Przestrzeń jednorodna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Przestrzeń jednorodna – dla danej grupy niepusta rozmaitość lub przestrzeń topologiczna na której działa przechodnio poprzez symetrie w sposób ciągły. Szczególnym przypadkiem jest, gdy rozważana grupa topologiczna jest grupą homeomorfizmów przestrzeni Wówczas jest jednorodna, jeżeli intuicyjnie „wygląda wszędzie tak samo”. Niektórzy autorzy nalegają, by działanie było efektywne (tzn. wierne), choć w artykule nie zakłada się tego. Istnieje zatem działanie grupy na o którym można myśleć, że zachowuje pewną „strukturę geometryczną” na czyniąc z pojedynczą G-orbitę.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie niepustym zbiorem, a będzie grupą. Parę nazywa się -przestrzenią, jeżeli działa na [1]. Zauważmy, że musi działać na zbiorze poprzez automorfizmy (bijekcje). Jeżeli należy do tej pewnej kategorii, to przyjmuje się, że elementy działają jako automorfizmy w tej kategorii. Stąd odwzorowania na wyznaczane przez zachowują strukturę przestrzeni. Przestrzeń jednorodna to -przestrzeń, na której działa przechodnio.

Zwięźle, jeśli jest obiektem kategorii to strukturą -przestrzeni jest homomorfizm

w grupę automorfizmów obiektu kategorii Para definiuje przestrzeń jednorodną, gdzie jest przechodnią grupą symetrii na zbiorze

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Jeśli jest przestrzenią topologiczną, to o elementach grupy zakłada się, iż działają na jako homeomorfizmy. Strukturą -przestrzeni jest homomorfizm grup w grupę homeomorfizmów

Podobnie, jeżeli jest rozmaitością różniczkową, to elementami grupy są dyfeomorfizmy. Strukturą -przestrzeni jest homomorfizm grup w grupę dyfeomorfizmów

Geometria[edytuj | edytuj kod]

W duchu programu erlangeńskiego, geometria może być rozumiana jako geometria, w której „wszystkie punkty są takie same”. Jest to prawdą dla właściwie wszystkich geometrii przedstawionych przed geometrią riemmanowską z połowy XIX wieku.

W ten sposób przestrzenie euklidesowe, przestrzenie afiniczne i przestrzenie rzutowe są naturalnymi przykładami przestrzeni jednorodnych względem odpowiednich grup symetrii. Tak samo ma się rzecz z modelami geometrii nieeuklidesowych o stałej krzywiźnie, np. przestrzeń hiperboliczna.

Kolejnym klasycznym przykładem jest podprzestrzeń prostych trójwymiarowej przestrzeni rzutowej (równoważnie: podprzestrzeń dwuwymiarowych podprzestrzeni czterowymiarowej przestrzeni liniowej). Metodami algebry liniowej pokazuje się, że pełna grupa liniowa działa na niej przechodnio. Wspomniane proste można sparametryzować współrzędnymi liniowymi: są to minory typu 2×2 macierzy typu 2×4 o kolumnach zawierających dwa wektory bazowe podprzestreni. Geometrią otrzymanej przestrzeni jednorodnej jest geometria liniowa Juliusa Plückera.

Przestrzenie jednorodne jako przestrzenie warstw[edytuj | edytuj kod]

Ogólnie, jeżeli jest przestrzenią jednorodną, a jest stabilizatorem pewnego ustalonego punktu (wybór początku), to punkty odpowiadają warstwom lewostronnym

W ogólności różne wybory początku będą dawać iloraz przez inną podgrupę która związana jest z przez automorfizm wewnętrzny Dokładniej,

(1)

gdzie jest dowolnym elementem dla którego Zauważmy, że automorfizm wewnętrzny (1) nie zależy od wybory lecz tylko od modulo

Jeżeli działanie na jest ciągłe, to jest domkniętą podgrupą W szczególności, jeśli jest grupą Liego, to jest domkniętą podgrupą Liego na mocy twierdzenia Cartana. Stąd jest rozmaitością gładką, a więc jest wyposażona w wyznaczoną jednoznacznie strukturę gładką zgodną z działaniem grupy.

