Przestrzeń funkcyjna
Przestrzeń funkcyjna – zbiór funkcji ze zbioru w zbiór z odpowiednio zdefiniowaną strukturą, która tworzy z niego przestrzeń (np. przestrzeń topologiczną, przestrzeń liniową czy przestrzeń liniowo-topologiczną). Przestrzenie funkcyjne są przestrzeniami nieskończenie wymiarowymi. Przestrzeni funkcyjnej można nadać dodatkowe, subtelniejsze struktury, np. wprowadzając definicje odległości (metryki), normy, iloczynu skalarnego, przekształcające je odpowiednio w przestrzenie funkcyjne metryczne, unormowane i unitarne, analogiczne do przestrzeni metrycznych, unormowanych i unitarnych skończonego wymiaru.
Definiowaniem przestrzeni funkcyjnych i ich strukturami zajmuje się analiza funkcjonalna.
Definicja przestrzeni funkcyjnej liniowej
[edytuj | edytuj kod]Niech będzie przestrzenią liniową nad ciałem zaś – pewnym zbiorem. Rozważmy zbiór funkcji wówczas przestrzenią funkcyjną liniową nad ciałem nazywamy uporządkowaną czwórkę gdzie działania dodawania funkcji oraz mnożenia funkcji przez skalar definiujemy następująco:
(1.1) Sumą funkcji nazywa się funkcję taką, że dla dowolnych spełniona jest zależność
Wtedy pisze się
(1.2) Iloczynem funkcji przez skalar nazywa się funkcję taką, że dla dowolnych spełniona jest zależność
Wtedy pisze się
Funkcje należące do przestrzeni liniowej nazywa się wektorami.
Liniowa niezależność funkcji. Baza
[edytuj | edytuj kod](2.1) Funkcje nazywa się liniowo niezależnymi jeżeli żadnej z tych funkcji nie da się przedstawić w postaci kombinacji liniowej pozostałych funkcji.
(2.2) Bazą przestrzeni funkcyjnej nazywa się zbiór liniowo niezależnych funkcji danej przestrzeni.
Baza przestrzeni funkcyjnych ma nieskończenie wiele elementów.
Przykład: Przestrzeń funkcyjna liniowa, unormowana
[edytuj | edytuj kod](3.1) Zbiór wszystkich funkcji ciągłych na odcinku domkniętym nad ciałem liczb rzeczywistych tworzy przestrzeń funkcyjną liniową z działaniami dodawania funkcji (1.1) oraz mnożenia funkcji przez skalar (1.2).
(3.2) Jako bazę przestrzeni można wybrać np. funkcje potęgowe określone na zbiorze tj.
(3.3) Funkcje te są liniowo niezależne, a każdą funkcję ciągłą można wyrazić za ich pomocą, np. funkcja wykładnicza wyraża się za pomocą funkcji potęgowych wzorem
(3.4) W przestrzeni tej można zdefiniować normę funkcji wzorem
co oznacza, że „wielkość” funkcji jest równa największej jej wartości, jaką ma na odcinku
Wprowadzenie normy tworzy z przestrzeni funkcyjnej przestrzeń unormowaną. Przestrzeń ta należy do ogólniejszej klasy przestrzeni Banacha, dlatego jej ogólne własności są określone przez teorię przestrzeni Banacha.
(3.5) Odległość w przestrzeni jest w naturalny sposób zdefiniowana przez normę
(3.6) Można zdefiniować w tej przestrzeni iloczyn skalarny np. za pomocą całki
Iloczyn skalarny pozwala określić ortogonalność funkcji w przestrzeni: funkcje są ortogonalne, jeżeli gdyż
skąd
oraz
pod warunkiem, że przyjmie się (patrz: Potęgowanie). Taka definicja jest jednak niejednoznaczna dla wszystkich funkcji. Bardziej precyzyjne zdefiniowanie iloczynu skalarnego prowadzi do pojęcia przestrzeni Hilberta.
Przestrzenie funkcyjne w różnych działach matematyki
[edytuj | edytuj kod]Przestrzenie funkcyjne pojawiają się w różnych działach matematyki:
- W teorii mnogości zbiór funkcji zbioru w oznacza się także niekiedy symbolem
- Jako przypadek szczególny, zbiór potęgowy zbioru może być utożamiany ze zbiorem funkcji ze zbioru w z tego powodu oznacza się też go symbolem
- Zbiór bijekcji z w bywa oznaczany Istnieje także notacja silni oznaczająca permutacje zbioru
- W algebrze liniowej zbiór wszystkich przekształceń liniowych z przestrzeni liniowej w inną przestrzeń liniową nad tym samym ciałem sam jest przestrzenią liniową.
- W analizie funkcjonalnej to samo obserwuje się dla ciągłych przekształceń liniowych, biorąc pod uwagę topologie na przestrzeniach liniowych z powyższego przykładu, jak również wiele innych ważnych przykładów obejmuje przestrzenie funkcyjne wyposażone w topologie; najbardziej znanymi przykładami są m.in. przestrzenie Hilberta i przestrzenie Banacha.
- W analizie funkcjonalnej zbiór wszystkich funkcji ze zbioru liczb naturalnych w pewien zbiór nazywa się przestrzenią ciągową; składa się ona ze zbioru wszystkich możliwych ciągów elementów zbioru
- W topologii można próbować ustalić topologię na przestrzeni funkcji ciągłych z przestrzeni topologicznej w inną przestrzeń topologiczną których przydatność zależy od natury tych przestrzeni. Powszechnie używanym przykładem jest topologia zwarto-otwarta, np. przestrzeń pętli. Innym jest topologia produktowa określona na przestrzeni funkcji (niekoniecznie ciągłych) W tym kontekście topologię tę nazywa się także topologią zbieżności punktowej.
- W topologii algebraicznej teoria homotopii zajmuje się w istocie badaniem dyskretnych niezmienników przestrzeni funkcyjnych.
- W teorii procesów stochastycznych podstawowym problemem technicznym jest skonstruowanie miary probabilistycznej na przestrzeni funkcyjnej ścieżek procesu (funkcje czasu).
- W teorii kategorii przestrzeń funkcyjną nazywa się obiektem wykładniczym bądź eksponentem. Z jednej strony pojawia się on jako reprezentacja bifunktora kanonicznego, ale jako (pojedynczy) funktor typu jawi się on jako funktor dołączony do funktora typu na obiektach.
- w programowaniu funkcyjnym i rachunku lambda wykorzystuje się typy przestrzeni funkcyjnych do wyrażenia idei funkcji wyższego rzędu.
- w teoria dziedzin poszukuje się przede wszystkim konstrukcji opartych na częściowych porządkach, które mogłyby modelować rachunek lambda poprzez uzyskanie porządnej kartezjańsko domkniętej kategorii.
Zobacz też
[edytuj | edytuj kod]- przestrzeń Banacha
- przestrzeń Hilberta
- przestrzeń
- przestrzeń Musielaka-Orlicza
- przestrzeń Orlicza
- przestrzeń Sobolewa
oraz:
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- F.W. Byron, R.W. Fuller, Matematyka w fizyce klasycznej i kwantowej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1975, Tom 1, s. 203–223.