Przestrzeń jednorodna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Przestrzeń jednorodna – dla danej grupy niepusta rozmaitość lub przestrzeń topologiczna na której działa przechodnio poprzez symetrie w sposób ciągły. Szczególnym przypadkiem jest, gdy rozważana grupa topologiczna jest grupą homeomorfizmów przestrzeni . Wówczas jest jednorodna, jeżeli intuicyjnie „wygląda wszędzie tak samo”. Niektórzy autorzy nalegają, by działanie było efektywne (tzn. wierne), choć w artykule nie zakłada się tego. Istnieje zatem działanie grupy na , o którym można myśleć, że zachowuje pewną „strukturę geometryczną” na , czyniąc z pojedynczą G-orbitę.

Definicja[edytuj]

Niech będzie niepustym zbiorem, a będzie grupą. Parę nazywa się -przestrzenią, jeżeli działa na [1]. Zauważmy, że musi działać na zbiorze poprzez automorfizmy (bijekcje). Jeżeli należy do tej pewnej kategorii, to przyjmuje się, że elementy działają jako automorfizmy w tej kategorii. Stąd odwzorowania na wyznaczane przez zachowują strukturę przestrzeni. Przestrzeń jednorodna to -przestrzeń, na której działa przechodnio.

Zwięźle, jeśli jest obiektem kategorii , to strukturą -przestrzeni jest homomorfizm

w grupę automorfizmów obiektu kategorii . Para definiuje przestrzeń jednorodną, gdzie jest przechodnią grupą symetrii na zbiorze .

Przykłady[edytuj]

Jeśli jest przestrzenią topologiczną, to o elementach grupy zakłada się, iż działają na jako homeomorfizmy. Strukturą -przestrzeni jest homomorfizm grup w grupę homeomorfizmów .

Podobnie, jeżeli jest rozmaitością różniczkową, to elementami grupy są dyfeomorfizmy. Strukturą -przestrzeni jest homomorfizm grup w grupę dyfeomorfizmów .

Geometria[edytuj]

W duchu programu erlangeńskiego, geometria może być rozumiana jako geometria, w której „wszystkie punkty są takie same”. Jest to prawdą dla właściwie wszystkich geometrii przedstawionych przed geometrią riemmanowską z połowy XIX wieku.

W ten sposób przestrzenie euklidesowe, przestrzenie afiniczne i przestrzenie rzutowe są naturalnymi przykładami przestrzeni jednorodnych względem odpowiednich grup symetrii. Tak samo ma się rzecz z modelami geometrii nieeuklidesowych o stałej krzywiźnie, np. przestrzeń hiperboliczna.

Kolejnym klasycznym przykładem jest podprzestrzeń prostych trójwymiarowej przestrzeni rzutowej (równoważnie: podprzestrzeń dwuwymiarowych podprzestrzeni czterowymiarowej przestrzeni liniowej). Metodami algebry liniowej pokazuje się, że pełna grupa liniowa działa na niej przechodnio. Wspomniane proste można sparametryzować współrzędnymi liniowymi: są to minory typu 2×2 macierzy typu 2×4 o kolumnach zawierających dwa wektory bazowe podprzestreni. Geometrią otrzymanej przestrzeni jednorodnej jest geometria liniowa Juliusa Plückera.

Przestrzenie jednorodne jako przestrzenie warstw[edytuj]

Ogólnie, jeżeli jest przestrzenią jednorodną, a jest stabilizatorem pewnego ustalonego punktu (wybór początku), to punkty odpowiadają warstwom lewostronnym .

W ogólności różne wybory początku będą dawać iloraz przez inną podgrupę , która związana jest z przez automorfizm wewnętrzny . Dokładniej,

(1)

gdzie jest dowolnym elementem , dla którego Zauważmy, że automorfizm wewnętrzny (1) nie zależy od wybory , lecz tylko od modulo

Jeżeli działanie na jest ciągłe, to jest domkniętą podgrupą W szczególności, jeśli jest grupą Liego, to jest domkniętą podgrupą Liego na mocy twierdzenia Cartana. Stąd jest rozmaitością gładką, a więc jest wyposażona w wyznaczoną jednoznacznie strukturę gładką zgodną z działaniem grupy.