Jeżeli jest podgrupą trywialną to jest główną przestrzenią jednorodną.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

W przypadku geometrii liniowej można na przykład utożsamiać z 12-wymiarową podgrupą 16-wymiarowej pełnej grupy liniowej zdefiniowanej poprzez następujące warunki na elementy macierzy

szukając stablizatora podprzestrzeni rozpinanej przez dwa pierwsze wektory bazy standardowej. Dowodzi to, że jest wymiaru 4.

Ponieważ istnieje 6 wyznaczonych przez minory współrzędnych jednorodnych, to oznacza to, że nie są one od siebie niezależne. Istotnie, między wspomnianymi sześcioma minorami zachodzi zależność kwadratowa znana już XIX-wiecznym geometrom.

Przykład ten był pierwszym znanym przykładem grasmannianu innego niż przestrzeń rzutowa. Istnieje wiele innych przestrzeni jednorodnych klasycznych grup liniowych powszechnie stosowanych w matematyce.

Prejednorodne przestrzenie liniowe[edytuj | edytuj kod]

Idea prejednorodnej przestrzeni liniowej (ang. prehomogeneous vector space) została przedstawiona przez Mikio Sato.

Jest to skończenie wymiarowa przestrzeń liniowa z działaniem grupy algebraicznej takiej, że istnieje orbita która jest otwarta w topologii Zariskiego (w konsekwencji: gęsta). Przykładem może być działająca na przestrzeni jednowymiarowej.

Definicja jest bardziej ograniczająca, niż się wydaje na początku: takie przestrzenie mają niezwykłe własności; istnieje także klasyfikacja nierozkładalnych prejednorodnych przestrzeni liniowych co do przekształcenia znanego jako „roszowanie” (ang. castling).

Zastosowania fizyczne[edytuj | edytuj kod]

Kosmologia wykorzystująca ogólną teorię względności korzysta z systemu klasyfikacji Bianchiego. Przestrzenie jednorodne reprezentują część przestrzenną przestrzeni metrycznych pewnych modeli kosmologicznych; np. trzy przypadki metryki Friedmanna-Lemaître’a-Robertsona-Walkera mogą być reprezentowane przez podzbiory Bianchiego typu I (płaskiego), V (otwartego), VII (płaskiego lub otwartego) i IX (domkniętego), podczas gdy uniwersum Mixmaster reprezentuje anizotropowy przykład kosmologii Bianchiego IX.[2]

Przestrzeń jednorodna -tego wymiaru określa wektorów Killinga[3]. W przypadku trójwymiarowym daje to całkowitą liczbę sześciu liniowo niezależnych pól wektorowych Killinga; trójwymiarowe przestrzenie jednorodne mają tę własność, iż do odnalezienia znalezienia trzech nieznikających pól wektorowych

gdzie obiekt „stała strukturalna” jest stałym tensorem rangi 3 antysymetrycznym ze względu na dwa dolne wskaźniki (nawiasy kwadratowe po lewej oznaczają antysymetryzację, a średnik oznacza operator pochodnej kowariantnej), można użyć kombinacji liniowych wspomnianych sześciu pól. W przypadku płaskiego uniwersum izotropowego, jedną możliwością jest (typ I), ale w przypadku domkniętego uniwersum FLRW, gdzie jest symbolem Leviego-Civity.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Przyjmujemy, że działanie jest lewostronne. Rozróżnienie jest istotne tylko w opisie jako przestrzeni warstw.
  2. Lev Landau, Evgeny Lifshitz: Course of Theoretical Physics vol. 2: The Classical Theory of Fields. Butterworth-Heinemann, 1980. ISBN 978-0750627689.
  3. Steven Weinberg: Gravitation and Cosmology. John Wiley and Sons, 1972.