Przestrzeń jednorodna

Przestrzeń jednorodna – dla danej grupy $G$ niepusta rozmaitość lub przestrzeń topologiczna $X$ na której $G$ działa przechodnio poprzez symetrie w sposób ciągły. Szczególnym przypadkiem jest, gdy rozważana grupa topologiczna $G$ jest grupą homeomorfizmów przestrzeni $X.$ Wówczas $X$ jest jednorodna, jeżeli intuicyjnie $X$ „wygląda wszędzie tak samo”. Niektórzy autorzy nalegają, by działanie $G$ było efektywne (tzn. wierne), choć w artykule nie zakłada się tego. Istnieje zatem działanie grupy $G$ na $X,$ o którym można myśleć, że zachowuje pewną „strukturę geometryczną” na $X,$ czyniąc z $X$ pojedynczą G-orbitę.

Definicja

Niech $X$ będzie niepustym zbiorem, a $G$ będzie grupą. Parę $(X,G)$ nazywa się $G$-przestrzenią, jeżeli $G$ działa na $X$. Zauważmy, że $G$ musi działać na zbiorze poprzez automorfizmy (bijekcje). Jeżeli $X$ należy do tej pewnej kategorii, to przyjmuje się, że elementy $G$ działają jako automorfizmy w tej kategorii. Stąd odwzorowania na $X$ wyznaczane przez $G$ zachowują strukturę przestrzeni. Przestrzeń jednorodna to $G$-przestrzeń, na której $G$ działa przechodnio.

Zwięźle, jeśli $X$ jest obiektem kategorii $\mathbf {C} ,$ to strukturą $G$-przestrzeni jest homomorfizm

$\varrho \colon G\to \operatorname {Aut} _{\mathbf {C} }(X)$

w grupę automorfizmów obiektu $X$ kategorii $\mathbf {C} .$ Para $(X,\varrho )$ definiuje przestrzeń jednorodną, gdzie $\varrho (G)$ jest przechodnią grupą symetrii na zbiorze $X.$

Przykłady

Jeśli $X$ jest przestrzenią topologiczną, to o elementach grupy zakłada się, iż działają na $X$ jako homeomorfizmy. Strukturą $G$-przestrzeni jest homomorfizm grup $\varrho \colon G\to \operatorname {Homeo} (X)$ w grupę homeomorfizmów $X.$

Podobnie, jeżeli $X$ jest rozmaitością różniczkową, to elementami grupy są dyfeomorfizmy. Strukturą $G$-przestrzeni jest homomorfizm grup $\varrho \colon G\to \operatorname {Diff} (X)$ w grupę dyfeomorfizmów $X.$

Geometria

W duchu programu erlangeńskiego, geometria $X$ może być rozumiana jako geometria, w której „wszystkie punkty są takie same”. Jest to prawdą dla właściwie wszystkich geometrii przedstawionych przed geometrią riemmanowską z połowy XIX wieku.

W ten sposób przestrzenie euklidesowe, przestrzenie afiniczne i przestrzenie rzutowe są naturalnymi przykładami przestrzeni jednorodnych względem odpowiednich grup symetrii. Tak samo ma się rzecz z modelami geometrii nieeuklidesowych o stałej krzywiźnie, np. przestrzeń hiperboliczna.

Kolejnym klasycznym przykładem jest podprzestrzeń prostych trójwymiarowej przestrzeni rzutowej (równoważnie: podprzestrzeń dwuwymiarowych podprzestrzeni czterowymiarowej przestrzeni liniowej). Metodami algebry liniowej pokazuje się, że pełna grupa liniowa $\operatorname {GL} (4,\mathbb {R} )$ działa na niej przechodnio. Wspomniane proste można sparametryzować współrzędnymi liniowymi: są to minory typu 2×2 macierzy typu 2×4 o kolumnach zawierających dwa wektory bazowe podprzestreni. Geometrią otrzymanej przestrzeni jednorodnej jest geometria liniowa Juliusa Plückera.