Jeżeli jest podgrupą trywialną , to jest główną przestrzenią jednorodną.

Przykład[edytuj]

W przypadku geometrii liniowej można na przykład utożsamiać z 12-wymiarową podgrupą 16-wymiarowej pełnej grupy liniowej zdefiniowanej poprzez następujące warunki na elementy macierzy

szukając stablizatora podprzestrzeni rozpinanej przez dwa pierwsze wektory bazy standardowej. Dowodzi to, że jest wymiaru 4.

Ponieważ istnieje 6 wyznaczonych przez minory współrzędnych jednorodnych, to oznacza to, że nie są one od siebie niezależne. Istotnie, między wspomnianymi sześcioma minorami zachodzi zależność kwadratowa znana już XIX-wiecznym geometrom.

Przykład ten był pierwszym znanym przykładem grasmannianu innego niż przestrzeń rzutowa. Istnieje wiele innych przestrzeni jednorodnych klasycznych grup liniowych powszechnie stosowanych w matematyce.

Prejednorodne przestrzenie liniowe[edytuj]

Idea prejednorodnej przestrzeni liniowej (ang. prehomogeneous vector space) została przedstawiona przez Mikio Sato.

Jest to skończenie wymiarowa przestrzeń liniowa z działaniem grupy algebraicznej takiej, że istnieje orbita , która jest otwarta w topologii Zariskiego (w konsekwencji: gęsta). Przykładem może być działająca na przestrzeni jednowymiarowej.

Definicja jest bardziej ograniczająca, niż się wydaje na początku: takie przestrzenie mają niezwykłe własności; istnieje także klasyfikacja nierozkładalnych prejednorodnych przestrzeni liniowych co do przekształcenia znanego jako „roszowanie” (ang. castling).

Zastosowania fizyczne[edytuj]

Kosmologia wykorzystująca ogólną teorię względności korzysta z systemu klasyfikacji Bianchiego. Przestrzenie jednorodne reprezentują część przestrzenną przestrzeni metrycznych pewnych modeli kosmologicznych; np. trzy przypadki metryki Friedmanna-Lemaître'a-Robertsona-Walkera mogą być reprezentowane przez podzbiory Bianchiego typu I (płaskiego), V (otwartego), VII (płaskiego lub otwartego) i IX (domkniętego), podczas gdy uniwersum Mixmaster reprezentuje anizotropowy przykład kosmologii Bianchiego IX.[2].

Przestrzeń jednorodna -tego wymiaru określa wektorów Killinga[3]. W przypadku trójwymiarowym daje to całkowitą liczbę sześciu liniowo niezależnych pól wektorowych Killinga; trójwymiarowe przestrzenie jednorodne mają tę własność, iż do odnalezienia znalezienia trzech nieznikających pól wektorowych

gdzie obiekt , „stała strukturalna” jest stałym tensorem rangi 3 antysymetrycznym ze względu na dwa dolne wskaźniki (nawiasy kwadratowe po lewej oznaczają antysymetryzację, a średnik oznacza operator pochodnej kowariantnej), można użyć kombinacji liniowych wspomnianych sześciu pól. W przypadku płaskiego uniwersum izotropowego, jedną możliwością jest (typ I), ale w przypadku domkniętego uniwersum FLRW, , gdzie jest symbolem Leviego-Civity.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Przyjmujemy, że działanie jest lewostronne. Rozróżnienie jest istotne tylko w opisie jako przestrzeni warstw.
  2. Lev Landau i Evgeny Lifshitz: Course of Theoretical Physics vol. 2: The Classical Theory of Fields. Butterworth-Heinemann, 1980. ISBN 978-0750627689.
  3. Steven Weinberg: Gravitation and Cosmology. John Wiley and Sons, 1972.