Przestrzeń jednospójna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Sfera jest jednospójna, gdyż każda pętla może być ściągnieta do punktu tak, że podczas ściągania pętla jest stale zawarta w sferze.
Torus jest spójny, ale nie jest jednospójny, gdyż żadna z kolorowych pętli nie może być ściągnięta do punktu.

Przestrzeń jednospójnałukowo spójna przestrzeń topologiczna o trywialnej grupie podstawowej.

Innymi słowy jest to przestrzeń topologiczna spełniająca następujące warunkiː

  1. dowolne dwa punkty można połączyć drogą ( jest łukowo spójna),
  2. dowolną taką krzywą można przekształcić w sposób ciągły, używając tylko punktów należących do tego obiektu, w dowolną inną krzywą łączącą te punkty (każde dwie drogi łączące oraz homotopijne).

Zbiór jednospójny - to zbiór ze strukturą topologiczną, który potraktowany jako przestrzeń topologiczna jest przestrzenią jednospójną.

Twierdzenia[edytuj]

Tw. 1 Przestrzeń topologiczna jest jednospójna wtedy i tylko wtedy, gdy jest łukowo spójna i każdą zawartą w niej pętlę da się ściągnąć do punktu, przy czym podczas ściągania pętla musi być zawarta w przestrzeni.

Tw. 2 Przestrzeń topologiczna jest jednospójna wtedy i tylko wtedy, gdy jest łukowo spójna i posiada genus zero (tzn. nie ma otworów).

Zbiory z otworem lub otworami (np. torus, okrąg) nie są jednospójne właśnie ze względu na te otwory, które sprawiają, że np. równoleżnika w torusie nie można w sposób ciągły zmniejszyć do punktu[1].

Przykłady[edytuj]

Przestrzeń niejednospójna, ponieważ pętli okrążających dziury nie da się ściągnąć do punktu.

Obiekty jednospójne:

  • W przestrzeni euklidesowej: odcinek, prosta, koło, kula, sfera n-wymiarowa Sn dla n ≥ 2 (np. sfera w przestrzeni trójwymiarowej).
  • Przestrzeń Euklidesowa Rn .
  • Gdy n > 2, to Rn bez dowolnej liczby punktów, np. bez punktu (0,0).
  • Każdy podzbiór wypukły zawarty w Rn.
  • Każda przestrzeń wektorowa, w tym przestrzenie Banacha i Hilberta.
  • Specjalna grupa unitarna SU(n).

Wszystkie przestrzenie ściągalne są jednospójne (ponieważ każde dwa przekształcenia w przestrzeń ściągalną są homotopijne), jednak nie odwrotnie - na przykład sfera dwuwymiarowa jest jednospójna, ale nie jest ściągalna.

Obiekty niejednospójne:

Przypisy

Bibliografia[edytuj]

  • Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: Atlas matematyki. Warszawa: Prószyński i S-ka, s. 243. ISBN 83-7469-189-1.
  • Jerzy Mioduszewski: Wykłady z topologii – Topologia przestrzeni euklidesowych. Katowice: Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego, 1994, s. 170. ISSN 0239-6432.