Przestrzenie jednorodne jako przestrzenie warstw

Ogólnie, jeżeli $X$ jest przestrzenią jednorodną, a $H_{o}$ jest stabilizatorem pewnego ustalonego punktu $o\in X$ (wybór początku), to punkty $X$ odpowiadają warstwom lewostronnym $G/H_{o}.$

W ogólności różne wybory początku $o$ będą dawać iloraz $G$ przez inną podgrupę $H_{o'},$ która związana jest z $H_{o}$ przez automorfizm wewnętrzny $G.$ Dokładniej,

$H_{o'}=gH_{o}g^{-1},$

(1)

gdzie $g$ jest dowolnym elementem $G,$ dla którego $go=o'.$ Zauważmy, że automorfizm wewnętrzny (1) nie zależy od wybory $g,$ lecz tylko od $g$ modulo $H_{o}.$

Jeżeli działanie $G$ na $X$ jest ciągłe, to $H$ jest domkniętą podgrupą $G$ W szczególności, jeśli $G$ jest grupą Liego, to $H$ jest domkniętą podgrupą Liego na mocy twierdzenia Cartana. Stąd $G/H$ jest rozmaitością gładką, a więc $X$ jest wyposażona w wyznaczoną jednoznacznie strukturę gładką zgodną z działaniem grupy.

Jeżeli $H$ jest podgrupą trywialną $\{e\},$ to $X$ jest główną przestrzenią jednorodną.

Przykład

W przypadku geometrii liniowej można na przykład utożsamiać $H$ z 12-wymiarową podgrupą 16-wymiarowej pełnej grupy liniowej $\operatorname {GL} _{4}$ zdefiniowanej poprzez następujące warunki na elementy macierzy

$h_{13}=h_{14}=h_{23}=h_{24}=0,$

szukając stablizatora podprzestrzeni rozpinanej przez dwa pierwsze wektory bazy standardowej. Dowodzi to, że $X$ jest wymiaru 4.

Ponieważ istnieje 6 wyznaczonych przez minory współrzędnych jednorodnych, to oznacza to, że nie są one od siebie niezależne. Istotnie, między wspomnianymi sześcioma minorami zachodzi zależność kwadratowa znana już XIX-wiecznym geometrom.

Przykład ten był pierwszym znanym przykładem grasmannianu innego niż przestrzeń rzutowa. Istnieje wiele innych przestrzeni jednorodnych klasycznych grup liniowych powszechnie stosowanych w matematyce.

Prejednorodne przestrzenie liniowe

Idea prejednorodnej przestrzeni liniowej (ang. prehomogeneous vector space) została przedstawiona przez Mikio Sato.

Jest to skończenie wymiarowa przestrzeń liniowa $V$ z działaniem grupy algebraicznej $G$ takiej, że istnieje orbita $G,$ która jest otwarta w topologii Zariskiego (w konsekwencji: gęsta). Przykładem może być $\operatorname {GL} _{1}$ działająca na przestrzeni jednowymiarowej.

Definicja jest bardziej ograniczająca, niż się wydaje na początku: takie przestrzenie mają niezwykłe własności; istnieje także klasyfikacja nierozkładalnych prejednorodnych przestrzeni liniowych co do przekształcenia znanego jako „roszowanie” (ang. castling).

Zastosowania w fizyce

Kosmologia wykorzystująca ogólną teorię względności korzysta z systemu klasyfikacji Bianchiego. Przestrzenie jednorodne reprezentują część przestrzenną przestrzeni metrycznych pewnych modeli kosmologicznych; np. trzy przypadki metryki Friedmanna-Lemaître’a-Robertsona-Walkera mogą być reprezentowane przez podzbiory Bianchiego typu I (płaskiego), V (otwartego), VII (płaskiego lub otwartego) i IX (domkniętego), podczas gdy uniwersum Mixmaster reprezentuje anizotropowy przykład kosmologii Bianchiego IX.

Przestrzeń jednorodna wymiaru $N$ określa $N(N-1)/2$ wektorów Killinga. W przypadku trójwymiarowym daje to całkowitą liczbę sześciu liniowo niezależnych pól wektorowych Killinga; trójwymiarowe przestrzenie jednorodne mają tę własność, iż do znalezienia trzech nieznikających pól wektorowych

$\xi _{[i;k]}^{(a)}=C_{\ bc}^{a}\xi _{i}^{(b)}\xi _{k}^{(c)},$

gdzie obiekt $C_{\ bc}^{a},$ tzw. „stała strukturalna”, jest stałym tensorem rangi 3 antysymetrycznym ze względu na dwa dolne wskaźniki (nawiasy kwadratowe po lewej oznaczają antysymetryzację, a średnik oznacza operator pochodnej kowariantnej),

można użyć kombinacji liniowych wspomnianych sześciu pól. W przypadku płaskiego uniwersum izotropowego, jedną możliwością jest $C_{\ bc}^{a}=0$ (typ I), ale w przypadku domkniętego uniwersum FLRW, $C_{\ bc}^{a}=\varepsilon _{\ bc}^{a},$ gdzie $\varepsilon _{\ bc}^{a}$ jest symbolem Leviego-Civity.

Zobacz też

• geometria Kleina
• program erlangeński