Przestrzeń czasowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Przestrzeń czasowa – dowolny domknięty podzbiór liczb rzeczywistych oznaczany . Na przestrzeniach czasowych można rozważać równania Δ-różniczkowe, które są unifikacją równań różniczkowych na i równań różnicowych na , oraz uogólnieniem na przestrzeniach czasowych.

Funkcje skoku[edytuj]

Podstawowymi funkcjami opisującymi przestrzeń są funkcje skoku:

funkcja następnika / funkcja skoku przedniego (forward jump operator)
funkcja poprzednika / funkcja skoku wstecznego (backward jump operator)
funkcja ziarnistości (graininess function)

Klasyfikacja punktów[edytuj]

Każdy punkt ma charakteryzację poprzez funkcje skoku. Punkt t jest:

  • lewostronnie gęsty (left dense) jeżeli
  • prawostronnie gęsty (right dense) jeżeli
  • lewostronnie izolowany (left scattered) jeżeli
  • prawostronnie izolowany (right scattered) jeżeli
  • gęsty (dense) jeżeli jest jednocześnie lewo- i prawostronnie gęsty
  • izolowany (isolated) jeżeli jednocześnie lewo- i prawostronnie izolowany

Δ-pochodna[edytuj]

Rozpatrzmy funkcję:

,

(R można również zastąpić dowolną przestrzenią Banacha).

Δ-pochodną funkcji w punkcie t nazwiemy liczbę o własności:


  • jeżeli i funkcja jest ciągła w , to:
  • jeżeli (i ciągła w ), to:

Jeśli i różniczkowalne w punkcie , to:

  • jeżeli dodatkowo to:

Całkowanie[edytuj]

Rozpatrzmy funkcję:

Funkcją pierwotną funkcji f nazwiemy funkcję taką, że

Funkcję f nazwiemy pg-ciągłą jeżeli jest ciągła w punktach prawostronnie gęstych i istnieje skończona lewostronna granica w punktach lewostronnie gęstych

Twierdzenie

Dla każdej funkcji pg-ciągłej istnieje jej funkcja pierwotna, na dodatek wyznaczona jednoznacznie z dokładnością do stałej.

Powyższe twierdzenie pozwala nam zdefiniować całkę dla funkcji pg-ciągłych:

Własności całki:

Podstawowe przykłady[edytuj]

Jeżeli za przyjmiemy , to:


Jeżeli za przyjmiemy , to:

Zobacz też[edytuj]