Przestrzeń funkcyjna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Przestrzeń funkcyjnazbiór funkcji ze zbioru w zbiór Jest on nazywany przestrzenią, gdyż w wielu zastosowaniach jest on przestrzenią topologiczną, czy liniową, a nawet obiema jednocześnie.

Sama analiza funkcjonalna skupiona jest wokół odpowiednich technik, które mogłyby zbliżyć przestrzenie funkcyjne postrzegane jako przestrzenie liniowo-topologiczne do pojęć stosowanych do opisu przestrzeni unormowanych skończonego wymiaru.

Wprowadzenie[edytuj]

Przykładem przestrzeni funkcyjnej jest zbiór wszystkich funkcji ciągłych na odcinku domkniętym .

Określając bowiem działania na funkcjach w „naturalny” sposób jako

dla

a normę funkcji jako

otrzymuje się unormowaną przestrzeń liniową. Okazuje się, że jest ona przestrzenią Banacha, dlatego podczas badania tej przestrzeni można korzystać z całego aparatu ogólnej teorii.

Liniowa niezależność[edytuj]

 Osobny artykuł: liniowa niezależność.

Funkcje, traktowane jako wektory pewnej przestrzeni funkcyjnej, również mogą być liniowo niezależne: jest to zbiór funkcji takich, że żadnej funkcji nie można przedstawić jako kombinacji liniowej innych funkcji z tego zbioru.

Przykładem może być układ funkcji potęgowych określonych dla

Przykłady[edytuj]

Przestrzenie funkcyjne pojawiają się w różnych działach matematyki:

Zobacz też[edytuj]