Przestrzeń funkcyjna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Przestrzeń funkcyjnazbiór funkcji ze zbioru w zbiór , z odpowiednio zdefiniowaną strukturą, która tworzy z niego przestrzeń (np. przestrzeń topologiczną, przestrzeń liniową czy przestrzeń liniowo-topologiczną). Przestrzenie funkcyjne są przestrzeniami nieskończenie wymiarowymi. Przestrzeni funkcyjnej można nadać dodatkowe, subtelniejsze struktury, np. wprowadzając definicje odległości (metryki), normy, iloczynu skalarnego, przekształcające je odpowiednio w przestrzenie funkcyjne metryczne, unormowane i unitarne, analogiczne do przestrzeni metrycznych, unormowanych i unitarnych skończonego wymiaru.

Definiowaniem przestrzeni funkcyjnych i ich strukturami zajmuje się analiza funkcjonalna.

Definicja przestrzeni funkcyjnej liniowej[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie przestrzenią liniową nad ciałem , zaś - pewien zbiór. Zbiorowi funkcji można nadać strukturę przestrzeni liniowej nad ciałem definiując działania dodawania funkcji i mnożenia funkcji przez skalar:

(1) Sumą funkcji Jeżeli nazywa się funkcję taką że dla dowolnych spełniona jest zależność

Wtedy pisze się

(2) Iloczynem funkcji przez skalar nazywa się funkcję taką że dla dowolnych spełniona jest zależność

Wtedy pisze się

Funkcje należące do przestrzeni liniowej nazywa się wektorami.

Liniowa niezależność funkcji. Baza[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: liniowa niezależność.

(1) Funkcje nazywa się liniowo niezależnymi jeżeli żadnej z tych funkcji nie da się przedstawić w postacikombinacji liniowej pozostałych funkcji.

(2) Bazą przestrzeni funkcyjnej nazywa się zbiór liniowo niezależnych funkcji danej przestrzeni.

Baza przestrzeni funkcyjnych ma nieskończenie wiele elementów.

Przykład: Przestrzeń funkcyjna liniowa, unormowana[edytuj | edytuj kod]

(1) Zbiór wszystkich funkcji ciągłych na odcinku domkniętym nad ciałem liczb rzeczywistych tworzy przestrzeń funkcyjną liniową z działania dodawania funkcjach i mnożenia przez skalar zdefiniowanymi jak wyżej.

(2) Jako bazę przestrzeni można wybrać np. funkcje potęgowe określone na zbiorze , tj.

(3) Funkcje te są liniowo niezależne, a każdą funkcję ciągłą można wyrazić za ich pomocą, np. funkcja wykładnicza wyraża się za pomocą funkcji potęgowych wzorem

(4) W przestrzeni tej można zdefiniować normę funkcji wzorem

- oznacza to, że "wielkość" funkcji jest równa największej jej wartości, jaką ma na odcinku .

Wprowadzenie normy tworzy z przestrzeni funkcyjnej przestrzeń unormowaną. Przestrzeń ta należy do ogólniejszej klasy przestrzeni Banacha, dlatego jej ogólne własności są określone przez teorię przestrzeni Banacha.

(5) Odległość w przestrzeni jest w naturalny sposób zdefiniowana przez normę

(6) Można zdefiniować w tej przestrzeni iloczyn skalarny np. za pomocą całki

Iloczyn skalarny pozwala określić ortogonalność funkcji w przestrzeni: funkcje są ortogonalne, jeżeli , gdyż

skąd
oraz
- pod warunkiem, że przyjmie się (patrz: Potęgowanie). Taka definicja jest jednak niejednoznaczna dla wszystkich funkcji. Bardziej precyzyjne zdefiniowanie iloczynu skalarnego prowadzi do pojęcia przestrzeni Hilberta.

Przestrzenie funkcyjne w różnych działach matematyki[edytuj | edytuj kod]

Przestrzenie funkcyjne pojawiają się w różnych działach matematyki:

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

oraz:

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • F. W. Byron, R. W. Fuller, Matematyka w fizyce klasycznej i kwantowej, Warszawa PWN 1975, Tom 1, str. 203-223.