzednika/funkcja skoku wstecznego (backward jump operator),

$\mu (t)=\sigma (t)-t$ funkcja ziarnistości (graininess function).

Klasyfikacja punktów

Każdy punkt $t\in \mathbb {T}$ ma charakteryzację poprzez funkcje skoku. Punkt $t$ jest:

• lewostronnie gęsty (left dense) jeżeli $\rho (t)=t,$
• prawostronnie gęsty (right dense) jeżeli $\sigma (t)=t,$
• lewostronnie izolowany (left scattered) jeżeli $\rho (t)<t,$
• prawostronnie izolowany (right scattered) jeżeli $\sigma (t)>t,$
• gęsty (dense) jeżeli jest jednocześnie lewo- i prawostronnie gęsty,
• izolowany (isolated) jeżeli jednocześnie lewo- i prawostronnie izolowany.

Δ-pochodna

Rozpatrzmy funkcję:

$f\colon \mathbb {T} \to \mathbb {R} ,$

(R można również zastąpić dowolną przestrzenią Banacha).

Δ-pochodną funkcji $f$ w punkcie t nazwiemy liczbę $f^{\Delta }(t)$ o własności:

$\forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{\delta >0}\;\forall _{s\in B(t,\delta )\cap \mathbb {T} }\;\;|f(\sigma (t))-f(s)-f^{\Delta }(t)(\sigma (t)-s)|\leqslant \varepsilon |\sigma (t)-s|$

• jeżeli $t=\sigma (t)$ i funkcja $f$ jest ciągła w $t,$ to: $f^{\Delta }(t)=\lim _{s\to t}{\frac {f(t)-f(s)}{t-s}},$
• jeżeli $t<\sigma (t)$ (i $f$ ciągła w $t$), to: $f^{\Delta }(t)={\frac {f{\big (}\sigma (t){\big )}-f{\big (}t{\big )}}{\mu (t)}}.$

Jeśli $f$ i $g$ są $\Delta$ różniczkowalne w punkcie $t\in \mathbb {T} ,$ to:

• $(\alpha f+\beta g)^{\Delta }(t)=\alpha f^{\Delta }(t)+\beta g^{\Delta }(t),$

• $(fg)^{\Delta }(t)=f^{\Delta }(t)g(\sigma (t))+f(t)g^{\Delta }(t)=f^{\Delta }(t)g(t)+f(\sigma (t))g^{\Delta }(t),$

• jeżeli dodatkowo $g(t)g(\sigma (t))\neq 0$ to:

$\left({\frac {f}{g}}\right)^{\Delta }\!(t)={\frac {f^{\Delta }(t)g(t)-f(t)g^{\Delta }(t)}{g(t)g(\sigma (t))}}={\frac {f^{\Delta }(t)g(\sigma (t))-f(\sigma (t))g^{\Delta }(t)}{g(t)g(\sigma (t))}}.$

Całkowanie

Rozpatrzmy funkcję:

$f\colon \mathbb {T} \to \mathbb {R} .$

Funkcją pierwotną funkcji $f$ nazwiemy funkcję $F\colon \mathbb {T} \to \mathbb {R}$ taką, że $\forall _{t\in \mathbb {T} }\;F^{\Delta }(t)=f(t).$

Funkcję $f$ nazwiemy pg-ciągłą, jeżeli jest ciągła w punktach prawostronnie gęstych i istnieje skończona lewostronna granica w punktach lewostronnie gęstych.

Twierdzenie

Dla każdej funkcji pg-ciągłej istnieje jej funkcja pierwotna, na dodatek wyznaczona jednoznacznie z dokładnością do stałej.

Powyższe twierdzenie pozwala na zdefiniowanie całki dla funkcji pg-ciągłych:

$\int \limits _{t_{0}}^{t}f(x)\Delta x\;:=F(t)-F(t_{0}).$

Własności całki:

• $\int _{a}^{b}\alpha f(t)+\beta g(t)\Delta t=\alpha \int _{a}^{b}f(t)\Delta t+\beta \int _{a}^{b}g(t)\Delta t,$
• $\int _{t}^{\sigma (t)}f(\tau )\Delta \tau =f(t)\mu (t),$
• $[a,b]\subset \mathbb {T} \Rightarrow \int _{a}^{b}f(t)\Delta t=\int _{a}^{b}f(t)dt,$
• $\int _{a}^{b}f(t)\Delta t=-\int _{b}^{a}f(t)\Delta t,$
• $\int _{a}^{b}f(t)\Delta t=\int _{a}^{c}f(t)\Delta t+\int _{c}^{b}f(t)\Delta t,$
• $|f(t)|\leqslant g(t)\Rightarrow \left|\int _{a}^{b}f(t)\Delta t\right|\leqslant \int _{a}^{b}g(t)dt.$

Podstawowe przykłady

Jeżeli za $\mathbb {T}$ przyjmiemy $\mathbb {R} ,$ to: $\sigma (t)=t,\;\mu (t)=0,\;f^{\Delta }(t)=f'(t),\;\int \limits _{t_{0}}^{t}f(x)\Delta x=\int \limits _{t_{0}}^{t}f(x)dx.$

Jeżeli za $\mathbb {T}$ przyjmiemy $\mathbb {Z} ,$ to: $\sigma (t)=t+1,\;\mu (t)=1,\;f^{\Delta }(t)=\Delta f(t),\;\int \limits _{t_{0}}^{t}f(x)\Delta x=\sum \limits _{t_{0}}^{t-1}f(x).$

Zobacz też

• Analiza na fraktalach